Główna zawartość

Algebra (cały materiał)

Course: Algebra (cały materiał) > Jednostka 10

Lekcja 33: Pierwiastki wielomianów i ich wykresy

Przedziały, w których wielomian jest dodatni lub ujemny

Odkryj związek pomiędzy miejscami zerowymi wielomianu i przedziałami, w których jest on dodatni lub ujemny. Tłumaczenie na język polski zrealizowane przez Fundację Edukacja dla Przyszłości, dzięki wsparciu Fundacji PKO Banku Polskiego.

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Miejsca zerowe wielomianu f odpowiadają przecięciom z osią O, X wykresu y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.

Na przykład przypuśćmy, że f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared. Ponieważ miejsca zerowe f to minus, 3 i 1, wykres y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis będzie miał przecięcia z osią O, X w punktach left parenthesis, minus, 3, comma, 0, right parenthesis i left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis.

Jeśli jest to dla Ciebie nowe, zalecamy żebyś przeczytał nasz artykuł o miejscach zerowych wielomianu.

Czego nauczysz się w tej lekcji

Chociaż przecięcia z osią O, X są ważną cechą wykresu funkcji, potrzebujemy wiedzieć więcej, aby ją dobrze naszkicować.

Poznanie znaku wielomianu między dwoma miejscami zerowymi może nam pomóc uzupełnić niektóre luki.

W tym artykule nauczymy sie jak określić przedziały w których wielomian jest dodatni a w których jest ujemny i połączyć to z wykresem.

Przedziały, w których funkcja jest dodatnia/ujemna

Znak wielomianu między dowolnymi dwoma kolejnymi miejscami zerowymi jest albo zawsze dodatni albo zawsze ujemny.

[Dlaczego?]

Na przykład rozważmy funkcję f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis narysowaną obok.

Z tego wykresu widzimy, że f, left parenthesis, x, right parenthesis jest zawsze...

...ujemna, gdy minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 1.
...dodatnia, gdy minus, 1, is less than, x, is less than, 1.
...ujemna, gdy 1, is less than, x, is less than, 3.
...dodatnia, gdy 3, is less than, x, is less than, infinity.

Jednakże nie zawsze funkcja wielomianowa zmienia znak między swoimi miejscami zerowymi.

Na przykład rozważmy funkcję g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared narysowaną obok.

Z tego wykresu widzimy, że g, left parenthesis, x, right parenthesis jest zawsze...

...ujemna kiedy minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 2.
...ujemna kiedy minus, 2, is less than, x, is less than, 0.
...dodatnia kiedy 0, is less than, x, is less than, infinity.

Zauważ, że g, left parenthesis, x, right parenthesis nie zmienia znaku w pobliżu x, equals, minus, 2.

Określenie przedziałów, w których wielomian jest dodatni lub ujemny

Znajdźmy przedziały, w których wielomian f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared jest dodatni i przedziały, w których wielomian ten jest ujemny.

Miejsca zerowe f to minus, 3 i 1. Stąd mamy trzy przedziały w których znak f jest stały:

Znajdźmy znak f dla minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3.

Wiemy, że f będzie albo zawsze dodatnia albo zawsze ujemna w tym przedziale. Możemy określić z którym przypadkiem mamy do czynienia znajdując wartość f dla jednego argumentu z tego przedziału. Skoro minus, 4 należy do tego przedziału to znajdźmy f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis.

Ponieważ interesuje nas tutaj tylko znak tego wielomianu, nie musimy dokładnie liczyć ile to wynosi:

\begin{aligned} f(x) &= (x+3)(x-1)^2 \\\\ f(-4) &= ({-4+3})({-4-1})^2 \\\\ &= ( -)(-)^2 &&{\gray{\text{Określ tylko znak wyniku.}}} \\\\ &=(-)(+)&&{\gray{\text{Minus jeden do kwadratu daje liczbę dodatnią.}}} \\\\ &=-&&{\gray{\text{Minus razy plus daje minus.}}} \end{aligned}

Widzimy tutaj, że f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis jest ujemne, więc f, left parenthesis, x, right parenthesis będzie zawsze ujemne dla minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3.

Możemy powtórzyć to samo dla pozostałych przedziałów.

[Chciałbym to zobaczyć, proszę!]

Wyniki są podsumowane w tabeli.

Przedział	Wartość konkretnej f, left parenthesis, x, right parenthesis wewnątrz tego przedziału	Znak f w tym przedziale	Powiązanie z wykresem f
minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3	f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, is less than, 0	ujemny	Poniżej osi X-ów
minus, 3, is less than, x, is less than, 1	f, left parenthesis, 0, right parenthesis, is greater than, 0	dodatni	Powyżej osi X-ów
1, is less than, x, is less than, infinity	f, left parenthesis, 2, right parenthesis, is greater than, 0	positive	Powyżej osi X-ów

Jest to zgodne z wykresem y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.

Sprawdź, czy rozumiesz

1) g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, plus, 6, right parenthesis ma miejsca zerowe w x, equals, minus, 6 i x, equals, minus, 1.

Jaki jest znak g w przedziale minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1?

(Choice A)
g, left parenthesis, x, right parenthesis jest zawsze dodatnia w przedziale minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1.
(Choice B)
g, left parenthesis, x, right parenthesis jest zawsze ujemna w przedziale minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1.
(Choice C)
g, left parenthesis, x, right parenthesis jest zarówno dodatnia jak i ujemna w przedziale minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1.

2) h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 3, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis ma miejsca zerowe w x, equals, minus, 5, x, equals, 2, i x, equals, 3.

Jaki jest znak h, left parenthesis, x, right parenthesis w przedziale minus, 5, is less than, x, is less than, 2?

(Choice A)
h, left parenthesis, x, right parenthesis jest zawsze dodatnia w przedziale minus, 5, is less than, x, is less than, 2.
(Choice B)
h, left parenthesis, x, right parenthesis jest zawsze ujemna w przedziale minus, 5, is less than, x, is less than, 2.
(Choice C)
h, left parenthesis, x, right parenthesis jest zarówno dodatnia jak i ujemna w przedziale minus, 5, is less than, x, is less than, 2.

Wyzwanie

3*) Który z poniższych może być wykresem g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, cubed?

Określenie przedziałów, w których wielomian jest dodatni lub ujemny, na podstawie wykresu

Inny sposób określenia przedziałów, w których wielomian jest dodatni albo ujemny, polega na naszkicowaniu wykresu wielomianu, na podstawie jego zachowania na końcach i krotności jego miejsc zerowych.

Przeczytaj nasz artykuł na temat wykresów wielomianów dla dalszych szczegółów.

Sortuj według

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.