Główna zawartość

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 13

Lekcja 4: Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych

Wprowadzenie do dodawania i odejmowania wyrażeń wymiernych

Naucz się dodawania i odejmowania dwóch wyrażeń wymiernych tak, żeby powstało jedno wyrażenie.

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Wyrażenie wymierne to iloraz dwóch wielomianów. Na przykład wyrażenie

\frac{x + 2}{x + 1}

jest wyrażeniem wymiernym.

Jeśli nie znasz jeszcze wyrażeń wymiernych, sprawdź nasze wprowadzenie do wyrażeń wymiernych.

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tej lekcji nauczysz się dodawania i odejmowania wyrażeń wymiernych.

Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych (wspólne mianowniki)

Ułamki zwykłe liczbowe

Możemy dodawać i odejmować wyrażenia wymierne w podobny sposób jak dodajemy i odejmujemy ułamki zwykłe.

Żeby dodać lub odjąć dwa ułamki zwykłe mające taki sam mianownik, po prostu dodajemy lub odejmujemy ich liczniki, a potem zapisujemy wynik nad wspólnym mianownikiem.

$\begin{aligned} \frac{4}{5} - \frac{1}{5} \\ = \frac{4 - 1}{5} \\ = \frac{3}{5} \end{aligned}$ ‍

Wyrażenia ze zmiennymi

Tak samo postępujemy z wyrażeniami wymiernymi:

$\begin{aligned} \frac{7 a + 3}{a + 2} + \frac{2 a - 1}{a + 2} \\ = \frac{(7 a + 3) + (2 a - 1)}{a + 2} & Dodaj \\ = \frac{7 a + 3 + 2 a - 1}{a + 2} & Usuń nawiasy \\ = \frac{9 a + 2}{a + 2} & Połącz wyrazy podobne \end{aligned}$ ‍

Dobrym zwyczajem jest umieszczanie liczników w nawiasach, zwłaszcza kiedy odejmujemy wyrażenia wymierne. W ten sposób pamiętamy żeby wymnożyć znak minus!

Na przykład:

$\begin{aligned} \frac{b + 1}{b^{2}} - \frac{4 - b}{b^{2}} \\ = \frac{(b + 1) - (4 - b)}{b^{2}} & Odejmij \\ = \frac{b + 1 - 4 + b}{b^{2}} & Usuń nawiasy i wymnóż \\ = \frac{2 b - 3}{b^{2}} & Połącz wyrazy podobne \end{aligned}$ ‍

Sprawdź, czy rozumiesz

1) $\frac{x + 5}{x - 1} + \frac{2 x - 3}{x - 1} =$ ‍

2) $\frac{x + 1}{2 x} - \frac{5 x - 2}{2 x} =$ ‍

Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych (różne mianowniki)

Ułamki zwykłe liczbowe

Żeby zrozumieć w jaki sposób dodajemy lub odejmujemy wyrażenia wymierne z różnymi mianownikami, zbadajmy najpierw jak robimy to z ułamkami zwykłymi.

Znajdźmy na przykład wynik

\frac{2}{3} + \frac{1}{2}

$\begin{aligned} \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \\ = \frac{2}{3} (\frac{2}{2}) + \frac{1}{2} (\frac{3}{3}) & Znajdź wspólny mianownik \\ = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} \\ = \frac{7}{6} \end{aligned}$ ‍

Zauważ, że potrzebowaliśmy wspólnego mianownika, czyli

6

, żeby można było dodać dwa ułamki:

Mianownik pierwszego ułamka $(3)$ ‍ wymagał pomnożenia przez czynnik $2$ ‍.
Mianownik drugiego ułamka $(2)$ ‍ wymagał pomnożenia przez czynnik $3$ ‍.

Każdy ułamek został pomnożony przez pewną postać liczby

1

żeby to osiągnąć.

