If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Różne układy równań z parametrem, które prowadzą do tego samego wykresu — film z polskimi napisami

Różne równania z parametrem mogą opisywać tę samą relację pomiędzy x i y, a zatem i ten sam wykres. Stworzone przez: Sal Khan.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Transkrypcja filmu video

... W poprzednim filmie zaczynaliśmy od takich równań: x równa się 3 razy cosinus t i y równa się 2 razy sinus t. Używając nieco algebry, mogliśmy usunąć parametr i przekształcić to w równanie, które opisuje elipsę. Dostaliśmy x kwadrat przez 9 plus y kwadrat przez 4 równa się 1. Narysowaliśmy to. Zrobię to teraz. Właściwie mam rysunek z poprzedniego filmu - narysowaliśmy to i dostaliśmy coś, co wygląda tak, jak tutaj. I powiedzieliśmy, no dobrze, a dlaczego nie zapisujemy tego zawsze w ten sposób? No bo to tutaj - to równanie tylko z x i y stąd wiemy, jaki jest kształt drogi. Nie wiemy jednak jaka jest droga - powiedzmy, że t symbolizuje punkt - pozycję obiektu w jakimś miejscu i czasie. Poszliśmy dalej. Wraz z upłuwem czasu obiekt poruszał się, w tym przypadku, po elipsie. I tak dalej, czas upływa, a my cały czas poruszamy się po tej elipsie. Ale tu narzuca się pytanie: czy to jedyne takie równania, że gdy nieco je przekształcimy, otrzymujemy ten tor ruchu? Czy możemy znaleźć inne równania, które dadzą dokładnie to samo? Myślę, że możemy. Spróbójmy kilku. Mam na myśli, że możemy znaleźć ich całe mnóstwo. Właściwie, znajdziemy ich wiele, po to tylko, żeby zobaczyć, że ...zobaczycie, że istnieje nieskończenie wiele równań, które opisują tę drogę. Jedno z nich może być x równa się 3 razy cosinus 2t. Kolejne y równa się 2 razy sinus 2t. Jak w poprzednim filmie, rozwiążemy dla cosinusa 2t i dla sinusa 2t. Musimy podzielić obie strony tego pierwszego równania przez 3. Mamy x przez 3 równa się cosinus 2t. Dzielimy oboe strony drugiego równania przez 2. Mamy y przez 2 równa się sinus 2t. Użyjemy tych samych tożsamości trygonometrycznych, co poprzednio. Gdy rozwiązywaliśmy takie równania poprzednio, powiedzieliśmy, że sinus kwadrat z t plus cosinus kwadrat z t równa się 1. Jeśli to prawda, to czy to jest prawda. Zobaczmy. Jeśli to prawda, możemy powiedzieć, że sinus kwadrat z 2t plus cosinus kwadrat z 2t równa się 1. Prawdą jest, że sinus kwadrat czegokolwiek plus cosinus kwadrat czegokolwiek, tak długo, jeśli chodzi o to samo cokolwiek - nie mogę mieć 2t tutaj, a tam 3t, ale jeśli to jest 2 i to jest 2 - to się będzie zawsze równało 1. Tylko wypełniasz te luki. To zawsze będzie ten sam kąt. A więc, skoro to prawda, możemy po prostu wziąć to i podstawić dla cosinusa 2t, a potem wziąć y przez 2 i podstawić dla sinusa 2t. Dostaniemy y przez 2 do kwadratu plus x przez 3 do kwadratu równa się 1. I to jest dokłądnie to, od czego mieliśmy zacząć. To to samo, co x kwadrat przez 9 plus y kwadrat przez 4 równa się 1. Czyli oba równania, oba układy równań z parametrem opisują tę samą drogę. Czym się różnią? Zobaczmy. Jeśli mielibyśmy wziąć - W poprzednim filmie, wzięliśmy ten żółty. Przepisałem to tutaj. Zrobiliśmy małą tabelkę i zaznaczyliśmy punkty przez które przechodzisz, idąc po tym kole. Zróbmy więc to samo