Główna zawartość
Algebra (cały materiał)
Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 10
Lekcja 34: Zachowanie funkcji wielomianowych w plus i minus nieskończonościZachowanie wielomianów w plus i minus nieskończoności
Dowiedz się, czym jest zachowanie na końcach przedziałów wielomianu i jak możemy je znaleźć na podstawie równania wielomianu.
Na tej lekcji nauczysz się co tej jest "zachowanie asymptotyczne" wielomianu i jak odczytać je z wykresu lub z równania wielomianu.
Co to jest "zachowanie asymptotyczne"?
Zachowanie końcowe funkcji opisuje zachowanie jej wykresu na "końcach" osi -ów.
Innymi słowy, zachowanie asymptotyczne funkcji opisuje trend jej wykresu, kiedy spojrzymy na prawy koniec osi -ów (gdy zbliża się do ) i na lewy koniec osi -ów (gdy zbliża się do ).
Na przykład, popatrzmy na ten wykres wielomianu . Zauważ, że w miarę jak się przesuwamy w prawo wzdłuż osi -ów, wykres idzie do góry. To oznacza, że gdy staje się coraz większe, też robi się coraz większe.
Matematycznie zapisujemy to w ten sposób: gdy , . (Mówimy, "gdy dąży do plus nieskończoności, dąży do plus nieskończoności.")
Po drugiej stronie wykresu, w miarę jak się przesuwamy w lewo wzdłuż osi -ów (wyobraź sobie zbliżające się do ), wykres idzie w dół. To oznacza, że gdy staje się coraz bardziej ujemne, też osiąga coraz bardziej ujemną wartość.
Matematycznie zapisujemy to w ten sposób: gdy , . (Mówimy, "gdy dąży do minus nieskończoności, dąży do minus nieskończoności.")
Sprawdź, czy rozumiesz
Algebraiczne określanie zachowania asymptotycznego
Możemy też określić jak się funkcja wielomianowa zachowuje na końcach na podstawie jej równania. To przydaje się również, gdy chcemy narysować wykres funkcji, bo zachowanie na końcach pomaga nam wyobrazić sobie jak będzie wyglądał wykres
na "końcach".
Aby stwierdzić na podstawie równania, jak wielomian zachowuje się na końcach, możemy zastanowić się nad tym, jakie wartości przyjmuje funkcja dla dużych dodatnich i dużych ujemnych argumentów .
Dokładniej, musimy odpowiedzieć na następujące dwa pytania:
- Gdy
, jaką wartość osiąga ? - Gdy
, jaką wartość osiąga ?
Badanie zachowania asymptotycznego jednomianów
Funkcje jednomianowe to wielomiany postaci , gdzie jest liczbą rzeczywistą, a jest liczbą całkowitą nieujemną.
Zbadajmy teraz algebraicznie zachowanie asymptotyczne kilku jednomianów i na tej podstawie spróbujmy wyciągnąć jakieś wnioski.
2) Rozważmy jednomian .
3) Rozważmy jednomian .
4) Rozważmy jednomian .
5) Rozważmy jednomian .
Wnioski z badania
Zwróć uwagę na to, jaki jest wpływ stopnia jednomianu i współczynnika przy wyrazie wiodącym na zachowanie asymptotyczne.
Kiedy jest parzyste, zachowanie funkcji na obu "końcach" jest takie same. Znak współczynnika przy wyrazie wiodącym decyduje o tym, czy oba końce funkcji dążą do czy do .
Kiedy jest nieparzyste, zachowanie funkcji na obu "końcach" jest odmienne. Znak współczynnika przy wyrazie wiodącym decyduje o tym, który koniec dąży do , a który do .
To wszystko jest podsumowane w tabeli poniżej.
Gdy | Gdy |
Gdy | Gdy |
Sprawdź, czy rozumiesz
Asymptotyczne zachowanie wielomianów
Wiemy już jak określić zachowanie asymptotyczne jednomianów. A jak to jest w przypadku wielomianów, które nie są jednomianami? Co jeśli mamy do czynienia z funkcją taką jak ?
Ogólnie, zachowanie asymptotyczne funkcji wielomianowej jest takie same jak zachowanie asymptotyczne jej wyrazu wiodącego, czyli wyrazu zawierającego najwyższą potęgę.
Więc zachowanie asymptotyczne jest takie same jak zachowanie asymptotyczne jednomianu .
Ponieważ stopień jest parzysty a wyraz wiodący jest ujemny , zachowanie asymptotyczne jest następujące: gdy , i gdy , .
Sprawdź, czy rozumiesz
Dlaczego to wyraz wiodący określa zachowanie asymptotyczne?
Tak jest, ponieważ dla dużych wartości argumentów , wyraz wiodący ma największy wpływ na wartości funkcji.
Przyjrzyjmy się temu bliżej analizując funkcję dla dużych dodatnich wartości argumentów .
Gdy dąży do wiemy, że dąży do a dąży do .
Ale jakie jest zachowanie asymptotyczne ich sumy? Podstawmy parę wartości , aby się dowiedzieć.
Zauważ, że gdy rośnie, wielomian zachowuje się jak
Ale zauważmy, że wyraz proporcjonalny do był trochę ważniejszy. Co by się stało gdybyśmy zamiast mieli ?
Znów widzimy, że dla dużych wartości , wielomian zachowuje się jak . Chociaż potrzebowaliśmy większych , aby zaobserwować trend, sytuacja jest podobna.
W rzeczywistości, bez względu na wartość współczynnika stojącego przy , dla dostatecznie dużych wartości , wyraz w pewnym momencie zacznie dominować!
Ćwiczenia sprawdzające
Chcesz dołączyć do dyskusji?
- Jest błąd w zadaniach Sprawdź, czy rozumiesz pkt 1), 6), 7), 8) i 10). Odpowiedzi powtarzają się 2x:
1=2 oraz 3=4. Dodatkowo w zadaniach brak odpowiedzi prawidłowej.(4 głosy)- Nikt nie raczył zmienić tych odpowiedzi od 2 lat...(2 głosy)