If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Temat: Wyrażenia, równania oraz funkcje wymierne

Wprowadzenie do wyrażeń wymiernych

Ucz się sam(a)!
Wprowadzenie do wyrażeń wymiernych
(Otwiera system)

Upraszczanie wyrażeń wymiernych

Ucz się sam(a)!
Wprowadzenie do upraszczania wyrażeń wymiernych
(Otwiera system)
Wprowadzenie do upraszczania wyrażeń wymiernych
(Otwiera system)
Upraszczanie wyrażeń wymiernych: wspólne czynniki jednomianowe
(Otwiera system)
Upraszczanie wyrażeń wymiernych: przeciwne wspólne czynniki dwumianowe
(Otwiera system)
Upraszczanie wyrażeń wymiernych (zaawansowane)
(Otwiera system)
Upraszczanie wyrażeń wymiernych: grupowanie
(Otwiera system)
Upraszczanie wyrażeń wymiernych: wyrazy wyższego stopnia
(Otwiera system)
Upraszczanie wyrażeń wymiernych: dwie zmienne
(Otwiera system)
Upraszczanie wyrażeń wymiernych (stary film)
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Uprość wyrażenia wymierne: wspólne czynniki jednomianowe
4 pytania
Uprość wyrażenia wymierne: wspólne czynniki dwumianowe
4 pytania
Upraszczanie wyrażeń wymiernych (poziom zaawansowany)
4 pytania

Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

Ucz się sam(a)!
Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych: jednomiany
(Otwiera system)
Mnożenie wyrażeń wymiernych
(Otwiera system)
Dzielenie wyrażeń wymiernych
(Otwiera system)
Mnożenie wyrażeń wymiernych: wiele zmiennych
(Otwiera system)
Przekształcanie wyrażeń wymiernych - ćwiczenie
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych (podstawy)
4 pytania
Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych
4 pytania
Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych (zaawansowane)
4 pytania

Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych

Ucz się sam(a)!
Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych: takie same mianowniki
(Otwiera system)
Wprowadzenie do dodawania i odejmowania wyrażeń wymiernych
(Otwiera system)
Wstęp do dodawania wyrażeń wymiernych z różnymi mianownikami
(Otwiera system)
Dodawanie wyrażeń wymiernych o różnych mianownikach
(Otwiera system)
Odejmowanie wyrażeń wymiernych: różne mianowniki
(Otwiera system)
Najmniejsza wspólna wielokrotność
(Otwiera system)
Najmniejsza wspólna wielokrotność: powtarzające się czynniki
(Otwiera system)
Odejmowanie wyrażeń wymiernych: mianowniki w postaci rozkładu na czynniki
(Otwiera system)
Najmniejsza wspólna wielokrotność wielomianów
(Otwiera system)
Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych (zaawansowane)
(Otwiera system)
Odejmowanie wyrażeń wymiernych
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych (z takimi samymi mianownikami)
4 pytania
Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych (z różnymi mianownikami)
4 pytania
Najmniejsza wspólna wielokrotność
4 pytania
Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych (z mianownikami rozłożonymi na czynniki)
4 pytania
Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych
4 pytania

Ułamki wielopoziomowe

Ucz się sam(a)!
Ułamki wielopoziomowe
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Ułamki wielopoziomowe
4 pytania

Rozwiązywanie równań wymiernych

Ucz się sam(a)!
Równania z jednym wyrażeniem wymiernym (zaawansowane)
(Otwiera system)
Równania z wyrażeniami wymiernymi
(Otwiera system)
Równania z wyrażeniami wymiernymi
(Otwiera system)
Równanie z dwoma wyrażeniami wymiernymi
(Otwiera system)
Równanie z dwoma wyrażeniami wymiernymi - badanie dziedziny
(Otwiera system)
Dlaczego rozwiązanie równania warto zacząć od zbadania jego dziedziny?
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Wprowadzenie do równań wymiernych
4 pytania
Równania wymierne (poziom zaawansowany)
4 pytania
Równania wymierne
4 pytania

