Główna zawartość

Algebra (cały materiał)

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 9

Lekcja 7: Wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Przypomnienie wiadomości o wyróżniku równania kwadratowego

Wyróżnik równania kwadratowego to wyrażenie pod pierwiastkiem: b²-4ac. Z wartości wyróżnika wynika, czy równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste, jeden pierwiastek rzeczywisty, czy w ogóle nie ma pierwiastków, które są liczbami rzeczywistymi.

Krótki przegląd rozwiązania równania kwadratowego

Wzór na rozwiązanie równania kwadratowego wygląda tak

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

dla dowolnego równania kwadratowego o postaci:

a x^{2} + b x + c = 0

Co to jest wyróżnik?

Wyróżnik

to ta część rozwiązania równania kwadratowego, która znajduje się pod pierwiastkiem kwadratowym.

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Wyróżnik może być dodatni, równy zero, albo ujemny, a to określa, ile jest rozwiązań danego równania kwadratowego.

Dodatni wyróżnik mówi, że równanie kwadratowe ma dwa różne, rzeczywiste rozwiązania.
Wyróżnik równy zero mówi, że równanie kwadratowe ma jedno, dwukrotne rzeczywiste rozwiązanie.
Ujemny wyróżnik wskazuje na to, że żadne z rozwiązań nie jest liczbą rzeczywistą.

Chcesz dokładniej zrozumieć te zasady? Obejrzyj ten film.

Przykład

Dla podanego równania kwadratowego mamy wyznaczyć ile ma ono rozwiązań:

6 x^{2} + 10 x - 1 = 0

Z równania widzimy:

$a = 6$ ‍
$b = 10$ ‍
$c = - 1$ ‍

Podstawiając te wartości do wzoru na wyróżnik, otrzymujemy:

\begin{aligned} b^{2} - 4 a c \\ = & 10^{2} - 4 (6) (- 1) \\ = & 100 + 24 \\ = & 124 \end{aligned}

Otrzymaliśmy liczbę dodatnią, więc równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

To ma sens, jeśli weźmiemy pod uwagę odpowiedni wykres.

Zauważ, że wykres przecina oś

X

w dwóch miejscach. Innymi słowy, istnieją dwa rozwiązania dla których wartość

y

wynosi

0

, więc istnieją dwa rozwiązania równania kwadratowego:

6 x^{2} + 10 x - 1 = 0

Ćwiczenie

zadanie 1

f (x) = 3 x^{2} + 24 x + 48

Jaka jest wartość wyróżnika dla $f$ ‍?

Ile różnych rozwiązań ma $f$ ‍?

Chcesz jeszcze poćwiczyć? Rozwiąż to ćwiczenie.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.