Jeśli widzisz tę wiadomość oznacza to, że mamy problemy z załadowaniem zewnętrznych materiałów na naszej stronie internetowej.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Główna zawartość

Wprowadzenie do upraszczania wyrażeń wymiernych

Naucz się co to znaczy uprościć wyrażenie wymierne i jak to zrobić!

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Wyrażenie wymierne to stosunek dwóch wielomianów. Dziedziną wyrażenia wymiernego są wszystkie liczby rzeczywiste, poza tymi dla których mianownik wynosi zero.
Na przykład dziedzina wyrażenia wymiernego x+2x+1 to wszystkie liczby rzeczywiste oprócz -1, czyli x1.
Jeśli jest to dla Ciebie nowe, polecamy sprawdzić nasze wprowadzenie do wyrażeń wymiernych.
Zapoznaj się również z rozkładaniem wielomianów na czynniki żeby uzyskać jak najwięcej z tej lekcji.

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tym artykule nauczysz się upraszczać wyrażenia wymierne na paru przykładach.

Wprowadzenie

Wyrażenie wymierne uważa się za uproszczone, jeśli licznik i mianownik nie mają wspólnych czynników.
Możemy uprościć wyrażenia wymierne w taki sam sposób w jaki upraszczamy ułamki.
Na przykład, uproszczona wersja 68 to 34. Zauważ, że uprościliśmy wspólny czynnik 2 z licznika i mianownika ułamka:
68=2324Rozłóż na czynniki=2324Skróć wspólny czynnik=34Uprość

Przykład 1: Uproszczenie x2+3xx2+5x

Krok 1: Rozłóż licznik i mianownik na czynniki
Jedynym sposobem żeby sprawdzić czy licznik i mianownik mają wspólne czynniki jest rozłożyć je!
x2+3xx2+5x=x(x+3)x(x+5)
Krok 2: Lista wartości wyłączonych z dziedziny
W tym momencie warto spojrzeć na ograniczenia zmiennej x, które będą ważne także dla uproszczonego wyrażenia.
Ponieważ dzielenie przez 0 jest nieokreślone, widzimy tutaj, że x0 i x5.
x(x+3)x(x+5)
Krok 3: Skróć wspólne czynniki
Zauważ, że licznik i mianownik mają wspólny czynnik x. Można go skrócić.
x(x+3)x(x+5)=x(x+3)x(x+5)=x+3x+5
Krok 4: Ostateczna odpowiedź
Pamiętaj, że pierwotne wyrażenie zostało zdefiniowane dla x0,5. Uproszczone wyrażenie musi mieć takie same ograniczenia.
Oryginalne wyrażenie ma warunek x0. Nie musimy zapisywać, że x5, bo wynika to z wyrażenia.
Podsumowując, uproszczona forma jest zapisana w następujący sposób:
x+3x+5 for x0

Uwaga na temat wyrażeń równoważnych

Początkowe wyrażenieUproszczone wyrażenie
x2+3xx2+5xx+3x+5 for x0
Dwa powyższe wyrażenia są równoważne. Oznacza to, że ich wartości wyjściowe są takie same dla wszystkich możliwych wartości x. Tabela poniżej przedstawia to dla x=2.
Początkowe wyrażenieUproszczone wyrażenie
Obliczone dla x=2(2)2+3(2)(2)2+5(2)=1014=2527=2527=572+32+5=57=57=57=57
UwagaWynik jest uproszczony przez usunięcie wspólnego czynnika 2.Wynik jest już uproszczony, bo czynnik x (w tym przypadku x=2), został już usunięty w procesie upraszczania.
Z tego powodu dwa wyrażenia mają taką samą wartość argumentu. Jednakże wartości, które powodują, że oryginalne wyrażenie będzie nieokreślone, często łamią tą regułę. Zauważ, że dzieje się tak w przypadku x=0.
Początkowe wyrażenieUproszczone wyrażenie (bez ograniczeń)
Obliczone dla x=0(0)2+3(0)(0)2+5(0)=00=undefined0+30+5=35undefined
Ponieważ dwa wyrażenia muszą być równoważne dla wszystkich możliwych argumentów, musimy postawić warunek x0 dla uproszczonego wyrażenia.

Uwaga nieporozumienie

Zauważ, że nie możemy wyrzucić x z poniższego wyrażenia. Jest tak, ponieważ są to wyrazy w wyrażeniu, a nie czynniki wielomianów!
x+3x+5    35
Staje się to jasne kiedy spojrzymy na przykład liczbowy. Na przykład załóżmy, że x=2.
2+32+5   35
Regułą jest, że możemy skracać tylko jeśli licznik i mianownik mają postać iloczynową!

Podsumowanie procesu upraszczania

  • Krok 1: Rozłóż na czynniki licznik i mianownik.
  • Krok 2: Wypisz wartości wyłączone z dziedziny.
  • Krok 3: Skróć wspólne czynniki.
  • Krok 4: Uprość i zapisz jakiekolwiek wartości wyłączone z dziedziny nie wynikające z wyrażenia.

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Uprość 6x+202x+10.
Wybierz 1 odpowiedź:

2) Uprość x33x24x25x.
dla x
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

Przykład 2: Upraszczanie x29x2+5x+6

Krok 1: Rozłóż licznik i mianownik na czynniki
x29x2+5x+6=(x3)(x+3)(x+2)(x+3)
Krok 2: Lista wartości wyłączonych z dziedziny
Ponieważ dzielenie przez 0 jest nieokreślone, widzimy tutaj, że x2 i x3.
(x3)(x+3)(x+2)(x+3)
Krok 3: Skróć wspólne czynniki
Zauważ, że licznik i mianownik mają wspólny czynnik x+3. Można go skrócić.
(x3)(x+3)(x+2)(x+3)=(x3)(x+3)(x+2)(x+3)=x3x+2
Krok 4: Ostateczna odpowiedź
Wyrażenie w uproszczonej postaci zapisujemy w następujący sposób:
x3x+2 dla x3
Oryginalne wyrażenie ma warunek x2,3. Nie musimy zapisywać, że x2, bo wynika to z wyrażenia.

Sprawdzenie zrozumienia

3) Uprość x23x+2x21.
Wybierz 1 odpowiedź:

4) Uprość x22x15x2+x6.
dla x
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

Co dalej?

Możesz przejść do naszego bardziej zaawansowanego artykułu na temat upraszczania wyrażeń wymiernych, gdzie zobaczysz więcej przykładów trudniejszych przypadków.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.