If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Miejsca zerowe wielomianów oraz ich wykresy

Odkryj związek pomiędzy miejscami zerowymi, pierwiastkami i przecięciami z osią X wielomianów. Dowiedz się też, jak radzić sobie z wielokrotnościami miejsc zerowych. Tłumaczenie na język polski zrealizowane przez Fundację Edukacja dla Przyszłości, dzięki wsparciu Fundacji PKO Banku Polskiego.

Czego nauczysz się w tej lekcji

Ucząc się o wielomianach, często możesz usłyszeć takie terminy jak miejsca zerowe, pierwiastki, czynniki czy przecięcia z osią O, X.
W tym artykule, zbadamy te cechy wielomianów i zależności między nimi.

Podstawowe własności funkcji wielomianowych

Dla wielomianu f i liczby rzeczywistej k następujące stwierdzenia są równoważne:
  • x, equals, start color #01a995, k, end color #01a995 jest pierwiastkiem albo rozwiązaniem równania f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0
  • start color #01a995, k, end color #01a995 jest miejscem zerowym funkcji f
  • left parenthesis, start color #01a995, k, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis jest przecięciem wykresu funkcji y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis z osią O, X
  • x, minus, start color #01a995, k, end color #01a995 jest czynnikiem liniowym f, left parenthesis, x, right parenthesis
Spróbujmy to zrozumieć korzystając z wielomianu g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, który można zapisać jako g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis.
Po pierwsze widzimy, że czynniki liniowe dla g, left parenthesis, x, right parenthesis wynoszą left parenthesis, x, minus, start color #01a995, 3, end color #01a995, right parenthesis i left parenthesis, x, minus, left parenthesis, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995, right parenthesis, right parenthesis.
Jeśli podstawimy g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 i rozwiążemy to równanie ze względu na x, dostaniemy x, equals, start color #01a995, 3, end color #01a995 albo x, equals, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995. To są rozwiązania albo pierwiastki równania.
Miejsce zerowe funkcji to taka wartość x dla której funkcja osiąga wartość 0. Ponieważ x, equals, 3 i x, equals, minus, 2 są rozwiązaniami równania g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, to start color #01a995, 3, end color #01a995 i start color #01a995, minus, 2, end color #01a995 są miejscami zerowymi g.
Wreszcie, miejsca przecięcia wykresu funkcji y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis z osią O, X spełniają równanie 0, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, które było rozwiązane powyżej. Miejsca przecięcia z osią O, X tego równania to left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis i left parenthesis, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis.

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Jakie są miejsca zerowe f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 7, right parenthesis?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

2) Wykres funkcji g przecina oś X-ów w punkcie left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis. Jaki musi być pierwiastek równania g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0?
x, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

3) Miejsca zerowe funkcji h to minus, 1 i 3. Które z następujących wyrażeń może przedstawiać h, left parenthesis, x, right parenthesis?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Miejsca zerowe i ich krotność

Kiedy jakiś czynnik liniowy występuje wielokrotnie po rozłożeniu wielomianu na czynniki, to wtedy to miejsce zerowe ma krotność.
Na przykład, w wielomianie f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, start superscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end superscript, liczba 4 jest miejscem zerowym o krotności równej start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff.
Zauważ, że kiedy rozwiniemy f, left parenthesis, x, right parenthesis, czynnik left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis piszemy start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff razy.
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, start color #aa87ff, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, end color #aa87ff
W pewnym sensie, kiedy rozwiążesz równanie f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, rozwiązanie x, equals, 4 otrzymasz dwa razy.
0=(x1)(x4)(x4)x1=0x4=0x4=0x=1x=4x=4\begin{aligned}0&=(x-1)\purpleC{(x-4)(x-4)}\\ \\ &x-1=0\qquad x-4=0\qquad x-4=0\\\\ &x=1\qquad \qquad \purpleC{x=4}\qquad \qquad \purpleC{x=4} \end{aligned}
Ogólnie, jeśli x, minus, k pojawia się m razy w rozkładzie na czynniki wielomianu, to k jest miejscem zerowym o krotności m. Miejsce zerowe o krotności 2 nazywa się dwukrotnym miejscem zerowym.

Sprawdź, czy rozumiesz

4) Które miejsce zerowe funkcji f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, cubed ma krotność 3?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

5) Które miejsce zerowe g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, cubed, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, squared jest dwukrotnym miejscem zerowym?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Związek z wykresem wielomianu

Krotność miejsc zerowych jest ważna, ponieważ mówi nam o tym, jak się będzie zachowywał wykres tego wielomianu w otoczeniu zera.
Na przykład, zauważ, że wykres f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, squared zachowuje się inaczej w otoczeniu miejsca zerowego równego 1 niż w otoczeniu miejsca zerowego wynoszącego 4, które jest dwukrotnym miejscem zerowym.
Dokładniej, podczas gdy wykres funkcji przecinaX-ów w x, equals, 1, to tylko dotykaX-ów w x, equals, 4.
Spójrzmy na wykres funkcji, które ma takie same miejsca zerowe, ale o innej krotności. Na przykład, rozważmy g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis. Zauważ, że teraz dla tej funkcji 1 jest dwukrotnym miejscem zerowym, podczas gdy 4 jest jednokrotnym miejscem zerowym.
Teraz widzimy, że wykres funkcji g dotykaX-ów w x, equals, 1 i przecinaX-ów w x, equals, 4.
W ogólności, jeśli funkcja f ma miejsce zerowe o nieparzystej krotności, wykres y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis przetnieO, X dla tego argumentu x. Jeśli funkcja f ma miejsce zerowe o parzystej krotności, wykres funkcji y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis dotknieO, X w tym punkcie.

Sprawdź, czy rozumiesz

6) Czy funkcja przedstawiona na wykresie ma parzystą czy nieparzystą krotność miejsca zerowego 6?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

7) Który z poniższych jest wykresem funkcji h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Wyzwanie

8*) Który z poniższych jest wykresem funkcji f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, x, cubed, plus, 4, x, squared, minus, 4, x?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź: