Główna zawartość
Algebra (cały materiał)
Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 10
Lekcja 19: Różne metody rozkładu funkcji kwadratowej na czynnikiRóżne metody rozkładania trójmianów kwadratowych na czynniki
Zebraliśmy razem metody rozkładania na czynniki trójmianów kwadratowych w różnej postaci
Co powinnaś/powinieneś wiedzieć, aby skorzystać z tej lekcji
W tej lekcji zostaną użyte następujące metody rozkładu na czynniki:
Czego nauczysz się w tej lekcji
W tym artykule poćwiczysz zastosowanie w praktyce wszystkich tych metod razem, nauczysz się więc znajdować rozkład na czynniki wyrażenia kwadratowego w jakiejkolwiek postaci.
Wprowadzenie: Przegląd metod rozkładania na czynniki
Metoda | Przykład | Kiedy ma zastosowanie? |
---|---|---|
Wyłączanie przed nawias wspólnych czynników | Jeśli wszystkie wyrazy wielomianu mają wspólny czynnik. | |
Schemat z sumą i iloczynem | Jeśli wielomian ma postać | |
Metoda grupowania | Jeśli wielomian ma postać | |
Idealnie kwadratowe trójmiany | Jeśli pierwszy i ostatni wyraz to liczby idealnie kwadratowe a środkowy wyraz to dwukrotność iloczynu pierwiastków kwadratowych z tych liczb. | |
Różnica kwadratów | Jeśli wyrażenie jest różnicą wyrażeń kwadratowych. |
Zapiszmy to wszystko razem:
W praktyce rzadko będziesz mieć podane jakiego sposobu rozkładu użyć kiedy dostajesz zadanie do rozwiązania. Ważne jest więc, żeby mieć swego rodzaju listę, której możesz użyć żeby ułatwić sobie szukanie rozkładu na czynniki.
To jest przykład takiej listy, w której zadajesz ciąg pytań żeby określić, w jaki sposób można rozłożyć dany wielomian.
Rozkładanie wyrażeń kwadratowych
Zanim zaczniesz rozwiązywać zadanie z rozkładaniem na czynniki, pomóc może Ci zapisanie go w postaci ogólnej.
Kiedy tak się stanie, może zacząć zadawać listę następujących pytań:
Pytanie 1: Czy jest jakiś wspólny czynnik?
Jeśli nie, przejdź do pytania 2. Jeśli tak, wyłącz największy wspólny czynnik przed nawias i przejdź do pytania 2.
Jeśli nie, przejdź do pytania 2. Jeśli tak, wyłącz największy wspólny czynnik przed nawias i przejdź do pytania 2.
Wyłączanie największego wspólnego czynnika przed nawias to bardzo ważny krok w procesie rozkładania na czynniki, ponieważ powoduje, że liczby stają się mniejsze. A to z kolei pozwala łatwiej rozpoznawać schematy!
Pytanie 2: Czy jest to różnica kwadratów (np. albo )?
Jeśli pojawi się schemat różnicy kwadratów, użyj wzoru . Jeśli nie, przejdź do pytania 3.
Jeśli pojawi się schemat różnicy kwadratów, użyj wzoru
Pytanie 3: Czy jest to idealnie kwadratowy trójmian (np. albo )?
Jeśli pojawia się schemat idealnie kwadratowego trójmianu, użyj wzoru . Jeśli nie, przejdź do pytania 4.
Jeśli pojawia się schemat idealnie kwadratowego trójmianu, użyj wzoru
Pytanie 4:
a.) Czy wyrażenie ma postać?
Jeśli nie, przejdź do pytania 5. Jeśli tak, przejdź do części b).
b.) Czy istnieją takie czynniki, które sumują się do ?
Jeśli tak, użyj schematu z sumą i iloczynem. W innym przypadku wyrażenie kwadratowe nie może już zostać dalej rozłożone.
Pytanie 5: Czy są czynniki , które sumują się do ?
Jeśli jesteś już tak daleko, to wyrażenie kwadratowe musi mieć postać , gdzie . Jeśli są takie czynniki , które sumują się do , rozkładamy to używając metody grupowania. Jeśli nie, to wyrażenia nie można już bardziej rozłożyć na czynniki.
Jeśli jesteś już tak daleko, to wyrażenie kwadratowe musi mieć postać
Sprawdzenie wszystkiego z tej lisy pomoże Ci upewnić się, że rozłożyłeś wyrażenie kwadratowe zupełnie!
