Główna zawartość

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 13

Lekcja 3: Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

Dzielenie wyrażeń wymiernych

Naucz się znajdowania ilorazu dwóch wyrażeń wymiernych.

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Wyrażenie wymierne to stosunek dwóch wielomianów. Dziedziną wyrażenia wymiernego są wszystkie liczby rzeczywiste, poza tymi dla których mianownik wynosi zero.

Możemy mnożyć wyrażenia wymierne w bardzo podobny sposób do tego jak mnożymy ułamki liczbowe — rozkładając na czynniki, skracając wspólne czynniki i mnożąc przez siebie liczniki i mianowniki.

Jeśli jeszcze tego nie znasz, sprawdź najpierw następujące artykuły:

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tej lekcji nauczysz się dzielenia wyrażeń wymiernych.

Dzielenie ułamków zwykłych

Żeby podzielić ułamki liczbowe, mnożymy dzielną (pierwszy ułamek) przez odwrotność dzielnika (drugi ułamek). Na przykład:

\begin{aligned} \frac{2}{9} : \frac{8}{3} \\ = \frac{2}{9} \cdot \frac{3}{8} & Pomnóż przez odwrotność \\ = \frac{2}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3}{2 \cdot 4} & Rozłóż na czynniki liczniki i mianowniki \\ = \frac{2}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3}{2 \cdot 4} & Skróć wspólne czynniki \\ = \frac{1}{12} & Wymnóż \end{aligned}

Możemy użyć też tej metody do dzielenia wyrażeń wymiernych.

Przykład 1: $\frac{3 x^{4}}{4} : \frac{9 x}{10}$ ‍

\begin{aligned} \frac{3 x^{4}}{4} : \frac{9 x}{10} \\ = \frac{3 x^{4}}{4} \cdot \frac{10}{9 x} & Pomnóż przez odwrotność \\ = \frac{3 \cdot x \cdot x^{3}}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3 \cdot x} & Rozłóż na czynniki liczniki i mianowniki \\ = \frac{3 \cdot x \cdot x^{3}}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3 \cdot x} & Skróć wspólne czynniki \\ = \frac{5 x^{3}}{6} & Wymnóż \end{aligned}

Jak zawsze musimy pomyśleć o wartościach wyłączonych z dziedziny. Kiedy dzielimy dwa wyrażenia wymierne, iloraz jest nieokreślony...

dla każdej wartości, dla której jakiekolwiek z początkowych wyrażeń jest nieokreślone,
i dla każdej wartości, dla której mianownik będzie równy zero.

Podsumowując, wyrażenie, które jest wynikiem

\frac{A}{B} : \frac{C}{D}

jest nieokreślone, jeśli

B = 0

C = 0

albo

D = 0

Przyjrzyjmy się dzielnej i dzielnikowi w tym zadaniu, żeby określić, czy dziedzina jest w jakiś sposób ograniczona.

Dzielna $\frac{3 x^{4}}{4}$ ‍ jest zdefiniowana dla wszystkich wartości $x$ ‍.
Dzielnik $\frac{9 x}{10}$ ‍ jest zdefiniowany dla wszystkich wartości $x$ ‍i jest równy zeru dla $x = 0$ ‍.

Możemy więc powiedzieć, że otrzymany iloczyn jest zdefiniowany dla

x \neq 0

. Nasza ostateczna odpowiedź to:

$\frac{5 x^{3}}{6}$ ‍ dla $x \neq 0$ ‍

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Wykonaj mnożenie i uprość wynik.

\frac{3}{10 x^{2}} : \frac{6}{15 x^{5}} =

dla

x \neq

\begin{aligned} \frac{3}{10 x^{2}} : \frac{6}{15 x^{5}} \\ = \frac{3}{10 x^{2}} \cdot \frac{15 x^{5}}{6} & Pomnóż przez odwrotność \\ = \frac{3}{2 \cdot 5 \cdot x^{2}} \cdot \frac{3 \cdot 5 \cdot x^{2} \cdot x^{3}}{2 \cdot 3} & Rozłóż na czynniki \\ = \frac{3}{2 \cdot 5 \cdot x^{2}} \cdot \frac{3 \cdot 5 \cdot x^{2} \cdot x^{3}}{2 \cdot 3} & Skróć wspólne czynniki \\ = \frac{3 x^{3}}{4} & Wykonaj mnożenie \end{aligned}

Przyjrzyjmy się dzielnej i dzielnikowi w tym zadaniu, żeby określić, czy dziedzina jest w jakiś sposób ograniczona.

Dzielna $\frac{3}{10 x^{2}}$ ‍ jest niezdefiniowana dla $x = 0$ ‍.
Dzielnik $\frac{6}{15 x^{5}}$ ‍ jest niezdefiniowany dla $x = 0$ ‍.

