Wstęp do równań parametrycznych

Powiedzmy, że mamy skarpę. Narysujmy tę skarpę, powiedzmy, dajmy na to, że ma 50 metrów wysokości. I na tej skarpie, mamy samochód. A ten samochód nie stoi nieruchomo na tej skarpie, on z niej zjeżdża. Bardzo dramatyczny problem. No więc popatrzmy, mamy ten samochód tutaj. Jedzie z prędkością 5 metrów na sekundę. Chcemy wiedzieć, po jakiej drodze będzie się poruszał ten samochód spadając ze skarpy? A więc umieśćmy tutaj układ współrzędnych: Powiedzmy, że tutaj mamy oś y-ów, a tutaj będzie oś x-ów. Czyli tutaj mamy y, a tutaj x. Powiedzmy, że mamy ten punkt - no dobrze, wiemy, że ta skarpa ma 50 metrów wysokości. Niech y=0 będzie poziomem morza. Czyli tutaj będziemy mieli 50. I załóżmy, że ten punkt, dokładnie na końcu skarpy, jest w x=10. A więc ten punkt tutaj ma współrzędne (10,50). Załóżmy też, że samochód znajduje się dokłądnie w tym punkcie, właśnie zaczyna spadać ze skarpy. Czas jest równy 0. No więc mamy czas równy 0. t to będzie czas. Czas jest równy 0. A więc moje pytanie - co się stanie z samochodem po zjechaniu ze skarpy? Mamy tu nieco fizyczne zagadnienie, ale nie będę się zagłębiał w fizykę. I nie udowodnię niektórych równań. Zachęcam do obejrzenia filmów z kinematyki, z poruszaniem pocisków, jeśli chcesz wiedzieć, skąd wzięły się te równania. Tutaj chcemy tylko dostać równania i zobaczyć, jak będzie wyglądał wykres. A więc, weźmy x jako funkcję czasu - wezmę jakiś jaskrawy kolor - jak będzie wyglądał x jako funkcja od czasu? No dobrze, załóżmy, że jesteśmy na planecie, na której nie ma powietrza. Jesteśmy w próżni. Jeżeli poruszamy się po x z prędkością 5 metrów na sekundę w prawo, nie będziemy zwalniani przez powietrze ani tarcie, ani cokolwiek innego. Zasada dynamiki Newtona: jeśli ciało się porusza, będzie się poruszało nadal, chyba, że zadziała na nie jakaś siła. A tutaj nie będzie żadnej siły wypadkowej w kierunku x. Samochód będzie się po prostu poruszał w prawo z prędkością 5 metrów na sekundę. Położenie, albo odległość, będzie równa prędkość razy czas. Nasza prędkość to 5, mnożymy razy czas. Oczywiście, nie zaczynamy w punkcie x=0. Czas początkowy będzie równy 0. Zaczynamy w x równym 10. To tak jakby x=0, od początku układu współrzędnych, i jeszcze dodać 10. To powinno być dla Was intuicyjne, prawda? W czasie równym 0, ten fragment się kasuje, a tutaj x=10. Czyli się zgadza. W czasie równym 1, powinniśmy być trochę... będziemy 5 metrów dalej, i tak dalej... W porządku. To jest x jako funkcja od parametru t. Jak się pewnie domyślasz, to jest film o równaniach z parametrem, nie o fizyce. Fajnie by było nazwać ten parametr. Parametr. Zwykle czas jest parametrem, kiedy mówimy o równaniach z parametrem. Ale to może być cokolwiek. Równie dobrze może to być promień, kąt, kto wie, co jeszcze? Zobaczmy jak wygląda y jako funkcja od czasu. y, jako funkcja od czasu, będzie się równać początkowej wartości y, czyli 50. Jesteśmy na wysokości 50 metrów. Dodać nasza prędkość początkowa w kierunku y. Właściwie nie mamy żadnej prędkości w kierunku y. Samochód nie skacze ani nie nurkuje. Po prostu porusza się w prawo. A skarpa go podtrzymuje. A