Główna zawartość
Algebra (cały materiał)
Course: Algebra (cały materiał) > Jednostka 10
Lekcja 33: Pierwiastki wielomianów i ich wykresyPrzedziały, w których wielomian jest dodatni lub ujemny
Odkryj związek pomiędzy miejscami zerowymi wielomianu i przedziałami, w których jest on dodatni lub ujemny. Tłumaczenie na język polski zrealizowane przez Fundację Edukacja dla Przyszłości, dzięki wsparciu Fundacji PKO Banku Polskiego.
Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji
Miejsca zerowe wielomianu f odpowiadają przecięciom z osią O, X wykresu y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.
Na przykład przypuśćmy, że f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared. Ponieważ miejsca zerowe f to minus, 3 i 1, wykres y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis będzie miał przecięcia z osią O, X w punktach left parenthesis, minus, 3, comma, 0, right parenthesis i left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis.
Jeśli jest to dla Ciebie nowe, zalecamy żebyś przeczytał nasz artykuł o miejscach zerowych wielomianu.
Czego nauczysz się w tej lekcji
Chociaż przecięcia z osią O, X są ważną cechą wykresu funkcji, potrzebujemy wiedzieć więcej, aby ją dobrze naszkicować.
Poznanie znaku wielomianu między dwoma miejscami zerowymi może nam pomóc uzupełnić niektóre luki.
W tym artykule nauczymy sie jak określić przedziały w których wielomian jest dodatni a w których jest ujemny i połączyć to z wykresem.
Przedziały, w których funkcja jest dodatnia/ujemna
Znak wielomianu między dowolnymi dwoma kolejnymi miejscami zerowymi jest albo zawsze dodatni albo zawsze ujemny.
Na przykład rozważmy funkcję f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis narysowaną obok.
Z tego wykresu widzimy, że f, left parenthesis, x, right parenthesis jest zawsze...
- ...ujemna, gdy minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 1.
- ...dodatnia, gdy minus, 1, is less than, x, is less than, 1.
- ...ujemna, gdy 1, is less than, x, is less than, 3.
- ...dodatnia, gdy 3, is less than, x, is less than, infinity.
Jednakże nie zawsze funkcja wielomianowa zmienia znak między swoimi miejscami zerowymi.
Na przykład rozważmy funkcję g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared narysowaną obok.
Z tego wykresu widzimy, że g, left parenthesis, x, right parenthesis jest zawsze...
- ...ujemna kiedy minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 2.
- ...ujemna kiedy minus, 2, is less than, x, is less than, 0.
- ...dodatnia kiedy 0, is less than, x, is less than, infinity.
Zauważ, że g, left parenthesis, x, right parenthesis nie zmienia znaku w pobliżu x, equals, minus, 2.
Określenie przedziałów, w których wielomian jest dodatni lub ujemny
Znajdźmy przedziały, w których wielomian f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared jest dodatni i przedziały, w których wielomian ten jest ujemny.
Miejsca zerowe f to minus, 3 i 1. Stąd mamy trzy przedziały w których znak f jest stały:
Znajdźmy znak f dla minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3.
Wiemy, że f będzie albo zawsze dodatnia albo zawsze ujemna w tym przedziale. Możemy określić z którym przypadkiem mamy do czynienia znajdując wartość f dla jednego argumentu z tego przedziału. Skoro minus, 4 należy do tego przedziału to znajdźmy f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis.
Ponieważ interesuje nas tutaj tylko znak tego wielomianu, nie musimy dokładnie liczyć ile to wynosi:
Widzimy tutaj, że f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis jest ujemne, więc f, left parenthesis, x, right parenthesis będzie zawsze ujemne dla minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3.
Możemy powtórzyć to samo dla pozostałych przedziałów.
Wyniki są podsumowane w tabeli.
Przedział | Wartość konkretnej f, left parenthesis, x, right parenthesis wewnątrz tego przedziału | Znak f w tym przedziale | Powiązanie z wykresem f |
---|---|---|---|
minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3 | f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, is less than, 0 | ujemny | Poniżej osi X-ów |
minus, 3, is less than, x, is less than, 1 | f, left parenthesis, 0, right parenthesis, is greater than, 0 | dodatni | Powyżej osi X-ów |
1, is less than, x, is less than, infinity | f, left parenthesis, 2, right parenthesis, is greater than, 0 | positive | Powyżej osi X-ów |
Jest to zgodne z wykresem y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.
Sprawdź, czy rozumiesz
Wyzwanie
Określenie przedziałów, w których wielomian jest dodatni lub ujemny, na podstawie wykresu
Inny sposób określenia przedziałów, w których wielomian jest dodatni albo ujemny, polega na naszkicowaniu wykresu wielomianu, na podstawie jego zachowania na końcach i krotności jego miejsc zerowych.
Przeczytaj nasz artykuł na temat wykresów wielomianów dla dalszych szczegółów.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji