If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Algebra (cały materiał)

Course: Algebra (cały materiał) > Jednostka 10

Lekcja 19: Różne metody rozkładu funkcji kwadratowej na czynniki
Matematyka
Algebra (cały materiał)
Wyrażenia, równania oraz funkcje wielomianowe
Różne metody rozkładu funkcji kwadratowej na czynniki
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Różne metody rozkładania trójmianów kwadratowych na czynniki

Google Classroom
Zebraliśmy razem metody rozkładania na czynniki trójmianów kwadratowych w różnej postaci

Co powinnaś/powinieneś wiedzieć, aby skorzystać z tej lekcji

W tej lekcji zostaną użyte następujące metody rozkładu na czynniki:

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tym artykule poćwiczysz zastosowanie w praktyce wszystkich tych metod razem, nauczysz się więc znajdować rozkład na czynniki wyrażenia kwadratowego w jakiejkolwiek postaci.

Wprowadzenie: Przegląd metod rozkładania na czynniki

MetodaPrzykładKiedy ma zastosowanie?
Wyłączanie przed nawias wspólnych czynników= 6x2+3x=3x(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~6x^2+3x\\\\&=3x(2x+1)\\\\\end{aligned}Jeśli wszystkie wyrazy wielomianu mają wspólny czynnik.
Schemat z sumą i iloczynem= x2+7x+12=(x+3)(x+4)\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+7x+12\\\\&=(x+3)(x+4)\end{aligned}Jeśli wielomian ma postać x, squared, plus, b, x, plus, c i istnieją takie czynniki wyrazu c, których suma wynosi b.
Metoda grupowania= 2x2+7x+3=2x2+6x+1x+3=2x(x+3)+1(x+3)=(x+3)(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~2x^2+7x+3\\\\&=2x^2+6x+1x+3\\\\&=2x(x+3)+1(x+3)\\\\&=(x+3)(2x+1)\\\\\\\end{aligned}Jeśli wielomian ma postać a, x, squared, plus, b, x, plus, c i istnieją takie czynniki iloczynu a, c, których suma wynosi b.
Idealnie kwadratowe trójmiany= x2+10x+25=(x+5)2\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+10x+25\\\\&=(x+5)^2\end{aligned}Jeśli pierwszy i ostatni wyraz to liczby idealnie kwadratowe a środkowy wyraz to dwukrotność iloczynu pierwiastków kwadratowych z tych liczb.
Różnica kwadratów=  x2−9=(x−3)(x+3)\begin{aligned}&\phantom{=}~~x^2-9\\\\&=(x-3)(x+3)\end{aligned}Jeśli wyrażenie jest różnicą wyrażeń kwadratowych.

Zapiszmy to wszystko razem:

W praktyce rzadko będziesz mieć podane jakiego sposobu rozkładu użyć kiedy dostajesz zadanie do rozwiązania. Ważne jest więc, żeby mieć swego rodzaju listę, której możesz użyć żeby ułatwić sobie szukanie rozkładu na czynniki.
To jest przykład takiej listy, w której zadajesz ciąg pytań żeby określić, w jaki sposób można rozłożyć dany wielomian.