Proporcjonalność i odwrotna proporcjonalność

Ucz się sam(a)!
Wprowadzenie do proporcjonalności prostej i odwrotnej
(Otwiera system)
Rozpoznawanie proporcjonalności prostej i odwrotnej
(Otwiera system)
Rozpoznawanie proporcjonalności prostej i odwrotnej: tabela
(Otwiera system)
Proporcjonalność prosta: tankujemy paliwo
(Otwiera system)
Proporcjonalność prosta: astronomiczna przygoda
(Otwiera system)
Zadanie tekstowe ze zmiennością odwrotnie proporcjonalną: drganie struny
(Otwiera system)
Współczynnik proporcjonalności dla proporcjonalności prostej
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Rozpoznaj proporcjonalność prostą i odwrotną
4 pytania

Zachowanie asymptotyczne funkcji wymiernych

Ucz się sam(a)!
Zachowanie asymptotyczne funkcji wymiernych
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Zachowanie asymptotyczne funkcji wymiernych
4 pytania

Nieciągłości funkcji wymiernych

Ucz się sam(a)!
Nieciągłości funkcji wymiernych
(Otwiera system)
Analiza pionowych asymptot funkcji wymiernych
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Punkty nieciągłości funkcji wymiernych
4 pytania
Przeanalizuj pionowe asymptoty funkcji wymiernych
4 pytania

Wykresy funkcji wymiernych

Ucz się sam(a)!
Asymptoty poziome i pionowe funkcji wymiernej
(Otwiera system)
Dopasowujemy wykres funkcji wymiernej do wzoru
(Otwiera system)
Dopasowujemy wykres funkcji wymiernej do wzoru - asymptoty poziome
(Otwiera system)
Dopasowujemy wykres funkcji wymiernej do wzoru - asymptoty pionowe
(Otwiera system)
Dopasowujemy wykres funkcji wymiernej do wzoru - miejsca zerowe
(Otwiera system)
Wykresy funkcji wymiernych (stary przykład)
(Otwiera system)
Wykres funkcji wymiernej: asymptoty
(Otwiera system)
Przebieg zmienności funkcji wymiernej
(Otwiera system)
Rysowanie wykresu funkcji wymiernej
(Otwiera system)
Jeszcze jeden przykład rysowania wykresu funkcji wymiernej
(Otwiera system)
ĆWICZENIE
Wykresy funkcji wymiernych
4 pytania

Modelowanie z funkcjami wymiernymi

Ucz się sam(a)!
Zadanie tekstowe z analizowaniem struktury: sklep zoologiczny (1 z 2)
(Otwiera system)
Zadanie tekstowe z analizowaniem struktury: sklep zoologiczny (2 z 2)
(Otwiera system)
Równania z wyrażeniami wymiernymi - zadanie tekstowe: połączone stawki
(Otwiera system)
Równania z wyrażeniami wymiernymi - zadanie tekstowe: połączone stawki (przykład 2)
(Otwiera system)
Równania z wyrażeniami wymiernymi - zadanie tekstowe: eliminowanie rozwiązań
(Otwiera system)
Wnioskowanie na temat nieznanych zmiennych
(Otwiera system)
Wnioskowanie na temat nieznanych zmiennych: podzielność
(Otwiera system)
Własności wyrażeń wymiernych
(Otwiera system)

Nierówności w zbiorze liczb rzeczywistych

Ucz się sam(a)!
Nierówności w zbiorze liczb rzeczywistych: zero po jednej stronie nierówności
(Otwiera system)
Nierówności w zbiorze liczb rzeczywistych: zero nie występuje po żadnej stronie nierówności
(Otwiera system)

Test sprawdzający

Przetestuj swoje zrozumienie Wyrażenia, równania oraz funkcje wymierne przy pomocy tych 14 pytań.

O tym dziale

W tym temacie: - Upraszczanie wyrażeń wymiernych - Mnożenie, dzielenie, dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych - Równania wymierne - Wykresy funkcji wymiernych (w tym poziome i pionowe asymptoty) - Modelowanie za pomocą funkcji wymiernych - Nierówności wymierne - Rozkład na ułamki proste