If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Eliminowanie parametru z równań z parametrem (przykład 2) — film z polskimi napisami

Wychodząc z układu równań x = 3 cost(t) i y=2 sin(t) otrzymujemy związek pomiędzy x i y, który jest równaniem elipsy. Stworzone przez: Sal Khan.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Transkrypcja filmu video

... Zobaczmy czy możemy wyeliminować parametr t z trochę bardziej interesującego przykładu. Powiedzmy, że x jest równe 3 razy cosinus z t. A y jest równe 2 razy sinus z t. Możemy spróbować pozbyć się parametru w taki sam sposób, jak w poprzednim filmie, gdzie możemy znaleźć t zależne od x lub y i potem podstawić. Zrobię to. Chcę to zrobić najpierw, tylko, żeby pokazać Wam, że ta droga prowadzi do skomplikowanej i niejasnej odpowiedzi. Więc jeśli rozwiążemy... znajdźmy t. Możemy rozwiązać którekolwiek równanie, oba są tak samo złożone. Jeśli chcemy rozwiązać to, musimy podzielić obie strony przez 2. Dostaniemy y przez 2 jest równe sinus z t. Teraz, przykładając arcus sinus z obu stron, czyli funkcję odwrotną do sinusa, dostaniemy - wolę napisać - arcus sinus, ponieważ odwrotność sinusa, ludzie często mylą to z funkcją potęgową, biorąc to za -1 potęgę. Arcus sinus z y przez 2 jest równy t. Zróbmy to tutaj z boku. Powinienem to chyba zrobić w dziale trygonometria, ale to jest dobry przykład, który trafia w sedno problemu. Ponieważ uważam, że ludzie się mylą. Arcus sinus z czegokolwiek, powiedzmy, y. Inny sposób zapisania tego to sinus do -1 z y. Te dwie rzeczy są równoważne, jeśli są normalnie używane. Ale zwykle nie lubię używać tej notacji, bo może być niejednoznaczna. Może to oznaczać sinus z y do potęgi -1, co jest równe 1 przez sinus z y. Arcus sinus i to w żadnym wypadku nie oznacza tego samego. A więc musisz być bardzo ostrożny, żeby mieć pewność, że nie zostaniesz wprowadzony w błąd, jeśli ktoś napisze funkcję odwrotną sinusa w ten sposób. Nie bierze się tutaj sinusa z y do potęgi -1. Z drugiej strony, jeśli ktoś chciał napisać sinus do kwadratu z y, to jest z pewnością to samo, co sinus z y do kwadratu. Właściwie, wolałbym, żeby to była ta bardziej konwencjonalna notacja ponieważ nie prowokowała by ludzi do myślenia 2 i -1 tutaj, to jest oczywiście sinus z y do kwadratu. A więc to może być bardzo niejednoznaczne. No i oczywiście, jeśli to było ujemne, tu byłoby -2, Czyli tak naprawdę tutaj byłoby 1 przez sinus z y do kwadratu. Po to właśnie, trochę okrężną drogą wyjaśniłem, dlaczego napisałem tutaj arcus sinus zamiast odwrotności sinusa. To już jasne, wróćmy do naszego problemu. Rozwiązaliśmy równanie dla t wyrażonego jako funkcję od y. Teraz możemy podstawić. I mamy x jako funkcję od y. Czyli mamy x równe 3 razy cosinus z t. Właśnie rozwiązaliśmy równanie dla t. t jest tutaj. Czyli to jest cosinus z arcusa sinusa z y przez 2. I wyeliminowaliśmy parametr, ale to jest bardzo nieintuicyjne równanie. Mogliśmy zrobić to w inny sposób. Mogliśmy znaleźć y jako funkcję od x i mielibyśmy sinus z arcusa cosinusa. To byłoby tak samo poplątane i nieoczywiste. Tak czy siak, wyeliminowaliśmy parametr, więc myślę, że możemy się lekko poklepać po plecach. Ale to nie był cel tego filmu. Celem jest zobaczyć czy jest jakiś inny sposób, w który możemy wyeliminować parametr i otrzymać prostsze równanie. z x i y. To co zamierzam zrobić, może powiesz, że to coś w rodzaju sztuczki, ale to wiele pokaże. Zwłaszcza przy korzystaniu ze współrzędnych biegunowych. Może chcesz