Jeśli widzisz tę wiadomość oznacza to, że mamy problemy z załadowaniem zewnętrznych materiałów na naszej stronie internetowej.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Główna zawartość

Symetria wielomianów

Naucz się jak rozpoznawać, czy wielomian jest parzysty, nieparzysty, czy żaden z tych.

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Funkcję nazywamy parzystą, jeśli jej wykres jest symetryczny względem osi OY.
Algebraicznie, f jest funkcją parzystą, jeśli f(x)=f(x) dla wszystkich x.
Funkcja jest nieparzysta, jeśli jej wykres jest symetryczny względem punktu znajdującego się w początku układu współrzędnych.
Algebraicznie, f jest funkcją nieparzystą, jeśli f(x)=f(x) dla wszystkich x.
Jeżeli jest to dla Ciebie nowe, zalecamy, abyś przeczytał nasz artykuł na temat wstępu do symetrii funkcji.

Czego nauczysz się w tej lekcji

Dowiesz się jak określić czy wielomian jest parzysty, nieparzysty albo ani taki, ani taki, na podstawie równania wielomianu.

Rozważanie: Symetria jednomianów

Jednomian to jednowyrazowy wielomian. Jednomiany mają formę f(x)=axn gdzie a jest liczbą rzeczywistą, a n jest liczbą całkowitą większą bądź równą 0.
W tym badaniu przeanalizujemy symetrię kilku jednomianów, aby określić czy potrafimy podać ogólne warunki, kiedy jednomiany są parzyste lub nieparzyste.
Ogólnie, aby stwierdzić czy nasza funkcja f jest parzysta, nieparzysta, albo ani taka, ani taka, analizujemy ile wynosi wyrażenie f(x):
  • Jeśli f(x) wynosi tyle samo co f(x), wtedy wiemy, że f jest parzysta.
  • Jeśli f(x) jest równe minus f(x), wtedy wiemy, że f jest nieparzysta.
  • W przeciwnym przypadku nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
Jako pierwszy przykład określmy czy f(x)=4x3 jest parzysta, nieparzysta, czy ani taka, ani taka.
f(x)=4(x)3=4(x3)(x)3=x3=4x3Uprość=f(x)Bo f(x)=4x3
Tutaj f(x)=f(x), a więc funkcja f jest funkcją nieparzystą.
Teraz spróbuj sam rozwiązać parę przykładów, aby zobaczyć czy znajdziesz jakąś prawidłowość.
1) Czy g(x)=3x2 jest parzysta, nieparzysta, czy ani taka, ani taka?
Wybierz 1 odpowiedź:

2) Czy h(x)=2x5 jest parzysta, nieparzysta, czy ani taka, ani taka?
Wybierz 1 odpowiedź:

Wnioski z badania

Na podstawie powyższych zadań możemy stwierdzić, że jeśli f jest jednomianem parzystego stopnia, to funkcja f jest funkcją parzystą. Podobnie, jeśli f jest jednomianem nieparzystego stopnia, to funkcja f jest funkcją nieparzystą.
Funkcja parzystaFunkcja nieparzysta
Przykłady g(x)=3x2h(x)=2x5
Ogólnief(x)=axn gdzie n jest parzystef(x)=axn gdzie n jest nieparzyste
Jest tak, ponieważ (x)n=xn gdy n jest parzyste i (x)n=xn gdy n jest nieparzyste.
To jest prawdopodobnie powód dlaczego tak nazwano funkcje parzyste i nieparzyste!

Rozważanie: Symetria wielomianów

W tym badaniu, przeanalizujemy symetrię wielomianów o więcej niż jednym wyrazie.

Przykład 1: f(x)=2x43x25

Aby stwierdzić czy f jest parzysta, nieparzysta, czy ani taka, ani taka, obliczmy f(x).
f(x)=2(x)43(x)25=2(x4)3(x2)5(x)n=xn gdy n jest nieparzyste=2x43x25Uprość=f(x)Bo f(x)=2x43x25
Ponieważ f(x)=f(x), funkcja f jest parzysta.
Zauważ, że f ma wszystkie wyrazy parzystego stopnia.

Przykład 2: g(x)=5x73x3+x

Znów zaczynamy od obliczenia g(x).
g(x)=5(x)73(x)3+(x)=5(x7)3(x3)+(x)(x)n=xn gdy n jest nieparzyste=5x7+3x3xUprość
W tym miejscu zwróć uwagę, że każdy wyraz g(x) ma przeciwny znak niż każdy wyraz g(x). Innymi słowy, g(x)=g(x), a więc g jest nieparzysta.
Zauważ, że g ma wszystkie wyrazy nieparzystego stopnia.

Przykład 3: h(x)=2x47x3

Obliczmy h(x).
h(x)=2(x)47(x)3=2(x4)7(x3)(x)4=x4 i (x)3=x3=2x4+7x3Uprość
2x4+7x3 nie jest ani takie same jak h(x), ani nie jest przeciwnego znaku niż h(x).
Matematycznie, h(x)h(x) i h(x)h(x), a więc h jest ani taka, ani taka.
Zauważ, że h ma jeden wyraz parzystego stopnia i jeden wyraz nieparzystego stopnia.

Wnioski z badania

Ogólnie, możemy stwierdzić, czy wielomian jest parzysty, nieparzysty czy ani taki, ani taki, analizując każdy pojedynczy wyraz.
xOgólna regułaPrzykład wielomianu
ParzystyWielomian jest parzysty, jeżeli każdy wyraz jest funkcją parzystąf(x)=2x43x25
NieparzystyWielomian jest nieparzaysty, jeżeli każdy wyraz jest funkcją nieparzystą.g(x)=5x73x3+x
Ani taki, ani takiWielomian nie jest ani parzysty, ani nie jest nieparzysty, jeżeli jest zbudowany z funkcji parzystych i nieparzystych.h(x)=2x47x3

Sprawdź, czy rozumiesz

3) Czy f(x)=3x47x2+5 jest parzysta, nieparzysta, czy ani taka, ani taka?
Wybierz 1 odpowiedź:

4) Czy g(x)=8x76x3+x2 jest parzysta, nieparzysta, czy ani taka, ani taka?
Wybierz 1 odpowiedź:

5) Czy h(x)=10x5+2x3x jest parzysta, nieparzysta, czy ani taka, ani taka?
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.