dla naszego nowego zbioru. Trochę się już miesza, zapiszę te dwa równania tutaj. To było x równa się 3 razy cosinus z 2t, a y równa się 2 razy sinus z 2t. Zrobię tabelkę. ... Robimy. Będziemy mieć t. Będziemy mieć też x i y. Weźmy te same wartości t: 0, pi przez 2 i pi. Kiedy t jest równe 0, cosinus z 2 razy 0. To jest cosinus zera, czyli jeden, razy 3, to jest 3. Jak t równa się pi przez 2, 2 razy pi przez 2 to pi. Cosinus z pi to -1. Minus 1 razy 3 to -3. Jak t równa się pi, cosinus z 2 raz pi. Cosinus z 2 pi to tyle samo co cosinus 0. Czyli 1. 1 razy 3 to 3. A teraz y. Jak t równa się 0, to jest sinus z 1 razy 0. Czyli sinus 0 równa się 0, razy 2 równa się 0. Pi przez 2. Sinus 2 razy pi przez 2. To to samo co sinus pi. To też jest 0. 0 razy 2 to 0. A teraz pi. Sinus 2 razy pi. To też jest 0. Czyli tutaj mamy same zera. Co się tu stało? Zrobię to w innym kolorze. A więc ustaliliśmy, że oba układy równań z parametrem dają ten sam wynik. myślę, że możemy powiedzieć, opisują ten sam kształt drogi. Opisują tę elipsę. Ale co widzieliśmy z poprzednich filmach, jak się naniesie te punkty, w czasie t równym 0, mieliśmy rację. Ten punkt to ten punkt tutaj. Później w t równym pi przez 2, znaleźliśmy się tutaj. W t równym pi znaleźliśmy się tutaj. Zrobiliśmy to po to, by określić kierunek ruchu. Jeśli te równania rzeczywiście opisują jakiś rodzaj ruchu, to jego kierunek byłby odwrotny do ruchu wskazówek zegara. I co się tutaj dzieje - jeśli t jest równe 0, jesteśmy wciąż w punkcie 3,0. A więc one przynajmniej - w t równym 0, możesz zobaczyć, że zaczynają się w tym samym punkcie, jeśli założymy, że startujemy od punktu t równe 0. Nie musimy zaczynać od t równego 0. W ostatnim filmie tak robiłem, ale możesz zacząć w t równym minus google albo t równym minus nieskończoność. Więc nie musisz koniecznie mieć punktu startowego. Ale jeśli założymy, że t równe 0 bęzie punktem startowym, można powiedzieć, że obydwa zaczynają się tutaj. Więc w - wezmę nowy kolor - więc w t równym pi przez 2 - gdzie się znajdujemy? Jesteśmy w -3,0. Dostajemy drogę - och. To ten sam kolor, co poprzednio. Zobaczmy ten. Wezmę ten kolor. Jesteśmy tutaj. Zauważmy: W pierwszym przypadku, kiedy poruszaliśmy się od t równego 0 do t równego pi przez 2, przeszliśmy stąd dotąd. Przeszliśmy ćwierć elipsy. Ale w drugim przypadku, kiedy weźmiemy t od 0 do pi przez 2, gdzie pójdziemy? W tym przypadku przejdziemy pół elipsy. Przeszliśmy stąd, aż dotąd. ... I podobnie, gdy weźmiemy t od pi przez 2 do pi, zgodnie z tym równaniem, przejdziemy kolejną ćwierć elipsy. Stąd dotąd. A tutaj, gdy weźmiemy t od pi przez 2 do pi, Pójdziemy tędy. Wrócimy do początku naszej elipsy, do punktu, od którego zaczęliśmy. A więc widzimy, że ten układ równań z parametrem opisuje dokładnie tę samą drogę, co drugi układ równań z parametrem. Poza tym, że porusza się po elipsie 2 razy szybciej. Za każdym razem, gdy t rośnie o pi przez 2, przejdziemy ćwierć elipsy. Ale tutaj, jeśli t urośnie o pi przez 2, to przejdziemy pół elipsy. WIęc co trzeba zauważyć - mówiłem już o tym wcześniej - to że mimo, iż oba te układy równań z parametrem, po obliczeniach, mogą opisywać tę samą drogę. Jednak zapominamy o tym, gdzie w danym momencie się