Główna zawartość

Algebra (cały materiał)

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 5

Lekcja 4: Rozwiązywanie układów równań przez podstawienie

Przegląd wiadomości na temat rozwiązywania układów równań metodą podstawiania

Metoda podstawienia to technika rozwiązywania układu równań liniowych. W tym artykule przypomnisz sobie tą technikę za pomocą przykładów i spróbujesz wypróbować ją samodzielnie. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Czym jest metoda przez podstawienie?

Metoda przez podstawienie jest sposobem rozwiązywania układów równań liniowych. Przeanalizujmy kilka przykładów.

Przykład 1

Mamy do rozwiązania następujący układ równań:

\begin{aligned} 3 x + y & = - 3 \\ x & = - y + 3 \end{aligned}

Drugie równanie jest rozwiązane ze względu na

x

, możemy więc podstawić wyrażenie

- y + 3

x

w pierwszym z równań:

\begin{aligned} 3 x + y & = - 3 \\ 3 (- y + 3) + y & = - 3 \\ - 3 y + 9 + y & = - 3 \\ - 2 y & = - 12 \\ y & = 6 \end{aligned}

Wstawienie tej wartości do jednego z pierwotnych równań, dajmy na to

x = - y + 3

, doprowadza nas do rozwiązania na drugą zmienną:

\begin{aligned} x & = - y + 3 \\ x & = - (6) + 3 \\ x & = - 3 \end{aligned}

Rozwiązaniem tego układu równań jest

x = - 3

y = 6

Możemy sprawdzić poprawność rozwiązania poprzez wstawienie tych liczb z powrotem do pierwotnych równań. Spróbujmy z

3 x + y = - 3

\begin{aligned} 3 x + y & = - 3 \\ 3 (- 3) + 6 & \overset{?}{=} - 3 \\ - 9 + 6 & \overset{?}{=} - 3 \\ - 3 & = - 3 \end{aligned}

Tak, nasze rozwiązanie jest poprawne.

Przykład 2

Mamy do rozwiązania następujący układ równań:

\begin{aligned} 7 x + 10 y & = 36 \\ - 2 x + y & = 9 \end{aligned}

W celu użycia metody przez podstawienie będziemy potrzebowali rozwiązać jedno z równań ze względu na

x

lub ze względu na

y

. Rozwiążmy drugie z równań ze względu na

y

\begin{aligned} - 2 x + y & = 9 \\ y & = 2 x + 9 \end{aligned}

Możemy teraz podstawić wyrażenie

2 x + 9

y

w pierwszym z równań:

\begin{aligned} 7 x + 10 y & = 36 \\ 7 x + 10 (2 x + 9) & = 36 \\ 7 x + 20 x + 90 & = 36 \\ 27 x + 90 & = 36 \\ 3 x + 10 & = 4 \\ 3 x & = - 6 \\ x & = - 2 \end{aligned}

Wstawienie tych wartości z powrotem do naszych pierwotnych równań, na przykład do

y = 2 x + 9

, pozwoli nam rozwiązać równania ze względu an drugą zmienną:

\begin{aligned} y & = 2 x + 9 \\ y & = 2 (- 2) + 9 \\ y & = - 4 + 9 \\ y & = 5 \end{aligned}

Rozwiązaniem układu równań jest

x = - 2

y = 5

Chcesz się nauczyć więcej o metodzie przez podstawienie? Zajrzyj do tego materiału filmowego.

Poćwicz

zadanie 1

Rozwiąż poniższy układ równań.

\begin{aligned} - 5 x + 4 y & = 3 \\ x & = 2 y - 15 \end{aligned}

x =

y =

Potrzebujesz więcej ćwiczeń? Wykonaj to ćwiczenie.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.