If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Algebra (cały materiał)

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 9

Lekcja 5: Rozwiązywanie równań kwadratowych przez rozkład na czynniki
Matematyka
Algebra (cały materiał)
Równania i funkcje kwadratowe
Rozwiązywanie równań kwadratowych przez rozkład na czynniki
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Rozwiązywanie równań kwadratowych przez rozkład na czynniki

Google Classroom
Naucz się jak rozwiązywać równania kwadratowe jak (x-1)(x+3) = 0 i jak stosować rozkład na czynniki by rozwiązać inne równania.

Co trzeba wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Czego nauczysz się w tej lekcji

Dotychczas rozwiązywałaś/eś równania liniowe, które zawierały wyrazy stałe - czyli liczby - i wyrazy ze zmienną podniesioną do pierwszej potęgi, x1=x.
Być może zdarzyło Ci się już rozwiązać kilka równań kwadratowych, czyli takich, które miały zmienną podniesioną do drugiej potęgi, wyciągając pierwiastek kwadratowy z obu stron.
W tej lekcji nauczysz się nowego sposobu rozwiązywania równań kwadratowych. A zwłaszcza dowiesz się
  • jak rozwiązać równania w postaci iloczynowej, jak (x−1)(x+3)=0 oraz
  • jak użyć metod rozkładu na czynniki żeby doprowadzić inne równania (jak x2−3x−10=0) do postaci iloczynowej i je rozwiązać.

Rozwiązywanie równań w postaci iloczynowej

Przypuśćmy, że mamy rozwiązać równanie kwadratowe (x−1)(x+3)=0.
Jest to iloczyn dwóch wyrażeń, który równy jest zero. Zauważ, że dowolne x, dla którego (x−1) lub (x+3) jest równe zero, zeruje również cały iloczyn.
(x−1)(x+3)=0↙↘x−1=0x+3=0x=1x=−3
Podstawienie x=1 lub x=−3 do równania da nam prawdziwą równość 0=0, więc obie liczby są rozwiązaniem równania.
Rozwiąż teraz samemu kilka podobnych równań.
Rozwiąż równanie (x+5)(x+7)=0.
Wybierz 1 odpowiedź:

Rozwiąż równanie (2x−1)(4x−3)=0.
Wybierz 1 odpowiedź:

Pytanie do zastanowienia

Czy ta sama metoda rozwiązania może być zastosowana do równania (x−1)(x+3)=6?
Wybierz 1 odpowiedź:

Uwaga dotycząca własności zerowego iloczynu

Skąd wiemy, że nie ma więcej rozwiązań niż te dwa, jakie znajdujemy przy użyciu naszej metody?
Odpowiedź możemy znaleźć za pomocą następującej własności iloczynu wynoszącego zero:
Jeżeli iloczyn dwóch wielkości wynosi zero, to co najmniej jedna z tych wielkości musi wynosić zero.
Podstawienie dowolnego x poza naszymi rozwiązaniami daje w wyniku iloczyn dwóch niezerowych liczb, który nigdy nie jest równy zero. Oznacza to, że nasze rozwiązania są jedynymi możliwymi.

Rozwiązanie przez rozkład na czynniki

Przypuśćmy, że mamy rozwiązać równanie x2−3x−10=0. Wszystko, co należy zrobić, to zapisać x2−3x−10 jako iloczyn dwóch czynników i rozwiązywać jak poprzednio!
x2−3x−10 może być zapisane jako (x+2)(x−5).
Pełne rozwiązanie równania wygląda tak:
x2−3x−10=0(x+2)(x−5)=0Rozłóż na czynniki.
↙↘x+2=0x−5=0x=−2x=5
Teraz rozwiąż kilka równań samemu. Pamiętaj, że różne równania mogą wymagać różnych metod rozkładu.

Rozwiąż x2+5x=0.

Krok 1. Rozłóż x2+5x na iloczyn dwóch wyrażeń liniowych.

Krok 2. Rozwiąż równanie.
Wybierz 1 odpowiedź:

Rozwiąż x2−11x+28=0.

Krok 1. Rozłóż x2−11x+28 na iloczyn dwóch wyrażeń liniowych.

Krok 2. Rozwiąż równanie.
Wybierz 1 odpowiedź:

Rozwiąż 4x2+4x+1=0.

Krok 1. Rozłóż 4x2+4x+1 na iloczyn dwóch wyrażeń liniowych.

Krok 2. Rozwiąż równanie.
Wybierz 1 odpowiedź:

Rozwiąż 3x2+11x−4=0.

Krok 1. Rozłóż 3x2+11x−4 na iloczyn dwóch wyrażeń liniowych.

Krok 2. Rozwiąż równanie.
Wybierz 1 odpowiedź:

Przekształcanie wyrażenia przed rozkładem na czynniki

Jedna ze stron równania musi być równa zero.

Tak rozwiązuje się równanie x2+2x=40−x:
x2+2x=40−xx2+2x−40+x=0Odejmij 40 i dodaj x.x2+3x−40=0Połącz wyrazy podobne.(x+8)(x−5)=0Rozłóż na czynniki.
↙↘x+8=0x−5=0x=−8x=5
Zanim dokonaliśmy rozkładu na czynniki, tak wymanewrowaliśmy równaniem, że wszystkie wyrazy znalazły się po jednej stronie, a po drugiej stronie stało zero. Dopiero wtedy mogliśmy dokonać rozkładu na czynniki i zastosować naszą metodę rozwiązania.

Dzielenie przez wspólny czynnik

Tak rozwiązuje się równanie 2x2−12x+18=0:
2x2−12x+18=0x2−6x+9=0Podziel przez 2.(x−3)2=0Rozłóż na czynniki.↓x−3=0x=3
Początkowo wszystkie wyrazy pomnożone były przez wspólny czynnik 2, więc podzieliliśmy obie strony przez 2 - zero po prawej stronie pozostało zerem - co uprościło nam rozkład na czynniki.
Rozwiąż teraz samemu kilka podobnych równań.
Znajdź rozwiązania równania.
2x2−3x−20=x2+34
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Znajdź rozwiązania równania.
3x2+33x+30=0
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Znajdź rozwiązania równania.
3x2−9x−20=x2+5x+16
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.