Rozkładanie wyrażeń kwadratowych

Zanim zaczniesz rozwiązywać zadanie z rozkładaniem na czynniki, pomóc może Ci zapisanie go w postaci ogólnej.
Kiedy tak się stanie, może zacząć zadawać listę następujących pytań:
Pytanie 1: Czy jest jakiś wspólny czynnik?
Jeśli nie, przejdź do pytania 2. Jeśli tak, wyłącz największy wspólny czynnik przed nawias i przejdź do pytania 2.
Wyłączanie największego wspólnego czynnika przed nawias to bardzo ważny krok w procesie rozkładania na czynniki, ponieważ powoduje, że liczby stają się mniejsze. A to z kolei pozwala łatwiej rozpoznawać schematy!
Pytanie 2: Czy jest to różnica kwadratów (np. x, squared, minus, 16 albo 25, x, squared, minus, 9)?
Jeśli pojawi się schemat różnicy kwadratów, użyj wzoru a, squared, minus, b, squared, equals, left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, left parenthesis, a, minus, b, right parenthesis. Jeśli nie, przejdź do pytania 3.
Pytanie 3: Czy jest to idealnie kwadratowy trójmian (np. x, squared, minus, 10, x, plus, 25 albo 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9)?
Jeśli pojawia się schemat idealnie kwadratowego trójmianu, użyj wzoru a, squared, plus minus, 2, a, b, plus, b, squared, equals, left parenthesis, a, plus minus, b, right parenthesis, squared. Jeśli nie, przejdź do pytania 4.
Pytanie 4:
a.) Czy wyrażenie ma postać x, squared, plus, b, x, plus, c?
Jeśli nie, przejdź do pytania 5. Jeśli tak, przejdź do części b).
b.) Czy istnieją takie czynniki c, które sumują się do b?
Jeśli tak, użyj schematu z sumą i iloczynem. W innym przypadku wyrażenie kwadratowe nie może już zostać dalej rozłożone.
Pytanie 5: Czy są czynniki a, c, które sumują się do b?
Jeśli jesteś już tak daleko, to wyrażenie kwadratowe musi mieć postać a, x, squared, plus, b, x, plus, c, gdzie a, does not equal, 1. Jeśli są takie czynniki a, c, które sumują się do b, rozkładamy to używając metody grupowania. Jeśli nie, to wyrażenia nie można już bardziej rozłożyć na czynniki.
Sprawdzenie wszystkiego z tej lisy pomoże Ci upewnić się, że rozłożyłeś wyrażenie kwadratowe zupełnie!
Pamiętając o ty, spróbuj rozwiązać kilka przykładów.

Przykład 1: Rozkładanie na czynniki 5, x, squared, minus, 80

Zauważ, że wyrażenie ma już postać ogólną. Możemy więc przejść do listy.
Pytanie 1: Czy jest jakiś wspólny czynnik?
Tak. NWD wyrażenia 5, x, squared i 80 to 5. Możemy więc go wyłączyć w ten sposób:
5, x, squared, minus, 80, equals, 5, left parenthesis, x, squared, minus, 16, right parenthesis
Pytanie 2: Czy jest to różnica kwadratów?
Tak. x, squared, minus, 16, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Możemy użyć wzoru na różnicę kwadratów żeby kontynuować rozkład na czynniki tego wielomianu, tak jak pokazano poniżej.
5x2−80=5((x)2−(4)2)=5(x+4)(x−4)\begin{aligned}\phantom{5x^2-80}&=5\left((\blueD {x})^2-(\greenD 4)^2\right)\\ \\ &=5(\blueD x+\greenD 4)(\blueD x-\greenD 4)\end{aligned}
Nie ma już więcej wyrażeń kwadratowych w tym wielomianie. Rozłożyliśmy go zupełnie.
Podsumowując, 5, x, squared, minus, 80, equals, 5, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis.

Przykład 2: Rozkładanie na czynniki 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9

Wyrażenie kwadratowe ponownie jest w postaci ogólnej. Zacznijmy się sprawdzanie listy!
Pytanie 1: Czy jest jakiś wspólny czynnik?
Nie. Wyrazy 4, x, squared, 12, x i 9 nie mają wspólnego czynnika. Następne pytanie.
Pytanie 2: Czy jest to różnica kwadratów?
Nie. Jest tam wyraz x, więc nie może to być różnica kwadratów. Następne pytanie.
Pytanie 3: Czy jest to idealnie kwadratowy trójmian?
Tak. Pierwszy wyraz jest idealnie kwadratowy, ponieważ 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, i ostatni wyraz jest idealnie kwadratowy, ponieważ 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Także środkowy wyraz jest podwójnym iloczynem liczb, które są podniesione do kwadratu, ponieważ 12, x, equals, 2, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis.
Możemy użyć schematu idealnie kwadratowego trójmianu żeby rozłożyć to wyrażenie.
=4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2\begin{aligned}&\phantom{=}4x^2+12x+9\\\\&=(\blueD {2x})^2+2(\blueD{2x})(\greenD{3})+(\greenD{3})^2\\\\&=(\blueD{2x}+\greenD 3)^2\end{aligned}
Podsumowując, 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9, equals, left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, squared.