Możemy więc powiedzieć, że otrzymany iloczyn jest zdefiniowany dla

x \neq 0

. Nasza ostateczna odpowiedź to:

$\frac{3 x^{3}}{4}$ ‍ dla $x \neq 0$ ‍

Przykład 2: $\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + 3 x - 10} : \frac{x + 3}{x - 5}$ ‍

Jak zawsze, mnożymy dzielną przez odwrotność dzielnika. Następnie wyłączamy i skracamy wspólne czynniki, a potem mnożymy. Na koniec zaznaczamy, które wartości są wyłączone z dziedziny.

\begin{aligned} \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + 3 x - 10} : \frac{x + 3}{x - 5} \\ = \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + 3 x - 10} \cdot \frac{x - 5}{x + 3} & Pomnóż przez odwrotność \\ = \frac{(x + 3) (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)} \cdot \frac{x - 5}{x + 3} & Rozłóż na czynniki \\ = \frac{(x + 3) (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)} \cdot \frac{(x - 5)}{x + 3} & Skróć wspólne czynniki \\ = \frac{x - 5}{x + 5} & Wykonaj mnożenie \end{aligned}

Przyjrzyjmy się dzielnej i dzielnikowi w tym zadaniu, żeby określić, czy dziedzina jest w jakiś sposób ograniczona. Łatwiej użyć tych wyrażeń w postaci rozkładu na czynniki (iloczynowej).

Dzielna $\frac{(x + 3) (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)}$ ‍ jest zdefiniowana dla $x \neq - 5, 2$ ‍.
Dzielnik $\frac{x + 3}{x - 5}$ ‍ jest określony dla $x \neq 5$ ‍, i jest równy zero dla $x = - 3$ ‍.

Możemy więc stwierdzić, że wynikowy iloraz będzie określony dla

x \neq - 5, - 3, 2, 5

Oryginalne wyrażenie ma warunek

x \neq 5, 2, - 3

. Nie musimy zapisywać, że

x \neq - 5

, bo wynika to z wyrażenia. To nasza ostateczna odpowiedź:

$\frac{x - 5}{x + 5}$ ‍ dla $x \neq 5, 2, - 3$ ‍

Sprawdź, czy rozumiesz

2) Wykonaj mnożenie i uprość wynik.

\frac{x - 7}{x^{2} - 4} : \frac{x^{2} - 6 x - 7}{2 x + 4} =

Jakie ograniczenia ma dziedzina otrzymanego wyrażenia?

\begin{aligned} \frac{x - 7}{x^{2} - 4} : \frac{x^{2} - 6 x - 7}{2 x + 4} \\ = \frac{x - 7}{x^{2} - 4} \cdot \frac{2 x + 4}{x^{2} - 6 x - 7} & Pomnóż przez odwrotność \\ = \frac{x - 7}{(x - 2) (x + 2)} \cdot \frac{2 (x + 2)}{(x - 7) (x + 1)} & Rozłóż na czynniki \\ = \frac{x - 7}{(x - 2) (x + 2)} \cdot \frac{2 (x + 2)}{(x - 7) (x + 1)} & Skróć wspólne czynniki \\ = \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} & Wykonaj mnożenie \end{aligned}

Przyjrzyjmy się dzielnej i dzielnikowi w tym zadaniu, żeby określić, czy dziedzina jest w jakiś sposób ograniczona.

Dzielna $\frac{x - 7}{(x - 2) (x + 2)}$ ‍ jest zdefiniowana dla $x \neq 2, - 2$ ‍.
Dzielnik $\frac{(x - 7) (x + 1)}{2 (x + 2)}$ ‍ jest określony dla $x \neq - 2$ ‍, i jest równy zero dla $x = 7, - 1$ ‍.

Możemy więc stwierdzić, że wynikowy iloraz będzie określony dla

x \neq - 2, - 1, 2, 7

3) Divide and simplify the result.

\frac{x + 4}{x^{2} - 9} : \frac{x - 1}{x^{2} - 4 x + 3} =

Jakie ograniczenia ma dziedzina otrzymanego wyrażenia?

\begin{aligned} \frac{x + 4}{x^{2} - 9} : \frac{x - 1}{x^{2} - 4 x + 3} \\ = \frac{x + 4}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x - 1} & Pomnóż przez odwrotność \\ = \frac{x + 4}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x - 3)}{(x - 1)} & Rozłóż na czynniki \\ = \frac{x + 4}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x - 3)}{(x - 1)} & Skróć wspólne czynniki \\ = \frac{x + 4}{x + 3} & Wykonaj mnożenie \end{aligned}

Przyjrzyjmy się dzielnej i dzielnikowi w tym zadaniu, żeby określić, czy dziedzina jest w jakiś sposób ograniczona.

Dzielna $\frac{x + 4}{(x + 3) (x - 3)}$ ‍ jest zdefiniowana dla $x \neq - 3, 3$ ‍.
Dzielnik $\frac{x - 1}{(x - 3) (x - 1)}$ ‍ jest określony dla $x \neq 3, 1$ ‍.

Możemy więc stwierdzić, że wynikowy iloraz będzie określony dla

x \neq - 3, 1, 3

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Algebra (cały materiał)

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 13

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Czego nauczysz się w tej lekcji

Dzielenie ułamków zwykłych

Przykład 1: 3x44:9x10‍

Sprawdź, czy rozumiesz

Przykład 2: x2+x−6x2+3x−10:x+3x−5‍

Sprawdź, czy rozumiesz

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Przykład 1: $\frac{3 x^{4}}{4} : \frac{9 x}{10}$ ‍

Przykład 2: $\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + 3 x - 10} : \frac{x + 3}{x - 5}$ ‍