If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Zachowanie wielomianów w plus i minus nieskończoności

Dowiedz się, czym jest zachowanie na końcach przedziałów wielomianu i jak możemy je znaleźć na podstawie równania wielomianu.
Na tej lekcji nauczysz się co tej jest "zachowanie asymptotyczne" wielomianu i jak odczytać je z wykresu lub z równania wielomianu.

Co to jest "zachowanie asymptotyczne"?

Zachowanie końcowe funkcji f opisuje zachowanie jej wykresu na "końcach" osi X-ów.
Innymi słowy, zachowanie asymptotyczne funkcji opisuje trend jej wykresu, kiedy spojrzymy na prawy koniec osi X-ów (gdy x zbliża się do plus, infinity) i na lewy koniec osi X-ów (gdy x zbliża się do minus, infinity).
Na przykład, popatrzmy na ten wykres wielomianu f. Zauważ, że w miarę jak się przesuwamy w prawo wzdłuż osi X-ów, wykres f idzie do góry. To oznacza, że gdy x staje się coraz większe, f, left parenthesis, x, right parenthesis też robi się coraz większe.
Matematycznie zapisujemy to w ten sposób: gdy x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity. (Mówimy, "gdy x dąży do plus nieskończoności, f, left parenthesis, x, right parenthesis dąży do plus nieskończoności.")
Po drugiej stronie wykresu, w miarę jak się przesuwamy w lewo wzdłuż osi X-ów (wyobraź sobie x zbliżające się do minus, infinity), wykres f idzie w dół. To oznacza, że gdy x staje się coraz bardziej ujemne, f, left parenthesis, x, right parenthesis też osiąga coraz bardziej ujemną wartość.
Matematycznie zapisujemy to w ten sposób: gdy x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity. (Mówimy, "gdy x dąży do minus nieskończoności, f, left parenthesis, x, right parenthesis dąży do minus nieskończoności.")

Sprawdź, czy rozumiesz

1) To jest wykres y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis.
Jakie jest zachowanie asymptotyczne g?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Algebraiczne określanie zachowania asymptotycznego

Możemy też określić jak się funkcja wielomianowa zachowuje na końcach na podstawie jej równania. To przydaje się również, gdy chcemy narysować wykres funkcji, bo zachowanie na końcach pomaga nam wyobrazić sobie jak będzie wyglądał wykres na "końcach".
Aby stwierdzić na podstawie równania, jak wielomian f zachowuje się na końcach, możemy zastanowić się nad tym, jakie wartości przyjmuje funkcja dla dużych dodatnich i dużych ujemnych argumentów x.
Dokładniej, musimy odpowiedzieć na następujące dwa pytania:
  • Gdy x, right arrow, plus, infinity, jaką wartość osiąga f, left parenthesis, x, right parenthesis?
  • Gdy x, right arrow, minus, infinity, jaką wartość osiąga f, left parenthesis, x, right parenthesis?

Badanie zachowania asymptotycznego jednomianów

Funkcje jednomianowe to wielomiany postaci y, equals, a, x, start superscript, n, end superscript, gdzie a jest liczbą rzeczywistą, a n jest liczbą całkowitą nieujemną.
Zbadajmy teraz algebraicznie zachowanie asymptotyczne kilku jednomianów i na tej podstawie spróbujmy wyciągnąć jakieś wnioski.
2) Rozważmy jednomian f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared.
Które zdanie najlepiej opisuje f, left parenthesis, x, right parenthesis, dla dużych dodatnich wartości x?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Które zdanie najlepiej opisuje f, left parenthesis, x, right parenthesis, dla dużych ujemnych wartości x?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

3) Rozważmy jednomian g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared.
Które zdanie najlepiej opisuje g, left parenthesis, x, right parenthesis, dla dużych dodatnich wartości x?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Które zdanie najlepiej opisuje g, left parenthesis, x, right parenthesis, dla dużych ujemnych wartości x?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

4) Rozważmy jednomian h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed.
Które zdanie najlepiej opisuje h, left parenthesis, x, right parenthesis, dla dużych dodatnich wartości x?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Które zdanie najlepiej opisuje h, left parenthesis, x, right parenthesis, dla dużych ujemnych wartości x?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

5) Rozważmy jednomian j, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, x, cubed.
Które zdanie najlepiej opisuje j, left parenthesis, x, right parenthesis, dla dużych dodatnich wartości x?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Które zdanie najlepiej opisuje j, left parenthesis, x, right parenthesis, dla dużych ujemnych wartości x?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Wnioski z badania

