If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Algebra (cały materiał)

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 9

Lekcja 3: Rozwiązywanie równań kwadratowych przez wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego
Matematyka
Algebra (cały materiał)
Równania i funkcje kwadratowe
Rozwiązywanie równań kwadratowych przez wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą pierwiastka kwadratowego

Google Classroom
Naucz się rozwiązywać równania kwadratowe takie jak x^2=36 lub (x-2)^2=49.

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Czego nauczysz się w tej lekcji

Dotychczas rozwiązywałaś/eś równania liniowe, które zawierały wyrazy stałe - czyli liczby - i wyrazy ze zmienną podniesioną do pierwszej potęgi, x1=x.
Teraz nauczysz się, jak rozwiązywać równania kwadratowe, które zawierają wyrażenia ze zmienną podniesioną do drugiej potęgi, czyli x2.
Oto kilka przykładów równań kwadratowych, które nauczysz się rozwiązywać:
x2=36
(x−2)2=49
2x2+3=131
Przejdźmy do meritum.

Rozwiązywanie równań w rodzaju x2=36

Załóżmy, że chcemy rozwiązać równanie x2=36. Spróbujmy najpierw przedstawić własnymi słowami, o co pyta nas to równanie. Pyta o to, jaka liczba, pomnożona przez siebie, da w wyniku 36.
Jeśli to pytanie coś Ci przypomina, to dlatego, że jest to definicja pierwiastka kwadratowego z 36, który w notacji matematycznej zapisujemy jako 36.
Kompletne rozwiązanie tego równania wygląda tak:
x2=36x2=36oblicz pierwiastek kwadratowyx=±36x=±6
Prześledźmy, co wydarzyło się w tym rozwiązaniu.

Co oznacza znak ± ?

Zauważ, że każda liczba dodatnia ma dwa pierwiastki: pierwiastek dodatni oraz pierwiastek ujemny. Na przykład, kwadrat liczby 6 jest równy kwadratowi liczby −6, czyli 36. Oznacza to, że równanie x2=36 ma dwa rozwiązania.
Znak ± jest wygodnym sposobem matematycznego przedstawienia tego faktu. Na przykład, ±6 oznacza "albo 6, albo −6".

Uwaga na temat działań odwrotnych

Przy rozwiązywaniu równań liniowych znajdowaliśmy zmienną poprzez użycie transformacji odwrotnych: jeżeli zmienna była powiększona o 3, odejmowaliśmy 3 od obu stron równania, z kolei jeżeli zmienna była pomnożona przez 4, dzieliliśmy obie strony równania przez 4.
Operacją odwrotną do podnoszenia do drugiej potęgi jest pierwiastkowanie. Jednakże, w przeciwieństwie do innych operacji, przy pierwiastkowaniu musimy uwzględnić oba pierwiastki: dodatni oraz ujemny.
Rozwiąż teraz samemu kilka podobnych równań.
zadanie 1
Rozwiąż równanie x2=16.
x=±
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

Zadanie 2
Rozwiąż równanie x2=81.
x=±
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

Zadanie 3
Rozwiąż x2=5.
Wybierz 1 odpowiedź:

Rozwiązywanie równań w rodzaju (x−2)2=49

Tak rozwiązuje się równanie (x−2)2=49:
(x−2)2=49(x−2)2=49oblicz pierwiastek kwadratowy  |x−2|=7,  x−2=±7x=±7+2dodaj 2
Rozwiązaniami są więc x=9 oraz x=−5.
Prześledźmy, co wydarzyło się w tym rozwiązaniu.

Znajdowanie x

Używając operacji odwrotnej do pierwiastkowania, pozbyliśmy się znaku pierwiastka. Był to ważny krok w drodze do wyłączenia x, jednakże nadal musieliśmy dodać 2 w ostatnim kroku, aby ostatecznie wyłączyć x.

Interpretacja rozwiązań

Nasze rozwiązanie zakończyło się zapisaniem wzoru x=±7+2. Jak rozumieć to wyrażenie? Pamiętaj, że ±7 oznacza "albo +7, albo −7". Z tego powodu musimy rozbić nasze rozwiązanie na dwa przypadki: albo x=7+2, albo x=−7+2.
Mamy więc dwa rozwiązania, x=9 i x=−5.
Rozwiąż teraz samemu kilka podobnych równań.
Zadanie 4
Rozwiąż równanie (x+3)2=25.
Wybierz 1 odpowiedź:

Zadanie 5
Rozwiąż równanie (2x−1)2=9.
Wybierz 1 odpowiedź:

Zadanie 6
Rozwiąż równanie (x−5)2=7.
Wybierz 1 odpowiedź:

Dlaczego nie powinniśmy opuszczać nawiasów?

Wróćmy do naszego przykładowego równania (x−2)2=49. Przypuśćmy, że chcemy opuścić nawiasy. W końcu tak czynimy w równaniach liniowych, nieprawdaż?
Opuszczenie nawiasów daje nam w efekcie następujące równanie:
x2−4x+4=49
Gdybyśmy chcieli spierwiastkować obie strony równania, musielibyśmy wziąć pierwiastek z x. Otrzymalibyśmy wtedy x, co nie jest zbytnio pomocne.
Z drugiej strony, pierwiastkowanie wyrażeń postaci x2 lub (x−2)2 daje nam wyrażenia typu x lub (x−2).
Pozostawianie wyrażeń z x w nawiasie jest zatem całkiem przydatne, gdyż wtedy możemy wziąć pierwiastek i otrzymać "łatwy" wynik.

Rozwiązywanie równań w rodzaju 2x2+3=131

Nie wszystkie równania kwadratowe da się rozwiązać dokonując prostego pierwiastkowania. Czasem, zanim spierwiastkujemy, musimy wyizolować człon kwadratowy .
Na przykład, aby rozwiązać równanie 2x2+3=131, musimy najpierw wyłączyć x2. Robimy to dokładnie tak samo, jak wyłączając wyraz x w równaniu liniowym.
2x2+3=1312x2=128odejmij 3x2=64podziel przez 2x2=64oblicz pierwiastek kwadratowyx=±8
Rozwiąż teraz samemu kilka podobnych równań.
Zadanie 7
Rozwiąż równanie 3x2−7=5.
Wybierz 1 odpowiedź:

Zadanie 8
Rozwiąż równanie 4(x−1)2+2=38.
Wybierz 1 odpowiedź:

Wyzwanie
Rozwiąż równanie x2+8x+16=9.
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.