więc prędkość w kierunku y będzie równa 0. Ale jeśli Cię to ciekawi, to byłoby: prędkość y razy czas. Ale skoro nie mamy prędkości w kierunku y, przynajmniej na początku, więc nie będę tego dopisywał. Dodać przyspieszenie ziemskie razy czas do kwadratu przez 2. Chcemy znaleźć sinus. I teraz będziecie wiedzieć, myślę, że fajnie jest popatrzeć na to od strony fizyki, chociażby po to, żeby zrozumieć, skąd się biorą te wzory i dlaczego w ogóle używa się równań z parametrem. Grawitacja działą w dół w tym przypadku, a poruszanie w dół to będzie kierunek y na minusie. y się zmniejsza. Przyspieszenie ziemskie, nie do końca dokładnie, ale podaje się, że wynosi 9,8 metra na sekundę kwadrat. Ale, żeby to wszystko uprościć, powiedzmy, że wynosi około 10 metrów na sekundę kwadrat. Właśnie tak szybko wszystko na tej planecie będzie poruszane w dół. Skoro nie ma powietrza, powiedzmy, że ta planeta będzie miała trochę większą masę, niż Ziemia. Skoro porusza się w dół, kierunek jest przeciwny. A więc, w naszym wzorze, to jest nasze położenie początkowe - nie mamy prędkości razy czas, więc nie wpisuję tego tutaj - zostaje -10 metrów na sekundę kwadrat razy czas t do kwadratu przez 2. Możesz obejrzeć filmy o poruszaniu pocisków, jeśli chcesz się dowiedzieć, skąd wziąłem te wzory. Ale nie o to nam teraz chodzi. Chcemy narysować na wykresie, co dzieje się z samochodem i dowiedzieć się co nieco o równaniach z parametrem. A więc jaka jest droga spadania tego samochodu ze skarpy? Zróbmy tabelkę. A więc x i y są funkcjami od tego trzeciego parametru - t. Czyli będziemy wybierać różne wartości t i na ich podstawie wyliczać wartości x i y. Wybiorę sobie przykładowe wartości t. t równe 0. t równe 1, 2 i 3. W czasie równym 0, ile wynosi x? x początkowe, dla t=0, wynosi 10 metrów. Jeśli t jest równe 1, ile wynosi x? To jest x od 1, prawda? Jeśli chciałbym to zapisać w ten sposób. A więc 5 razy 1 to 5, dodać 10 czyli 15. x od 2? 5 razy 2 plus 10, to 20. To ma sens. Z każdą sekundą poruszamy się 5 metrów dalej w prawo. Czyli x rośnie o 5. A więc jeśli t jest równe 3, 15 plus 10 to 25. Całkiem proste. y jest troszeczkę bardziej skomplikowany. Żeby to trochę uprościć, to jest to samo, co 5, prawda? 10 podzielić przez 2. A więc 50 minus 5 razy t do kwadratu. W czasie równym 0, ten fragment jest równy 0. Mamy dokładnie 50 metrów wysokości. W czasie równym 1, 1 do kwadratu to 1, razy 5 - czyli 5. 50 minus 5 daje 45 metrów wysokości. Zgadza się? Dobrze, czas 1, 50, ok. Zgadza się. A teraz w czasie równym 2, 2 do kwadratu to 4. 4 razy 5 to 20. 50 minus 20 to 30. I w końcu, w czasie równym 3 - mówię w końcu, bo to jest ostatnia wartość czasu, jaką wybraliśmy - czas jest równy 3. 3 do kwadratu to 9. 9 razy 5 to 45. 