If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Algebra (cały materiał)

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 10

Lekcja 10: Wprowadzenie do rozkładu na czynniki
Matematyka
Algebra (cały materiał)
Wyrażenia, równania oraz funkcje wielomianowe
Wprowadzenie do rozkładu na czynniki
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Wprowadzenie do czynników (dzielników) i podzielności

Google Classroom
Naucz się co to znaczy, że wielomiany są czynnikami innych wielomianów lub że są przez nie podzielne.

Co warto już wiedzieć, aby skorzystać z tej lekcji

Jednomian to wyrażenie składające się z iloczynu stałej i nieujemnej potęgi x, np. 3, x, squared. Wielomian jest sumą jednomianów, np. 3, x, squared, plus, 6, x, minus, 1.

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tej lekcji zbadany związek pomiędzy czynnikami i podzielnością wielomianów i nauczymy się sprawdzać, czy jeden wielomian jest dzielnikiem drugiego.

Czynniki (dzielniki) i podzielność liczb całkowitych

Ogólnie rzecz biorąc, dwie liczby całkowite, których iloczyn daje trzecią liczbę nazywamy czynnikami tej liczby
Na przykład, skoro 14, equals, 2, dot, 7, mówimy, że 2 i 7 są czynnikami liczby 14.
Liczba całkowita jest podzielna przez inną liczbę całkowitą, jeśli wynikiem dzielenia jest także liczba całkowita.
Na przykład, skoro start fraction, 15, divided by, 3, end fraction, equals, 5 i start fraction, 15, divided by, 5, end fraction, equals, 3, mówimy, że 15 dzieli się przez 3 i przez 5. Z drugiej strony, skoro start fraction, 9, divided by, 4, end fraction, equals, 2, comma, 25, mówimy, że 9 nie dzieli się przez 4.
Zauważ bliski związek pomiędzy rozkładem liczby na czynniki a jej podzielnością:
Z tego, że start color #e07d10, 14, end color #e07d10, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, 7 (co oznacza, że 2 jest czynnikiem liczby 14), wyciągamy wniosek, że start fraction, start color #e07d10, 14, end color #e07d10, divided by, start color #11accd, 2, end color #11accd, end fraction, equals, 7 (co znaczy, że 14 dzieli się przez 2).
W drugą stronę, z tego, że start fraction, start color #e07d10, 15, end color #e07d10, divided by, start color #11accd, 3, end color #11accd, end fraction, equals, 5 (co oznacza, że 15 dzieli się przez 3), wnioskujemy, że start color #e07d10, 15, end color #e07d10, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, 5 (co znaczy, że 3 jest czynnikiem 15).
Tak jest zawsze: jeśli a jest czynnikiem b, to b dzieli się przez a, i na odwrót.

Czynniki (dzielniki) i podzielność wielomianów

W podobny sposób możemy powiązać czynniki i podzielność wielomianów.
Kiedy pomnożymy dwa lub więcej wielomianów przez siebie, każdy z tych wielomianów będzie czynnikiem wyniku mnożenia.
Na przykład, mamy 2, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 2, x, squared, plus, 6, x. To oznacza, że 2, x oraz x, plus, 3 są czynnikami 2, x, squared, plus, 6, x.
Mówimy, że jeden wielomian dzieli się przez inny wielomian, jeśli iloraz jest także wielomianem.
Na przykład, skoro start fraction, 6, x, squared, divided by, 3, x, end fraction, equals, 2, x i skoro start fraction, 6, x, squared, divided by, 2, x, end fraction, equals, 3, x, to znaczy, że 6, x, squared dzieli się przez 3, x i przez 2, x. Z drugiej strony, skoro start fraction, 4, x, divided by, 2, x, squared, end fraction, equals, start fraction, 2, divided by, x, end fraction, a więc wynik nie jest wielomianem, to znaczy, że 4, x nie dzieli się przez 2, x, squared.
Ten sam związek pomiędzy rozkładem na czynniki i podzielnością, który zaobserwowaliśmy w przypadku liczb całkowitych, można zauważyć także w przypadku wielomianów.
Ogólnie mówiąc, z tego, że p, equals, q, dot, r dla pewnych wielomianów p, q, oraz r, wynika:
  • q i r są czynnikami p.
  • p dzieli się przez q oraz r.

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Uzupełnij poniższe zdanie opisujące związek wyrażony równaniem 3, x, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, equals, 3, x, squared, plus, 6, x.
x, plus, 2
3, x, squared, plus, 6, x, natomiast 3, x, squared, plus, 6, x
x, plus, 2.

