Rozwiązywanie równań z pierwiastkami trzeciego stopnia

Mamy obliczyć wartość „y” wiedząc, że minus pierwiastek sześcienny z „y” równa się 4 pierwiastki sześcienne z „y” dodać 5. Najprościej będzie wyodrębnić pierwiastek sześcienny po jednej stronie równania i wtedy obliczyć „y”. Spróbujmy wyodrębnić pierwiastek. Najłatwiejszy sposób, aby wszystkie pierwiastki znalazły się po lewej, to odjąć 4 pierwiastki sześcienne z „y” od obu stron równania. No to odejmijmy. Odejmijmy 4 pierwiastki sześcienne z „y” od obu stron tego równania. 4 pierwiastki sześcienne z „y” od obu stron. Po lewej stronie… jest już jeden ujemny pierwiastek sześcienny z „y”, więc jeśli odejmiemy od niego 4 pierwiastki, to razem będzie minus 5… pierwiastków sześciennych z „y”. To lewa strona, a po prawej te dwa wyrażenia się zerują. Taki był cel tego odejmowania. Usuwamy i zostaje nam samo 5. Zostaje nam tylko ta piątka. Aby ostatecznie wyodrębnić pierwiastek sześcienny z „y”, podzielmy obie strony równania przez minus 5. A więc dzielimy obie strony przez -5. To się zeruje, o to chodziło, i zostaje nam: pierwiastek sześcienny z „y” równa się 5 dzielone przez minus 5, czyli minus 1. Skoro pierwiastek sześcienny z „y” równa się minus 1, to najłatwiej uzyskać „y” podnosząc obie strony równania do potęgi 3. To równanie mówi dokładnie to samo, co równanie: „y” do potęgi ⅓ równa się minus 1. To dwa sposoby zapisania tego samego. Zamiast pierwiastka – potęga ⅓. Jeśli podniesiemy to równanie do potęgi 3… obie strony tego równania do potęgi 3, to tak, jakbyśmy podnieśli to równanie do potęgi 3. Obie strony tego równania. Mamy tu „y” do potęgi ⅓ do potęgi 3… „y” do ⅓, a potem do 3, a więc „y” do potęgi ⅓ · 3, czyli y do potęgi 1. I o to chodziło. (∛y)³ to po prostu „y”. Czyli z lewej mamy „y”, a z prawej (-1)³. -1 razy -1 równa się 1, i jeszcze raz -1 to -1. Mamy odpowiedź: „y” równa się -1. A teraz to sprawdźmy. Wróćmy do początkowej formy równania. Do początkowego równania podstawiam -1 w miejsce „y” i uzyskuję: minus pierwiastek sześcienny z minus 1 musi się równać 4 pierwiastkom sześciennym z -1 dodać 5. Sprawdźmy, czy strony są równe. Pierwiastek sześcienny z -1 to -1, bo -1 do potęgi 3 to -1. A więc minus -1 musi się równać: 4 razy… pierwiastek sześcienny z -1 to -1, dodać 5… minus -1 to 1, więc 1 ma się równać: 4 razy -1 to -4, dodać 5. To prawda. -4 dodać 5 to 1, więc rozwiązanie jest prawidłowe.