Jest błąd w zadaniach *Sprawdź, czy rozumiesz* pkt 1), 6), 7), 8) i 10). Odpowiedzi powtarzają się 2x: 1=2 oraz 3=4. Dodatkowo w zadaniach brak odpowiedzi prawidłowej.

Nikt nie raczył zmienić tych odpowiedzi od 2 lat...

Główna zawartość

Algebra (cały materiał)

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 10

Lekcja 34: Zachowanie funkcji wielomianowych w plus i minus nieskończoności

Zachowanie wielomianów w plus i minus nieskończoności

Dowiedz się, czym jest zachowanie na końcach przedziałów wielomianu i jak możemy je znaleźć na podstawie równania wielomianu.

Na tej lekcji nauczysz się co tej jest "zachowanie asymptotyczne" wielomianu i jak odczytać je z wykresu lub z równania wielomianu.

Co to jest "zachowanie asymptotyczne"?

Zachowanie końcowe funkcji

f

opisuje zachowanie jej wykresu na "końcach" osi

X

-ów.

Innymi słowy, zachowanie asymptotyczne funkcji opisuje trend jej wykresu, kiedy spojrzymy na prawy koniec osi

X

-ów (gdy

x

zbliża się do

+ \infty

) i na lewy koniec osi

X

-ów (gdy

x

zbliża się do

- \infty

Na przykład, popatrzmy na ten wykres wielomianu

f

. Zauważ, że w miarę jak się przesuwamy w prawo wzdłuż osi

X

-ów, wykres

f

idzie do góry. To oznacza, że gdy

x

staje się coraz większe,

f (x)

też robi się coraz większe.

Matematycznie zapisujemy to w ten sposób: gdy

x \to + \infty

f (x) \to + \infty

. (Mówimy, "gdy

x

dąży do plus nieskończoności,

f (x)

dąży do plus nieskończoności.")

Po drugiej stronie wykresu, w miarę jak się przesuwamy w lewo wzdłuż osi

X

-ów (wyobraź sobie

x

zbliżające się do

- \infty

), wykres

f

idzie w dół. To oznacza, że gdy

x

staje się coraz bardziej ujemne,

f (x)

też osiąga coraz bardziej ujemną wartość.

Matematycznie zapisujemy to w ten sposób: gdy

x \to - \infty

f (x) \to - \infty

. (Mówimy, "gdy

x

dąży do minus nieskończoności,

f (x)

dąży do minus nieskończoności.")

Sprawdź, czy rozumiesz

1) To jest wykres

y = g (x)

Jakie jest zachowanie asymptotyczne $g$ ‍?

(Choice A)
Gdy $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, i gdy $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Choice B)
Gdy $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, i gdy $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Choice C)
Gdy $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, i gdy $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Choice D)
Gdy $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, i gdy $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

[Potrzebuję pomocy!]

Algebraiczne określanie zachowania asymptotycznego

Możemy też określić jak się funkcja wielomianowa zachowuje na końcach na podstawie jej równania. To przydaje się również, gdy chcemy narysować wykres funkcji, bo zachowanie na końcach pomaga nam wyobrazić sobie jak będzie wyglądał wykres na "końcach".

Aby stwierdzić na podstawie równania, jak wielomian

f

zachowuje się na końcach, możemy zastanowić się nad tym, jakie wartości przyjmuje funkcja dla dużych dodatnich i dużych ujemnych argumentów

x

Dokładniej, musimy odpowiedzieć na następujące dwa pytania:

Gdy $x \to + \infty$ ‍, jaką wartość osiąga $f (x)$ ‍?
Gdy $x \to - \infty$ ‍, jaką wartość osiąga $f (x)$ ‍?

Badanie zachowania asymptotycznego jednomianów

Funkcje jednomianowe to wielomiany postaci

y = a x^{n}

, gdzie

a

jest liczbą rzeczywistą, a

n

jest liczbą całkowitą nieujemną.

Zbadajmy teraz algebraicznie zachowanie asymptotyczne kilku jednomianów i na tej podstawie spróbujmy wyciągnąć jakieś wnioski.

2) Rozważmy jednomian

f (x) = x^{2}

Które zdanie najlepiej opisuje $f (x)$ ‍, dla dużych dodatnich wartości $x$ ‍?

