If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:9:23

Dowód wzoru na sumę skończonego szeregu arytmetycznego z wykorzystaniem indukcji matematycznej

Transkrypcja filmu video

Zdefiniujmy funkcję S(n) jako sumę wszystkich zmiennych dodatnich włączając w to n Także dziedziną tej funkcji są tak naprawdę wszystkie zmienne większe od 0 -> n także. I możemy teraz za n podstawić parę liczb np. wyliczmy wartość funkcji S dla n = 3, S(3) równa się 1 + 2 + 3, czyli 6. Podstawmy teraz za n cyfrę 4 S(4) = 1 + 2 + 3 + 4 Dla argumentu 4 funkcja S wynosi 10 W tym filmie chcę udowodnić, że W tym filmie chcę udowodnić, że suma wszystkich liczb dodatnich włączając w to n jest równa n(n+1)/2 Udowodnię to poprzez zastosowanie indukcji matematycznej. Co można też nazwać dowodem indukcyjnym Procedura jest następująca. Najpierw udowadniamy przypadek bazowy dla S(n) = n(n+1)/2 Naszym przypadkiem bazowym jest cyfra 1. (minimalna liczba, która ma spełniać założenie) Potem zrobimy krok indukcyjny, co oznacza po prostu, że "Jeśli zakładamy, że S(n) = n(n+1)/2 = 1 + 2 +... n jest poprawne dla niektórych dodatnich liczb całkowitych K", można dowieść, że to będzie prawdziwe dla następnej dodatniej liczby całkowitej, na przykład K + 1. Dlaczego to działa? - Załóżmy, że udowadniamy obydwa te założenia. Naszym przypadkiem bazowym jest cyfra 1 Ale nie zawsze musi to być ta liczba. Założenie może również być prawdziwe dla każdej liczby większej od 55, albo wszystkiego powyżej danego progu Ale w tym przypadku, mamy udowodnić, że to założenie jest prawdziwe dla każdej liczby dodatniej. Naszą pierwszą liczbą niech będzie 1. Następnie w naszym kroku indukcyjnym, chcemy udowodnić, że jeśli można zakładać, że S(n) jest prawdziwe dla liczby k, to będzie też prawdziwe dla liczby k+1 dla liczby k, to będzie też prawdziwe dla liczby k+1 I to już wszystko, co musisz udowodnić, by wykazać, że dana teza jest prawdziwa. Wyobraź to sobie: Wszystkie te liczby 1,2,3,4,5,6..., możesz pisać w nieskończoność, a jeśli dla k, oraz k+1 ta teza jest prawdziwa, to jest także prawdziwa dla każdej liczby całkowitej dodatniej. Więc udowodnijmy to dla 1. Sprawdźmy, że to równanie z lewej strony jest prawdziwe dla n = 1 Potem zakładając, że jeśli to wyrażenie jest prawdziwe dla danej k, to jest również spełnione dla k+1 Więc, wiedząc, że dla n =1 to wyrażenie jest prawdziwe, to dla następnej cyfry, czyli 2, to równanie jest też spełnione. Ponieważ udowodniliśmy, że jeśli jest to prawdą dla k, to będzie również prawdą dla k+1 A kiedy jest równanie spełnione dla 2, będzie też dla 3, bo jeśli jest to twierdzenie prawdziwe dla k, jest prawdziwe też dla k+1 więc jeśli jest prawdziwe dla 2, jest prawdziwe też dla 3 a jeśli jest to prawdą dla 3, to to równanie będzie też spełnione dla 4 I tak dalej, co oznacza, że to założenie jest prawdziwe dla każdej liczby całkowitej większej od 0. Teraz udowodnijmy właściwie to poprzez indukcję. Wyliczmy sumę z 1, czyli wszystkich liczb całkowitych dodatnich z włączeniem 1, S(1) wynosi po prostu 1, gdyż nie ma innej dodatniej liczby całkowitej mniejszej od 1 I teraz przekonajmy się, że to jest to samo, co działanie 1*(1+1)/2 co po skróceniu ułamka 2/2 wynosi 1. Właśnie udowodniliśmy nasz przypadek bazowy, udowadniając to wyrażenie dla zmiennej n = 1. Teraz przypuśćmy, że to samo równanie będzie spełnione dla pewnej liczby k. Teraz przypuśćmy, że to samo równanie będzie spełnione dla pewnej liczby k. Zakładamy, że S(k) = k*(k+1)/2 jest prawdziwe dla każdej liczby k Teraz pomyślmy o tym, co się stanie, gdy za k podstawimy k+1 To jest to, co zakładam. Zakładam, że wiem, jaki jest rezultat. Teraz spróbujmy to udowodnić. Jaka jest suma wszystkich liczb całkowitych dodatnich z włączeniem k+1? To będzie po prostu S(k+1) = 1+2+3+...+k + k+1 Prawda? 1+2+3+...+k+k+1 jest sumą wszystkich liczb z włączeniem k+1 Prawda? 1+2+3+...+k+k+1 jest sumą wszystkich liczb z włączeniem k+1 Zakładamy, że mamy już na to wzór, i że to wszystko do ...k się uprości do postaci k*(k+1)/2 i że to wszystko do ...k się uprości do postaci k*(k+1)/2 Więc chcemy po prostu dodać tą część do k+1 więc dodajemy to do tego. I po ustaleniu wspólnego dzielnika, którym jest cyfra 2, I po ustaleniu wspólnego dzielnika, którym jest cyfra 2, (zapiszę to innym kolorem) to równanie można zapisać jako k(k+1)/2 + 2(k+1)/2 to co napisane na niebiesko to to samo wyrażenie. Dwójki się skrócą, chciałem tylko zapisać to nad wspólnym mianownikiem. Więc to wszystko będzie się równać Więc to wszystko będzie się równać k(k*1) +2(k+1)/2 Teraz wyciągniemy przed nawias k+1 gdyż oba te wyrażenia są podzielne przez k+1 I otrzymujemy teraz (k+1) (k+2)/2 (k+1) (k+2)/2 (k+1) (k+2)/2 (k+1) (k+2)/2 (k+1) (k+2)/2 (k+1) (k+2)/2 .Przedstawiliśmy to wyrażenie w postaci iloczynu dwóch czynników. .To k+1 które mnoży drugi nawias to jest to k+1. .I to wszystko trzeba jeszcze podzielić przez 2. Teraz możemy to przepisać. To jest ta sama rzecz . Ta sama rzecz jak (k+1)(k+1+1), co można zapisać jako (k+1)(k+2) i to wszystko podzielone przez 2 Czemu jest to interesujące z naszego punktu widzenia? Ponieważ właśnie to udowodniliśmy Jeśli założymy, że to jest prawda, to skorzystawszy z tego założenia otrzymamy, że suma każdej dodatniej liczby całkowitej aż do k+1 jest równa (k+1)*(k+1+1)/2 (k+1)*(k+1+1)/2 To pokazuje, że oryginalny wzór S(n) ma zastosowanie dla k+1 Jeśli podstawiłbyś k+1 za n otrzymałbyś dokładnie ten sam rezultat jak powyżej. Udowodniliśmy nasz przypadek bazowy To wyrażenie działało dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich do 1 włączając tę cyfrę ale także działa, jeśli założymy, że spełnia się ta zależność dla wszystkich liczb całkowitych do k razem z k. A jeśli założymy, że to jest prawda dla całkowitej liczby k, jest to też prawda dla liczby o 1 większej To właśnie jest nazywane dowodem indukcyjnym. To ukazuje nam, że wyrażenie jest spełnione dla każdej dodatniej liczby całkowitej. Dlaczego tak się dzieje? Skoro udowodniliśmy dla 1, to wykazaliśmy także, że to jest prawda dla pewnej liczby całkowitej różnej od 1, i, że będzie ten wzór spełniony dla następnej liczby. Więc, jeśli założyliśmy, że to działa dla 1, to może to działać dla 2. co udowodniliśmy więc będzie to równanie definitywnie spełnione dla 2, które sprawdziliśmy i tak dalej, dla k =3 k+ 1 = 4 i dalej jest spełnione to wyrażenie. Jak można zauważyć, dowodzenie poprzez indukcję przypomina nieco domino Jak można zauważyć, dowodzenie poprzez indukcję przypomina nieco domino