Główna zawartość

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 9

Lekcja 7: Wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Rozumienie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego

Zdobądź więcej wiedzy na temat wzoru na pierwiastki równania kwadratowego oraz sposobów jego używania w równaniach kwadratowych.

Wzór na pierwiastki kwadratowe pomaga rozwiązać równania kwadratowe i jest prawdopodobnie jednym z pięciu najważniejszych wzorów w matematyce. Nie jesteśmy fanami zapamiętywania wzorów, ale ten jest bardzo przydatny (i myślimy, że powinieneś nauczyć się nie tylko go używać, ale też wyprowadzać, ale to już na kolejny filmik!)
Jeśli masz wzór ogólny równania kwadratowego:

a x^{2} + b x + c = 0

To pomoże Ci on znaleźć pierwiastki równania kwadratowego, to znaczy wartości zmiennej

x

, które są rozwiązaniami tego równania.

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Może on wyglądać nieco przerażająco, ale szybko się do niego przyzwyczaisz!
Poćwicz teraz używanie wzoru

Praktyczny przykład

Na początek musimy zidentyfikować wartości a, b i c (współczynniki). Pierwszy krok polega na upewnieniu się, że równanie jest w takiej postaci jak wyżej, czyli

a x^{2} + b x + c = 0

x^{2} + 4 x - 21 = 0

$a$ ‍ to współczynnik przy $x^{2}$ ‍, więc u nas $a = 1$ ‍ (zauważ, że $a$ ‍ nie może być równe $0$ ‍ -- bo to $x^{2}$ ‍ sprawia, że mamy równanie kwadratowe).
$b$ ‍ jest współczynnikiem przy $x$ ‍, więc u nas $b = 4$ ‍.
$c$ ‍ jest stałą, czyli wyrazem bez żadnego $x$ ‍ obok, więc u nas $c = - 21$ ‍.

Następnie podstawiamy

a

b

c

do wzoru:

x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2}

rozwiązanie wygląda tak:

\begin{aligned} x & = \frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2} \\ = \frac{- 4 \pm 10}{2} \\ = - 2 \pm 5 \end{aligned}

Zatem

x = 3

lub

x = - 7

Co nam mówi rozwiązanie?

Te dwa rozwiązania równania to miejsca, w których krzywa przecina oś X. Krzywa, opisana równaniem

x^{2} + 3 x - 4 = 0

, wygląda następująco:

oraz jednocześnie rozwiązania równania kwadratowego i miejsca przecięcia z osią X są w

x = - 4

x = 1

Znamy też inne metody na znalezienie rozwiązań równania kwadratowego, takie jak: rozkład na czynniki, dopełnienie do kwadratu, albo odczytywanie miejsc zerowych z wykresu. Dlaczego więc potrzebny nam jest ten wzór?

Wzór się przydaje, ponieważ czasami równanie kwadratowe może okazać się trudniejsze do rozwiązania niż w naszym pierwszym przykładzie.

Drugi przykład

Spróbujmy rozwiązać równanie, które trudno rozłożyć na czynniki:

3 x^{2} + 6 x = - 10

Najpierw przekształćmy to do postaci, w której wszystkie wyrazy są po lewej stronie:

\underset{a}{\underset{⏟}{(3)}} x^{2} + \underset{b}{\underset{⏟}{(6)}} x + \underset{c}{\underset{⏟}{(10)}} = 0

Korzystając ze wzoru, otrzymujemy

\begin{aligned} x & = \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3} \\ = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 120}}{6} \\ = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 84}}{6} \end{aligned}

Wiemy, że nie możesz wyciągnąć pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej bez używania liczb urojonych, to nam więc mówi, że nie ma rzeczywistego rozwiązania dla tego równania. To oznacza, iż w żadnym punkcie wykresu nie zajdzie

y = 0

, funkcja nie przetnie osi

X

. Możemy też zobaczyć wykres na kalkulatorze:

Teraz znasz już podstawy używania wzoru na pierwiastki równania kwadratowego!
W filmach poniżej znajdziesz więcej rozwiązanych przykładów.

Wskazówki pomocne przy korzystaniu z wzoru na pierwiastki równania kwadratowego

Uważaj, musisz mieć równanie ustawione w prawidłowej kolejności: $a x^{2} + b x + c = 0$ ‍. Inaczej wzór nie zadziała!
Pamiętaj o wyciągnięciu pierwiastka kwadratowego z całości $(b^{2} - 4 a c)$ ‍ i że $2 a$ ‍ znajduje się w mianowniku, a wszystko inne w liczniku
Uważaj na liczby ujemne: $b^{2}$ ‍ nie może być ujemne, więc jeśli na początku $b$ ‍ jest ujemne, to po podniesieniu do kwadratu będzie zawsze dodatnie (liczba dodatnia lub ujemna podniesiona do kwadratu zawsze da nam liczbę dodatnią)
W rozwiązaniach musisz uwzględnić dwa znaki $+ / -$ ‍ więc zawsze spodziewaj się DWÓCH rozwiązań
Jeśli korzystasz z kalkulatora wynik może być zaokrąglony do pewnego miejsca po przecinku. Jeśli pytają Cię o dokładny wynik (tak jest zwykle) i nie da się wyciągnąć pierwiastka kwadratowego, w rozwiązaniu wynik podaj z pierwiastkiem, e.g. $\frac{2 - \sqrt{10}}{2}$ ‍ i $\frac{2 + \sqrt{10}}{2}$ ‍

Następny krok:

Poćwicz rozwiązywanie równań kwadratowych.
Obejrzyj jak rozwiązujemy przykład:

Filmy wideo na Khan Academy

Zobacz transkrypcję filmu

Udowodnij wzór na rozwiązanie równania kwadratowego:

Filmy wideo na Khan Academy

Zobacz transkrypcję filmu

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.