Które zdanie najlepiej opisuje $f (x)$ ‍, dla dużych ujemnych wartości $x$ ‍?

[Potrzebuję pomocy!]

3) Rozważmy jednomian

g (x) = - 3 x^{2}

Które zdanie najlepiej opisuje $g (x)$ ‍, dla dużych dodatnich wartości $x$ ‍?

Które zdanie najlepiej opisuje $g (x)$ ‍, dla dużych ujemnych wartości $x$ ‍?

[Potrzebuję pomocy!]

4) Rozważmy jednomian

h (x) = x^{3}

Które zdanie najlepiej opisuje $h (x)$ ‍, dla dużych dodatnich wartości $x$ ‍?

Które zdanie najlepiej opisuje $h (x)$ ‍, dla dużych ujemnych wartości $x$ ‍?

[Potrzebuję pomocy!]

5) Rozważmy jednomian

j (x) = - 2 x^{3}

Które zdanie najlepiej opisuje $j (x)$ ‍, dla dużych dodatnich wartości $x$ ‍?

Które zdanie najlepiej opisuje $j (x)$ ‍, dla dużych ujemnych wartości $x$ ‍?

[Potrzebuję pomocy!]

Wnioski z badania

Zwróć uwagę na to, jaki jest wpływ stopnia jednomianu

(n)

i współczynnika przy wyrazie wiodącym

(a)

na zachowanie asymptotyczne.

Kiedy

n

jest parzyste, zachowanie funkcji na obu "końcach" jest takie same. Znak współczynnika przy wyrazie wiodącym decyduje o tym, czy oba końce funkcji dążą do

+ \infty

czy do

- \infty

Kiedy

n

jest nieparzyste, zachowanie funkcji na obu "końcach" jest odmienne. Znak współczynnika przy wyrazie wiodącym decyduje o tym, który koniec dąży do

+ \infty

, a który do

- \infty

To wszystko jest podsumowane w tabeli poniżej.

**Zachowanie końcowe jednomianu: $f (x) = a x^{n}$ ‍**
$n$ ‍ jest parzyste i $a > 0$ ‍	$n$ ‍ jest parzyste i $a < 0$ ‍
Gdy $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍ i gdy $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍.	Gdy $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍ i gdy $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty .$ ‍

$n$ ‍ jest nieparzyste i $a > 0$ ‍	$n$ ‍ jest nieparzyste i $a < 0$ ‍
Gdy $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍ i gdy $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍.	Gdy $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍ i gdy $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty .$ ‍

Sprawdź, czy rozumiesz

6) Jakie jest zachowanie asymptotyczne funkcji $g (x) = 8 x^{3}$ ‍?

(Choice A)
Gdy $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, i gdy $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Choice B)
Gdy $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, i gdy $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Choice C)
Gdy $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, i gdy $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Choice D)
Gdy $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, i gdy $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

[Potrzebuję pomocy!]

Asymptotyczne zachowanie wielomianów

Wiemy już jak określić zachowanie asymptotyczne jednomianów. A jak to jest w przypadku wielomianów, które nie są jednomianami? Co jeśli mamy do czynienia z funkcją taką jak

g (x) = - 3 x^{2} + 7 x

Ogólnie, zachowanie asymptotyczne funkcji wielomianowej jest takie same jak zachowanie asymptotyczne jej wyrazu wiodącego, czyli wyrazu zawierającego najwyższą potęgę.

Więc zachowanie asymptotyczne

g (x) = - 3 x^{2} + 7 x

jest takie same jak zachowanie asymptotyczne jednomianu

- 3 x^{2}

Ponieważ stopień

- 3 x^{2}

jest parzysty

(2)

a wyraz wiodący jest ujemny

(- 3)

, zachowanie asymptotyczne

g

jest następujące: gdy

x \to - \infty

g (x) \to - \infty

i gdy

x \to + \infty

g (x) \to - \infty

Sprawdź, czy rozumiesz

7) Jakie jest zachowanie asymptotyczne $f (x) = 8 x^{5} - 7 x^{2} + 10 x - 1$ ‍?

(Choice A)
Gdy $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍, i gdy $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍.
(Choice B)
Gdy $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍, i gdy $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍.
(Choice C)
Gdy $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍, i gdy $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍.
(Choice D)
Gdy $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍, i gdy $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍.

[Potrzebuję pomocy!]