Wyrażenia ze zmiennymi

Zastosujmy to teraz do następującego przykładu:

$\frac{1}{x - 3} + \frac{2}{x + 5}$ ‍

Żeby oba mianowniki były takie same, pierwszy musimy pomnożyć przez

x + 5

, a drugi przez

x - 3

. Przekształćmy ułamki w taki sposób, żeby to osiągnąć. A potem możemy dodać je tak, jak zwykle.

\begin{aligned} \frac{1}{x - 3} + \frac{2}{x + 5} \\ = \frac{1}{x - 3} (\frac{x + 5}{x + 5}) + \frac{2}{x + 5} (\frac{x - 3}{x - 3}) & Znajdź wspólny mianownik \\ = \frac{1 (x + 5)}{(x - 3) (x + 5)} + \frac{2 (x - 3)}{(x + 5) (x - 3)} \\ = \frac{1 (x + 5) + 2 (x - 3)}{(x - 3) (x + 5)} & Dodaj \\ = \frac{1 x + 5 + 2 x - 6}{(x - 3) (x + 5)} \\ = \frac{3 x - 1}{(x - 3) (x + 5)} \end{aligned}

Zauważ, że pierwszy krok jest możliwy, ponieważ

\frac{x + 5}{x + 5}

\frac{x - 3}{x - 3}

są równe

1

, a mnożenie przez

1

nie zmienia wartości wyrażenia!

W ostatnich dwóch krokach uprościliśmy licznik. Możesz też wymnożyć

(x - 3)

(x + 5)

w mianowniku, ale znacznie częściej zostawia się to w postaci iloczynowej.

Sprawdź, czy rozumiesz

3) $\frac{3}{x + 4} + \frac{2}{x - 2} =$ ‍

Żeby dwa mianowniki były takie same, pierwszy ułamek trzeba pomnożyć przez czynnik

x - 2

, a drugi ułamek trzeba pomnożyć przez czynnik

x + 4

. Przekształćmy ułamki w taki sposób, żeby to osiągnąć. Następnie możemy je dodać tak jak zwykle.

\begin{aligned} \frac{3}{x + 4} + \frac{2}{x - 2} \\ = \frac{3}{x + 4} (\frac{x - 2}{x - 2}) + \frac{2}{x - 2} (\frac{x + 4}{x + 4}) & Znajdź wspólny mianownik \\ = \frac{3 (x - 2)}{(x + 4) (x - 2)} + \frac{2 (x + 4)}{(x - 2) (x + 4)} \\ = \frac{3 (x - 2) + 2 (x + 4)}{(x - 2) (x + 4)} & Dodaj \\ = \frac{3 x - 6 + 2 x + 8}{(x - 2) (x + 4)} \\ = \frac{5 x + 2}{(x - 2) (x + 4)} \end{aligned}

4) $\frac{2}{x - 1} - \frac{5}{x} =$ ‍

Żeby dwa mianowniki były takie same, pierwszy ułamek trzeba pomnożyć przez czynnik

x

, a drugi ułamek trzeba pomnożyć przez czynnik

x - 1

. Przekształćmy ułamki w taki sposób, żeby to osiągnąć. Następnie możemy odjąć tak jak zwykle.

\begin{aligned} \frac{2}{x - 1} - \frac{5}{x} \\ = \frac{2}{x - 1} (\frac{x}{x}) - \frac{5}{x} (\frac{x - 1}{x - 1}) & Znajdź wspólne mianowniki \\ = \frac{2 x}{x (x - 1)} - \frac{5 (x - 1)}{x (x - 1)} \\ = \frac{2 x - 5 (x - 1)}{x (x - 1)} & Odejmij \\ = \frac{2 x - 5 x + 5}{x (x - 1)} \\ = \frac{- 3 x + 5}{x (x - 1)} \end{aligned}

Co dalej?

Nasz następny artykuł zajmuje się trudniejszymi przykładami dodawania i odejmowania wyrażeń wymiernych.

Będziesz się uczyć o najmniejszym wspólnym mianowniku (będącym jednocześnie najmniejszą wspólną wielokrotnością), oraz o tym, dlaczego takie ważne jest używanie tego wspólnego mianownika podczas dodawania i odejmowania wyrażeń wymiernych.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.