Zwróć uwagę na to, jaki jest wpływ stopnia jednomianu left parenthesis, start color #11accd, n, end color #11accd, right parenthesis i współczynnika przy wyrazie wiodącym left parenthesis, start color #1fab54, a, end color #1fab54, right parenthesis na zachowanie asymptotyczne.
Kiedy n jest parzyste, zachowanie funkcji na obu "końcach" jest takie same. Znak współczynnika przy wyrazie wiodącym decyduje o tym, czy oba końce funkcji dążą do plus, infinity czy do minus, infinity.
Kiedy n jest nieparzyste, zachowanie funkcji na obu "końcach" jest odmienne. Znak współczynnika przy wyrazie wiodącym decyduje o tym, który koniec dąży do plus, infinity, a który do minus, infinity.
To wszystko jest podsumowane w tabeli poniżej.
Zachowanie końcowe jednomianu: f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start color #1fab54, a, end color #1fab54, x, start superscript, start color #11accd, n, end color #11accd, end superscript
start color #11accd, n, end color #11accd jest parzyste i start color #1fab54, a, end color #1fab54, is greater than, 0start color #11accd, n, end color #11accd jest parzyste i start color #1fab54, a, end color #1fab54, is less than, 0
Gdy x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity i gdy x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity.
Gdy x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity i gdy x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, point
start color #11accd, n, end color #11accd jest nieparzyste i start color #1fab54, a, end color #1fab54, is greater than, 0start color #11accd, n, end color #11accd jest nieparzyste i start color #1fab54, a, end color #1fab54, is less than, 0
Gdy x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity i gdy x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity.
Gdy x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity i gdy x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, point

Sprawdź, czy rozumiesz

6) Jakie jest zachowanie asymptotyczne funkcji g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 8, x, cubed?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Asymptotyczne zachowanie wielomianów

Wiemy już jak określić zachowanie asymptotyczne jednomianów. A jak to jest w przypadku wielomianów, które nie są jednomianami? Co jeśli mamy do czynienia z funkcją taką jak g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared, plus, 7, x?
Ogólnie, zachowanie asymptotyczne funkcji wielomianowej jest takie same jak zachowanie asymptotyczne jej wyrazu wiodącego, czyli wyrazu zawierającego najwyższą potęgę.
Więc zachowanie asymptotyczne g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared, plus, 7, x jest takie same jak zachowanie asymptotyczne jednomianu minus, 3, x, squared.
Ponieważ stopień start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, x, start superscript, start color #11accd, 2, end color #11accd, end superscript jest parzysty left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis a wyraz wiodący jest ujemny left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, zachowanie asymptotyczne g jest następujące: gdy x, right arrow, minus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity i gdy x, right arrow, plus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.

Sprawdź, czy rozumiesz

7) Jakie jest zachowanie asymptotyczne f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 8, x, start superscript, 5, end superscript, minus, 7, x, squared, plus, 10, x, minus, 1?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

8) Jakie jest zachowanie asymptotyczne funkcji g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 6, x, start superscript, 4, end superscript, plus, 8, x, cubed, plus, 4, x, squared?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Dlaczego to wyraz wiodący określa zachowanie asymptotyczne?

Tak jest, ponieważ dla dużych wartości argumentów x, wyraz wiodący ma największy wpływ na wartości funkcji.
Przyjrzyjmy się temu bliżej analizując funkcję g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared, plus, 7, x dla dużych dodatnich wartości argumentów x.
Gdy x dąży do plus, infinity wiemy, że minus, 3, x, squared dąży do minus, infinity a 7, x dąży do plus, infinity.
Ale jakie jest zachowanie asymptotyczne ich sumy? Podstawmy parę wartości x, aby się dowiedzieć.
xminus, 3, x, squared7, xminus, 3, x, squared, plus, 7, x
1minus, 374
10minus, 30070minus, 230
100minus, 30, space, 000700minus, 29, comma, 300
1000start color #ca337c, minus, 3, space, 000, space, 000, end color #ca337c7000start color #ca337c, minus, 2, comma, 993, comma, 000, end color #ca337c
Zauważ, że gdy x rośnie, wielomian zachowuje się jak minus, 3, x, squared, point
Ale zauważmy, że wyraz proporcjonalny do x był trochę ważniejszy. Co by się stało gdybyśmy zamiast 7, x mieli 999, x?
xminus, 3, x, squared999, xminus, 3, x, squared, plus, 999, x
10minus, 3009, space, 9909, space, 690
100minus, 30, space, 00099, space, 90069, space, 900
1000minus, 3, space, 000, space, 000999, space, 000minus, 2, space, 001, space, 000
10, space, 000start color #ca337c, minus, 300, space, 000, space, 000, end color #ca337c9, space, 990, space, 000start color #ca337c, minus, 290, space, 010, space, 000, end color #ca337c
Znów widzimy, że dla dużych wartości x, wielomian zachowuje się jak minus, 3, x, squared. Chociaż potrzebowaliśmy większych x, aby zaobserwować trend, sytuacja jest podobna.
W rzeczywistości, bez względu na wartość współczynnika stojącego przy x, dla dostatecznie dużych wartości x, wyraz minus, 3, x, squared w pewnym momencie zacznie dominować!

Ćwiczenia sprawdzające

9*) Które z poniższych mogą być wykresami h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 8, x, cubed, plus, 7, x, minus, 1?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

10*) Jakie jest zachowanie asymptotyczne funkcji g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 2, minus, 3, x, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

  • Awatar blobby green style dla użytkownika s21960
    Jest błąd w zadaniach Sprawdź, czy rozumiesz pkt 1), 6), 7), 8) i 10). Odpowiedzi powtarzają się 2x:
    1=2 oraz 3=4. Dodatkowo w zadaniach brak odpowiedzi prawidłowej.
    (2 głosy)
    Awatar Default Khan Academy avatar dla użytkownika
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.