50 minus 45 to 5. Zaznaczmy te punkty. A więc czas jest równy 0. To jest to, co mamy tutaj. Jeśli czas jest równy 1, jesteśmy w x równym 15. To jest mniej więcej 5, 10, 15 - zaznaczę wszystkie wartości - 15, 20, 25. A teraz oś y-ków - zaznaczę to, póki już tu jesteśmy - powiedzmy, że tutaj mamy 10, 20, 30, 40, 50. A więc, jeśli czas jest równy 0, jesteśmy w punkcie (10, 50). To ten punkt. Jeśli czas jest równy 1, jesteśmy w punkcie (15,45). x równe 15, y równe 45, czyli to gdzieś tutaj. A więc to jest t równe 1. Jeśli czas jest równy 2, czyli mamy współrzędne (20,30), to jest gdzieś tutaj. Czyli to jest czas równy 2. I w czasie równym 3, jesteśmy w (25,5). Czyli jesteśmy w tym miejscu. I jeżeli będziemy się dalej poruszać, w którymś punkcie uderzymy w ziemię. Możesz znaleźć ten punkt, wystarczy, że to będzie równe 0, a wtedy obliczysz czas, w którym samochód zderzy się z ziemią. Zróbmy to. Jeśli to jest równe 0, 50, dostajemy, że t jest równe pierwiastkowi z 10. To trochę ponad 3 sekundy. Zgadza się, prawda? Trochę ponad 3 sekundy, samochód uderzy w ziemię. A jaka jest droga spadania tego samochodu? Hmm, to będzie wyglądało jakoś w ten sposób. Tutaj zaczyna poruszać się w dół... ...i bum. Zderza się z ziemią w czasie 3 przecinek coś tam sekund. Teraz, co jest interesujące, ustalając parametr nie tylko dostaliśmy krzywą. Mamy krzywą, która jest jakby połową paraboli, połową odwróconej paraboli, i możemy też usunąć parametr t i dostać równanie na tę parabolę. I zrobimy to w kolejnych filmach. Ale co jest ważne, używając równania z parametrem, znamy kierunek poruszania się samochodu. Jeśli zobaczysz tylko sam wykres, bez samochodu i tego wszystkiego, co tu narysowałem, nie będziesz wiedzieć, którędy samochód spadał. Ale tutaj wiemy, że t rośnie, idąc w tym kierunku. Możemy narysować tutaj strzałki. Dlatego, że to jest równanie z parametrem, możemy narysować te strzałki. I najważniejsza rzecz, to że wiemy dokładnie, gdzie jest samochód w jakimkolwiek czasie t. Możemy wybrać t równe 1,25 sekund i będziemy wiedzieć, gdzie znajdował się wtedy samochód. A więc możemy zaznaczyć te punkty, i wtedy zobaczymy, że jeśli czas rośnie, będziemy się zbliżać do powierzchni ziemi. To jest powód, dla któego z każdą sekundą, zwłaszcza odległość y się coraz bardziej zwiększa. W każdym razie, chciałem po prostu pokazać ten przykład. Mimo, że to byłby dobry problem fizyczny, nie miałem zamiaru uczyć Was fizyki. Chciałem, żebyście wiedzieli, po co właściwie są równania z parametrem. Te dwie rzeczy to równania z parametrem. Zdefiniowaliśmy x i y jako funkcje od trzeciego parametru, t, zamiast definiować y od x lub x od y, jak robiliśmy przedtem za każdym razem. A to jest bardzo przydatne. To znaczy, możesz sobie wyobrazić, jak masz jakieś bardzo trudne problemy fizyczne, gdzie chcesz znaleźć położenie jakiegoś ciała w trzech wymiarach lub coś takiego, wtedy będziemy mieć x jako funkcję od t, y jako funkcję od t i z jako kolejną funkcję od t. Wszystkie rodzaje interesujących zagadnień wzięły się z równań z parametrem, nie tylko w fizyce. Tak czy siak, pomyślałem, że na dobry początek trzeba złapać intuicję. Ponieważ, kiedy pierwszy raz zobaczyłem równania z parametrem, pomyślałem: dlaczego ktoś chce zniszczyć mój wspaniały świat x-ów i y-ków wprowadzając kolejny parametr, t? Teraz wiemy już, dlaczego. Ponieważ możesz znaleźć drogę, po któej poruszają się przedmioty. Możesz znaleźć kierunek poruszania się czegoś, co porusza się po krzywej, i możesz znaleźć ich położenie w każdym, w tym przypadku, czasie.