obejrzeć filmy o współrzędnych biegunowych, ponieważ tutaj będziemy ich używać. Jak powiedziałem - przepiszę je. x jest równe 3 razy cosinus z t. y jest równe 2 razy sinus z t. Możemy teraz po prostu pomyśleć, no dobrze, jak możemy to zapisać? Mamy cosinus z t i sinus z t, jak możemy je powiązać? Pierwsze, co mi przychodzi do głowy, to okrąg jednostkowy albo, do pewnego stopnia, najbardziej podstawowa ze wszystkich tożsamości trygonometrycznych. Czyli cosinus kwadrat z t plus sinus kwadrat z t równa się 1. To równanie bierze się z okręgu jednostkowego. Wyjaśniłem to w filmie o okręgu jednostkowym, to dlatego, że równanie okręgu jednostkowego to x kwadrat plus y kwadrat równa się 1. Cosinus kąta to współrzędna x, sinus kąta to współrzędna y, i tak dalej. A to jest nasza tożsamość trygonometryczna. Nie musisz się teraz nad tym zbyt wiele zastanawiać. Przyjąć tylko, że to prawda i obejrzeć jakieś inne filmy, jeśli chcesz się dowiedzieć, dlaczego to prawda. Jeśli moglibyśmy jakoś zastąpić cosinus kwadrat jakimś wyrażeniem z x, a potem sinusa kwadrat wyrażeniem z y, to byłoby gotowe, tak? I to równałoby się 1. To nie powinno być zbyt trudne. Przepiszmy to. Załóżmy, że cosinus z t jest równe coś od x, a sinus z t jest równe coś od y. Zróbmy to. Dzielimy obie strony równania przez 3. Dostajemy x przez 3 równa się cosinus z t. Jeśli podzielimy to równanie stronami przez 2, dostaniemy y przez 2 równa się sinus z t. I teraz możemy użyć tożsamości trygonometrycznej. Zamiast cosinusa z t weźmiemy x przez 3. Zamisat sinusa z t - y przez 2. I dostajemy x przez 3 do kawdratu - to mamy tutaj, to po prostu cosinus kwadrat z t - plus y przez 2 do kwadratu - czyli sinus kwadrat z t - równa się 1. Teraz wygląda to już dużo lepiej niż to. Nie mam pojęcia co to jest. Jeżeli obejrzeliście filmy o krzywej stożkowej, możecie już się zorientować, że to zaczyna wyglądać jak elipsa. Możemy to nieco uprościć. Możemy powiedzieć, że to jest równe x kwadrat przez 9 plus y kwadrat przez 4 równa się 1. Jeśli mielibyśmy narysować tę elipsę narysujemy ją - dostaniemy - narysuję oś. Używam tego niebieskiego koloru za często. Robię się nudny. Ok, użyję fioletowego. To jest nasza oś x-ów. To jest oś y-ów. ... Dłuższa oś jest w kierunku x, ponieważ ten mianownik jest większy od tego. To jest półoś wielka - to będzie pierwiastek z tego, czyli 3. 1,2,3 w tym kierunku. 1,2,3. Wiel, że środek jest w 0, ponieważ żadne z nich nie jest przemieszczone. Powinieneś obejrzeć filmy o krzywej stożkowej, jeśli to brzmi nieznajomo. Półoś mała to pierwiastek z 4, czyli 2. Czyli 1,2. 1,2. Zobaczmy czy potrafię narysować tę elipsę. To wygląda jakoś tak Proszę bardzo. Czyli w ten sposób, eliminując parametr t, dostaliśmy równanie w takiej formie, że byliśmy w stanie natychmiast zidentyfikować to jako elipsę. Jak się tak na to patrzy, gdy nie ma się styczności z równaniami z parametrem albo ze współrzędnymi biegunowymi, nie jest to takie oczywiste, że to równanie opisuje elipsę. Ale jak już się nauczysz czegoś o krzywej stożkowej, robi się to bardzo łatwe. To elipsa. Łatwo ją narysować. Ale przy eliminowaniu parametru, mając na początku te równania, idąc od tych równań do tego, jak w ostatnim filmie, straciliśmy ważne informacje. Nie wiem już, jaki jest kierunek, w którym się poruszamy, jeśli rośnie t. Nie wiemy też, w którym punkcie elipsy jesteśmy dla danego t. Zróbmy małą tabelkę. ... Weźmy jakieś wartości t. ... t,x,y. Dobrze wybrać wartości t. Przepiszę te równania jeszcze