Pamiętając o ty, spróbuj rozwiązać kilka przykładów.
Przykład 1: Rozkładanie na czynniki
Zauważ, że wyrażenie ma już postać ogólną. Możemy więc przejść do listy.
Pytanie 1: Czy jest jakiś wspólny czynnik?
Tak. NWD wyrażenia i to . Możemy więc go wyłączyć w ten sposób:
Tak. NWD wyrażenia
Pytanie 2: Czy jest to różnica kwadratów?
Tak. . Możemy użyć wzoru na różnicę kwadratów żeby kontynuować rozkład na czynniki tego wielomianu, tak jak pokazano poniżej.
Tak.
Nie ma już więcej wyrażeń kwadratowych w tym wielomianie. Rozłożyliśmy go zupełnie.
Podsumowując, .
Przykład 2: Rozkładanie na czynniki
Wyrażenie kwadratowe ponownie jest w postaci ogólnej. Zacznijmy się sprawdzanie listy!
Pytanie 1: Czy jest jakiś wspólny czynnik?
Nie. Wyrazy , i nie mają wspólnego czynnika. Następne pytanie.
Nie. Wyrazy
Pytanie 2: Czy jest to różnica kwadratów?
Nie. Jest tam wyraz , więc nie może to być różnica kwadratów. Następne pytanie.
Nie. Jest tam wyraz
Pytanie 3: Czy jest to idealnie kwadratowy trójmian?
Tak. Pierwszy wyraz jest idealnie kwadratowy, ponieważ , i ostatni wyraz jest idealnie kwadratowy, ponieważ . Także środkowy wyraz jest podwójnym iloczynem liczb, które są podniesione do kwadratu, ponieważ .
Tak. Pierwszy wyraz jest idealnie kwadratowy, ponieważ
Możemy użyć schematu idealnie kwadratowego trójmianu żeby rozłożyć to wyrażenie.
Podsumowując, .
Przykład 3: Rozkładanie na czynniki
Wyrażenie kwadratowe nie ma postaci ogólnej. Możemy zapisać to w postaci i możemy przejść do listy.
Pytanie 1: Czy jest wspólny czynnik?
Tak. NWD wyrazów , i to . Możemy rozłożyć to w ten sposób:
Tak. NWD wyrazów
Pytanie 2: Czy jest to różnica kwadratów?
Nie. Następne pytanie.
Nie. Następne pytanie.
Pytanie 3: Czy jest to idealnie kwadratowy trójmian?
Nie. Zauważ, że to nie jest liczba kwadratowa, więc nie może to być idealnie kwadratowy trójmian. Następne pytanie.
Nie. Zauważ, że
Pytanie 4a: Czy jest to wyrażenie w postaci ?
Tak. Wynikowe wyrażenie kwadratowe, , ma tą postać.
Tak. Wynikowe wyrażenie kwadratowe,
Pytanie 4b: Czy istnieją czynniki , które sumują się do ?
Tak. A konkretnie, są takie czynniki , które sumują się do .
Tak. A konkretnie, są takie czynniki
Ponieważ i , możemy kontynuować w następujący sposób:
Podsumowując, .
Przykład 4: Rozkładanie na czynniki
Zauważ, że wyrażenie kwadratowe ma już postać ogólną.
Pytanie 1: Czy jest wspólny czynnik?
Tak. NWD wyrazów , i to . Możemy rozłożyć to w ten sposób:
Tak. NWD wyrazów
Pytanie 2: Czy jest to różnica kwadratów?
Nie. Następne pytanie.
Nie. Następne pytanie.
Pytanie 3: Czy jest to idealnie kwadratowy trójmian?
Nie. Następne pytanie.
Nie. Następne pytanie.
Pytanie 4a: Czy wyrażenie to ma postać ?
Nie. Współczynnik przy najwyższej potędze wynosi . Następne pytanie.
Nie. Współczynnik przy najwyższej potędze wynosi
Pytanie 5: Czy są takie czynniki , które sumują się do ?
Wynikowe wyrażenie kwadratowe to , więc chcemy znaleźć czynniki , które sumują się do .
Wynikowe wyrażenie kwadratowe to
Ponieważ i , odpowiedź brzmi tak.
Możemy teraz zapisać środkowy wyraz w postaci i użyć grupowania żeby rozłożyć to na czynniki:
Sprawdź, czy rozumiesz
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji