Główna zawartość

Algebra (cały materiał)

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 5

Lekcja 3: Równoważne układy równań i metoda przeciwnych współczynników

Przypomnienie wiadomości o równoważnych układach równań

Dwa układy równań są równoważne, jeśli mają te same rozwiązania. Z tego artykułu dowiesz się, w jaki sposób możesz sprawdzić, czy dwa układy równań są równoważne. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Układy równań, które mają to samo rozwiązanie nazywane są równoważnymi układami równań.

Mając dany układ równań, możemy stworzyć układ równoważny przez zamianę jednego z równań na sumę obu równań lub przez zamianę jednego z równań na jego wielokrotność.

Z drugiej strony, wiemy, że dwa układy równań nie są równoważne, jeżeli rozwiązanie jednego z nich nie jest rozwiązaniem drugiego.

Uwaga: Koncept równoważnych układów równań pojawia się w dalszej części kursu dotyczącej algebry liniowej. Mimo to, przykłady i wytłumaczenia w tej lekcji są przystosowane do poziomu pierwszej klasy liceum.

Przykład 1

Mamy dwa układy równań i poproszono nas o stwierdzenie, czy są równoważne.

Układ A	Układ B
$\begin{array}{r} - 12 x + 9 y = 7 \\ 9 x - 12 y = 6 \end{array}$ ‍	$\begin{array}{r} - 12 x + 9 y = 7 \\ 3 x - 4 y = 2 \end{array}$ ‍

Jeżeli pomnożymy drugie z równań w Układzie B przez

3

, otrzymamy:

\begin{aligned} 3 x - 4 y & = 2 \\ 3 (3 x - 4 y) & = 3 (2) \\ 9 x - 12 y & = 6 \end{aligned}

Zamieniając drugie z równań Układu B na to nowe równanie, otrzymujemy układ równoważny:

\begin{array}{r} - 12 x + 9 y = 7 \\ 9 x - 12 y = 6 \end{array}

Łał! Zobaczcie! Ten układ jest taki sam, jak Układ A, co oznaczam że Układ A jest równoważny Układowi B.

Chcesz dowiedzieć się więcej o równoważnych układach równań? Zajrzyj do tego wideo.

Przykład 2

Mamy dwa układy równań i poproszono nas o stwierdzenie, czy są równoważne.

Układ A	Układ B
$\begin{aligned} - 9 x - 4 y & = 5 \\ 2 x + 5 y & = - 4 \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} - 7 x + y & = 1 \\ 2 x + 5 y & = - 4 \end{aligned}$ ‍

Co ciekawe, jeżeli dodamy do siebie równania Układu A, otrzymamy:

\begin{aligned} - 9 x - 4 y & = 5 \\ + 2 x + 5 y & = - 4 \\ - 7 x + y & = 1 \end{aligned}

Zamieniając pierwsze równanie Układu A na to nowe równanie, otrzymamy układ będący równoważny Układowi A:

\begin{aligned} - 7 x + y & = 1 \\ 2 x + 5 y & = - 4 \end{aligned}

Ach! To właśnie Układ B, czyli Układ A jest równoważny Układowi B.

Przykład 3

Mamy dane dwa układy równań i mamy udowodnić, że nie są równoważne przez znalezienie rozwiązania jednego, które nie jest rozwiązaniem drugiego.

Układ A	Układ B
$\begin{aligned} - 4 x + 10 y & = 1 \\ - 1 x - 2 y & = - 3 \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} - 9 x - y & = 8 \\ - 1 x - 2 y & = 4 \end{aligned}$ ‍

Zauważ, że współczynniki przy

x

i przy

y

w drugich równaniach obu układów są takie same. Z drugiej strony, wyrazy stałe się różnią!

Jakakolwiek para wartości

x

y

, która będzie spełniała Układ A, nie będzie spełniała Układu B i na odwrót.

Na przykład,

x = 1

y = 1

jest rozwiązaniem drugiego równania Układu A, ale nie jest rozwiązaniem drugiego z równań Układu B.

Układy A i B nie są równoważne.

Chcesz dowiedzieć się więcej o nierównoważnych układach równań? Zajrzyj do tego wideo.

Ćwiczenie

zadanie 1

Nauczyciel Elzy i Olafa dał im do rozwiązania układ równań liniowych. Oboje niezależnie przeprowadzili kilka kroków rozwiązania i uzyskali, co następuje:

	Nauczyciel
	$5 x + 3 y = - 1$ ‍
	$4 x - 9 y = 8$ ‍
Elza		Olaf
$4 x - 9 y = 8$ ‍		$15 x + 9 y = - 3$ ‍
$9 x - 6 y = 7$ ‍		$4 x - 9 y = - 5$ ‍

Które z nich uzyskało układ, który jest równoważny układowi nauczyciela?
Pamiętaj, że dwa układy są "równoważne", jeżeli mają takie samo rozwiązanie.

Potrzebujesz więcej ćwiczeń? Zajrzyj tutaj.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.