raz, żebyśmy o nich nie zapomnieli - x było równe 3 razy cosinus z t, y jest równe 2 razy sinus z t. Dobrze wybrać takie wartości t, gdzie łatwo można znaleźć ich cosinus i sinus, bez użycia kalkulatora. Zakładamy, że t jest w radianach, dla uproszczenia. Weźmy t równe 0. t równe pi przez 2. To jest 90 stopni. t równe pi. Ile wynosi x jak t jest równe 0? Cosinus z 0 to 1 razy 3, czyli 3. Ile wynosi x jak t jest równe pi przez 2? Cosinus z pi przez 2 to 0. Czyli 0. Ile wynosi x jak t jest równe pi? Cosinus pi to -1. -1 razy 3 równa się -3. Proste. Teraz policzmy y. Ile wynosi y dla t równego 0? Sinus jest równy 0. 2 razy 0 równa się 0. KIedy t równa się pi przez 2, sinus jest równy 1. 1 razy 2 równa się 2. Jak t jest równe pi, sinus z pi - czyli sinus 180 stopni - równa się 0. 2 razy 0 to 0. Zaznaczmy te punkty. Dla t=0, jesteśmy w punkcie (3,0). To tutaj. To jest dla t równego 0. Gdy t wzrośnie o pi przez 2, jeśli to byłyby sekundy, pi przez 1 sekund to coś jak 1,7 sekundy. A więc gdy t równa się pi przez 2 jesteśmy w punkcie (0,2). Dokładnie tutaj. To jest dla t równego pi przez 2. Jak t wzrośnie jeszcze trochę, czyli dla t równego pi, jesteśmy w punkcie (-3,0). Tutaj. Czyli to jest t równe pi albo, moglibyśmy napisać, 3,14159... sekund. 3,14 sekund. Chodzi o to, żeby mieć punkt, t nie musi być czasem, i nie musi być to w sekundach. Ale chciałbym pomyśleć o tym w ten sposób. Chciałbym sobie wyobrazić, może to opisuje jakiś obiekt, znajdujący się na orbicie, nie wiem, coś innego. Teraz znamy kierunek poruszania. Gdy t rosło od 0 do pi przez 2, szliśmy w tę stronę. Odwrotnie do ruchu wskazówek zegara. Czyli dla tych równań poruszamy się w tym kierunku. Możesz spytać, Sal, dlaczego wybraliśmy akurat 3 punkty? Mogliśmy wybrać tylko 2 punkty i mielibyśmy kierunek. Jeśli mielibyśmy tylko ten punkt i ten punkt, moglibyśmy od razu powiedzieć, przemieściliśmy się stąd tutaj. Ale to nie byłoby wystarczające. Ponieważ może okazałoby się, że idziemy w innym kierunku? Wybranie trzeciego punktu powinno dać nam pewność, że poruszamy się odwrotnie do ruchu wskazówek zegara (niestety, ten przykład tego nie pokazuje, powinien zostać wybrany inny punkt). Co się dzieje, gdy weźmiemy t od 0 do nieskończoności? Co jeśli ograniczymy t? t jest większe od 0 i mniejsze niż nieskończoność. Będziemy się dalej poruszać po elipsie, cały czas. Wiele razy. Rysować tę elipsę raz jeszcze, i jeszcze raz. Jeśli mielibyśmy t od minus nieskończoności do nieskończoności, robilibyśmy to bez końca. Jeśli chcielibyśmy zakreślić elipsę tylko raz, moglibyśmy pójść od t mniejsze równe - albo t większe równe 0. Aż do t równego 2 pi. W takim przypadku, t jest kątem, który nakreślamy. Jeśli myślelibyśmy o tym we współrzędnych biegunowych, to jest t w jakimkolwiek danym czasie. Po prostu sobie pomyślałem, że trochę o tym powiem. Nie dzieje się tak zawsze, ale w tym przypadku rzeczywiście tak jest. Jak poruszamy się od 0 do 2 pi, robimy jeden okrąg. Ale to miało być o równaniach z parametrem, a nie o trygonometrii. Nie chcę się na tym za bardzo skupiać. Tak czy siak, to było fajne. Kiedy zaczynaliśmy, gdybym tylko pokazał Wam te równania, nie wiedzielibyście w ogóle jak to wygląda. Ale, po rozpoznaniu tej tożsamości trygonometrycznej, mogliśmy uprościć to do elipsy naszkicować elipsę. A potem, nanosząc kika punktów, ustalić kierunek, w którym, jeśli to opisuje jakiś obiekt w ruchu, kierunek, w którym ten obiekt się porusza. Mam nadzieję, że Wam się to podobało.