Przykład 3: Rozkładanie na czynniki 12, x, minus, 63, plus, 3, x, squared

Wyrażenie kwadratowe nie ma postaci ogólnej. Możemy zapisać to w postaci 3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63 i możemy przejść do listy.
Pytanie 1: Czy jest wspólny czynnik?
Tak. NWD wyrazów 3, x, squared, 12, x i 63 to 3. Możemy rozłożyć to w ten sposób:
3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63, equals, 3, left parenthesis, x, squared, plus, 4, x, minus, 21, right parenthesis
Pytanie 2: Czy jest to różnica kwadratów?
Nie. Następne pytanie.
Pytanie 3: Czy jest to idealnie kwadratowy trójmian?
Nie. Zauważ, że 21 to nie jest liczba kwadratowa, więc nie może to być idealnie kwadratowy trójmian. Następne pytanie.
Pytanie 4a: Czy jest to wyrażenie w postaci x, squared, plus, b, x, plus, c?
Tak. Wynikowe wyrażenie kwadratowe, x, squared, plus, 4, x, minus, 21, ma tą postać.
Pytanie 4b: Czy istnieją czynniki c, które sumują się do b?
Tak. A konkretnie, są takie czynniki minus, 21, które sumują się do 4.
Ponieważ 7, dot, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 21 i 7, plus, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, 4, możemy kontynuować w następujący sposób:
3(x2+4x−21)=3(x2+4x−21)=3(x+7)(x−3)\begin{aligned}\phantom{3(x^2+4x-21)}&=3(x^2+4x-21)\\ \\ &=3(x+7)(x-3)\\ \end{aligned}
Podsumowując, 3, x, squared, plus, 12, x, minus, 63, equals, 3, left parenthesis, x, plus, 7, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis.

Przykład 4: Rozkładanie na czynniki 4, x, squared, plus, 18, x, minus, 10

Zauważ, że wyrażenie kwadratowe ma już postać ogólną.
Pytanie 1: Czy jest wspólny czynnik?
Tak. NWD wyrazów 4, x, squared, 18, x i 10 to 2. Możemy rozłożyć to w ten sposób:
4, x, squared, plus, 18, x, minus, 10, equals, 2, left parenthesis, 2, x, squared, plus, 9, x, minus, 5, right parenthesis
Pytanie 2: Czy jest to różnica kwadratów?
Nie. Następne pytanie.
Pytanie 3: Czy jest to idealnie kwadratowy trójmian?
Nie. Następne pytanie.
Pytanie 4a: Czy wyrażenie to ma postać x, squared, plus, b, x, plus, c?
Nie. Współczynnik przy najwyższej potędze wynosi 2. Następne pytanie.
Pytanie 5: Czy są takie czynniki a, c, które sumują się do b?
Wynikowe wyrażenie kwadratowe to 2, x, squared, plus, 9, x, minus, 5, więc chcemy znaleźć czynniki 2, dot, left parenthesis, minus, 5, right parenthesis, equals, minus, 10, które sumują się do 9.
Ponieważ left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, dot, 10, equals, minus, 10 i left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, plus, 10, equals, 9, odpowiedź brzmi tak.
Możemy teraz zapisać środkowy wyraz w postaci minus, 1, x, plus, 10, x i użyć grupowania żeby rozłożyć to na czynniki:
= 2(2x2+9x−5)=2(2x2−1x+10x−5)Rozbijanie sˊrodkowego wyrazu=2((2x2−1x)+(10x−5))Grupowanie wyrazoˊw=2(x(2x−1)+5(2x−1))Wyłączenie NWD=2(2x−1)(x+5)Wyłącz 2x−1\begin{aligned}&\phantom{=}~2(2x^2+9x-5)\\\\ &=2(2x^2-1x+10x-5)&&\small{\gray{\text{Rozbijanie środkowego wyrazu}}}\\ \\ &=2\left((2x^2-1x)+(10x-5)\right)&&\small{\gray{\text{Grupowanie wyrazów}}}\\\\ &=2\left(x(2x-1)+5(2x-1)\right)&&\small{\gray{\text{Wyłączenie NWD}}}\\\\ &=2(2x-1)(x+5)&&\small{\gray{\text{Wyłącz $2x-1$}}} \end{aligned}

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Całkowicie rozłóż na czynniki 2, x, squared, plus, 4, x, minus, 16.
Wybierz 1 odpowiedź:

2) Całkowicie rozłóż na czynniki 3, x, squared, minus, 60, x, plus, 300.

3) Całkowicie rozłóż na czynniki 72, x, squared, minus, 2.

4) Całkowicie rozłóż na czynniki 5, x, squared, plus, 5, x, plus, 15.
Wybierz 1 odpowiedź:

5) Całkowicie rozłóż na czynniki 8, x, squared, minus, 12, x, minus, 8.

6) Całkowicie rozłóż na czynniki 56, minus, 18, x, plus, x, squared.

7) Całkowicie rozłóż na czynniki 3, x, squared, plus, 27.
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.