2) Nauczycielka napisała na tablicy następujące równanie:
left parenthesis, 3, x, squared, right parenthesis, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, equals, 12, x, cubed
Maciek wywnioskował, że 3, x, squared jest czynnikiem 12, x, cubed.
Justyna uważa, że 12, x, cubed dzieli się przez 4, x.
Kto ma rację?
Wybierz 1 odpowiedź:

Wyznaczanie dzielników (czynników) i rozstrzyganie o podzielności

Przykład 1: Czy 24, x, start superscript, 4, end superscript dzieli się przez 8, x, cubed?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy obliczyć i uprościć start fraction, 24, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 8, x, cubed, end fraction. Jeśli wynik jest wielomianem, to 24, x, start superscript, 4, end superscript jest podzielne przez 8, x, cubed. Jeśli wynik nie jest wielomianem, to 24, x, start superscript, 4, end superscript jest podzielne przez 8, x, cubed.
24x48x3=248⋅x4x3=3⋅x1aman=am−n=3x\begin{aligned}\dfrac{24x^4}{8x^3}&=\dfrac{24}{8}\cdot\dfrac{x^4}{x^3}\\ \\ &=3\cdot x^1&&\small{\gray{\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}}\\ \\ &=3x \end{aligned}
Wynik dzielenia jest wielomianem, a zatem 24, x, start superscript, 4, end superscript dzieli się przez 8, x, cubed. (Z tego wynika także, że 8, x, cubed jest czynnikiem 24, x, start superscript, 4, end superscript.)

Przykład 2: Czy 4, x, start superscript, 6, end superscript jest czynnikiem 32, x, cubed?

Jeśli 4, x, start superscript, 6, end superscript jest czynnikiem 32, x, cubed, to jednocześnie 32, x, cubed dzieli się przez 4, x, start superscript, 6, end superscript. A zatem, obliczmy i uprośćmy start fraction, 32, x, cubed, divided by, 4, x, start superscript, 6, end superscript, end fraction.
32x34x6=324⋅x3x6=8⋅x−3aman=am−n=8⋅1x3a−m=1am=8x3\begin{aligned}\dfrac{32x^3}{4x^6}&=\dfrac{32}{4}\cdot\dfrac{x^3}{x^6}\\ \\ &=8\cdot x^{-3}&&\small{\gray{\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}}\\ \\ &=8\cdot \dfrac{1}{x^3}&&\small{\gray{a^{-m}=\dfrac{1}{a^m}}}\\ \\ &=\dfrac{8}{x^3} \end{aligned}
Zauważ, że start fraction, 8, divided by, x, cubed, end fraction nie jest wielomianem, ponieważ jest to iloraz, a nie iloczyn. A zatem wnioskujemy, że 4, x, start superscript, 6, end superscript nie jest czynnikiem 32, x, cubed.

Podsumowanie

Ogólnie rzecz biorąc, aby ustalić, czy dany wielomian p jest podzielny przez inny wielomian q, lub równoważnie, czy q jest czynnikiem p, powinniśmy wyznaczyć i przeanalizować start fraction, p, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, q, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction.
Jeśli po uproszczeniu wynik jest wielomianem, to p dzieli się przez q, a także q jest czynnikiem p.

Sprawdź, czy rozumiesz

3) Czy 30, x, start superscript, 4, end superscript dzieli się przez 2, x, squared?
Wybierz 1 odpowiedź:

4) Czy 12, x, squared jest czynnikiem 6, x?
Wybierz 1 odpowiedź:

Ćwiczenia sprawdzające

5*) Który z poniższych jednomianów jest dzielnikiem 15, x, squared, y, start superscript, 6, end superscript ?
Dzielnik/Czynnik
Nie jest dzielnikiem
3, x, squared, y, start superscript, 5, end superscript
5, x
10, x, start superscript, 4, end superscript, y, cubed

6*) Pole powierzchni prostokąta o szerokości równej x, plus, 1 jednostek i długości wynoszącej x, plus, 4 jednostek równa się x, squared, plus, 5, x, plus, 4 jednostek kwadratowych.
Które z następujących wyrażeń są czynnikami wielomianu x, squared, plus, 5, x, plus, 4?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Dlaczego w ogóle interesujemy się rozkładem wielomianów na czynniki?

Dokładnie tak samo, jak w przypadku rozkładu na czynniki liczb całkowitych, rozkład wielomianów na czynniki ma wiele praktycznych zastosowań!
Na przykład, rozkład wielomianów na czynniki pomaga rozwiązywać równania kwadratowe i upraszczać wyrażenia wymierne.
Jeśli chcesz zobaczyć, jak to działa - zajrzyj tutaj:

Co dalej?

W następnym kroku dowiesz się, jak rozkładać na czynniki jednomiany: kolejny artykuł.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.