8) Jakie jest zachowanie asymptotyczne funkcji $g (x) = - 6 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2}$ ‍?

(Choice A)
Gdy $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, i gdy $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Choice B)
Gdy $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, i gdy $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Choice C)
Gdy $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, i gdy $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Choice D)
Gdy $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, i gdy $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

[Potrzebuję pomocy!]

Dlaczego to wyraz wiodący określa zachowanie asymptotyczne?

Tak jest, ponieważ dla dużych wartości argumentów

x

, wyraz wiodący ma największy wpływ na wartości funkcji.

Przyjrzyjmy się temu bliżej analizując funkcję

g (x) = - 3 x^{2} + 7 x

dla dużych dodatnich wartości argumentów

x

Gdy

x

dąży do

+ \infty

wiemy, że

- 3 x^{2}

dąży do

- \infty

7 x

dąży do

+ \infty

Ale jakie jest zachowanie asymptotyczne ich sumy? Podstawmy parę wartości

x

, aby się dowiedzieć.

$x$ ‍	$- 3 x^{2}$ ‍	$7 x$ ‍	$- 3 x^{2} + 7 x$ ‍
$1$ ‍	$- 3$ ‍	$7$ ‍	$4$ ‍
$10$ ‍	$- 300$ ‍	$70$ ‍	$- 230$ ‍
$100$ ‍	$- 30 000$ ‍	$700$ ‍	$- 29,300$ ‍
$1000$ ‍	$- 3 000 000$ ‍	$7000$ ‍	$- 2,993,000$ ‍

Zauważ, że gdy

x

rośnie, wielomian zachowuje się jak

- 3 x^{2} .

Ale zauważmy, że wyraz proporcjonalny do

x

był trochę ważniejszy. Co by się stało gdybyśmy zamiast

7 x

mieli

999 x

$x$ ‍	$- 3 x^{2}$ ‍	$999 x$ ‍	$- 3 x^{2} + 999 x$ ‍
$10$ ‍	$- 300$ ‍	$9 990$ ‍	$9 690$ ‍
$100$ ‍	$- 30 000$ ‍	$99 900$ ‍	$69 900$ ‍
$1000$ ‍	$- 3 000 000$ ‍	$999 000$ ‍	$- 2 001 000$ ‍
$10 000$ ‍	$- 300 000 000$ ‍	$9 990 000$ ‍	$- 290 010 000$ ‍

Znów widzimy, że dla dużych wartości

x

, wielomian zachowuje się jak

- 3 x^{2}

. Chociaż potrzebowaliśmy większych

x

, aby zaobserwować trend, sytuacja jest podobna.

W rzeczywistości, bez względu na wartość współczynnika stojącego przy

x

, dla dostatecznie dużych wartości

x

, wyraz

- 3 x^{2}

w pewnym momencie zacznie dominować!

Ćwiczenia sprawdzające

9*) Które z poniższych mogą być wykresami $h (x) = - 8 x^{3} + 7 x - 1$ ‍?

[Potrzebuję pomocy!]

10*) Jakie jest zachowanie asymptotyczne funkcji $g (x) = (2 - 3 x) (x + 2)^{2}$ ‍?

(Choice A)
Gdy $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, i gdy $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Choice B)
Gdy $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, i gdy $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Choice C)
Gdy $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, i gdy $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Choice D)
Gdy $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, i gdy $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

[Potrzebuję pomocy!]

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

s21960
Opublikowane 2 lata temu. Odnosi się do postu s21960's o treści “Jest błąd w zadaniach *Sp...”
Jest błąd w zadaniach Sprawdź, czy rozumiesz pkt 1), 6), 7), 8) i 10). Odpowiedzi powtarzają się 2x:
1=2 oraz 3=4. Dodatkowo w zadaniach brak odpowiedzi prawidłowej.
Kliknij, aby przejść do strony rejestracjiKliknij, aby przejść do strony rejestracji
(4 głosy)
Odpowiedź
- jure.curado
  Opublikowane 5 miesięcy temu. Odnosi się do postu jure.curado's o treści “Nikt nie raczył zmienić t...”
  Nikt nie raczył zmienić tych odpowiedzi od 2 lat...
  Skomentuj wpis użytkownika jure.curado o treści „Nikt nie raczył zmienić t...”
  (2 głosy)

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.