znajdujemy i jak szybko krążymy po elipsie. Dlatego potrzebujemy tych równań z parametrem. Możemy nawet skonstruować równanie z parametrem, które opisuje ruch w przeciwnym kierunku. Zamiast tego - i zachęcam do pobawienia się w ten sposób - jeśli zamiast tego, po prostu wstawię znak minus w to miejsce. Cosinus z minus t i 2 razy sinus z minus t. Zamiast iść w tym kierunku, pójdzie w tym kierunku/ Będzie się poruszać zgodnie z ruchem wskazówek zegara. A więc rzecz, o której prawdopodobnie myśleliście od początku - OK, mogliśmy zamienić te równania z parametrem w te równania na elipsę zależne tylko od zmiennych x i y. Ale czy możemy wrócić z powrotem? Możemy przejść z tego do tego? I pewnie się już domyślasz, że odpowiedź brzmi: nie. Ponieważ nie wiadomo, jak to zrobić, mając tylko informacje dane tutaj, czy powinniśmy użyć tego równania z parametrem, czy tego równania, czy innego z nieskońćzenie wielu takich równań. Mam na myśli, że cokolwiek co wygląda tak: x równa się 3 razy cosinus ilukolwiek t i y równa się 2 razy sinus ilukolwiek t - - tak długo, jak jest to to samo ilekolwiek - narysowałem dwie takie same falki - - jeśli te dwie rzeczy są takie same, wtedy będziemy mieli te same drogi. Jeśli mamy drogę, nie wiemy, do którego równania z parametrem powinniśmy się wrócić. Możesz wybrać któreś, ale nie wiesz, do jakiego równania to powinno wrócić. I na koniec, żeby złapać, jak to robić, jak wymyślać równania z parametrem. Czasami Was o to proszą. WIęc zróbmy prosty przykład. Zacznijmy od normalnej funkcji od x. Powiedzmy, ze mamy równanie y równa się x kwadrat plus x. Właśnie je wymyśliłem. Powiedzmy, że ktoś poprosił, żeby zamienić to w równanie w parametrem. I to wielu ludziom sprawia problem, bo nie ma jednej dobrej odpowiedzi na to pytanie. Mozesz znaleźć dowolnie wiele takich równań. Mogę zrobić coś naprawdę zwariowanego i losowego. Mogę powiedzieć, że x równa się - jeśli mam y zdefiniowane przez x, mogę wyrazić x jako cokolwiek zależnego od t. Mogę powiedzieć, że to będzie cosinus t minus logarytm naturalny z t. Właśnie to wymyśliłem. To jest jakaś losowa rzecz. Ale teraz, jeśli x jest takie, to y będzie równy po prostu to podstawimy - cosinus z t minus ln z t do kwadratu plus cosinus z t minus ln z t. I zrobione. Właśnie zmieniliśmy to w równanie z parametrem albo układ równań z parametrem. Mogłem po prostu napisać x równa się t. Ile równałoby się y? y będzie równe t kwadrat plus t. Możesz zapytać - no dobrze, jaka jest różnica między tym a tym równaniem? Co prawda obydwa będą opisywały tę samą drogę. To będzie jakaś parabola. Ale szybkość i kierunek, w jakim będziemy się poruszać po tych drogach, będą się różnić. To jest bardzo ciekawe zagadnienie do badania. Są takie drogi, które można wziąć, gdzie... powiedzmy, że... Można wziąć równanie z parametrem. Powiedzmy, że kształt drogi jest... Wszystko, co robiliśmy dotychczas, zawsze szliśmy w tym samym kierunku, ale można - mam już scenariusze, jeśli będę mieć czas, to zrobię film. I to nie jest to, co.... Powiedzmy, że drogą będzie jakiś, nie wiem, powiedzmy, że jakiś okrąg. Chcę po prostu... to nie jest to. Robię teraz zupełnie inny przykład. Ja po prostu... Czasami, z elipsami, mieliśmy drogi, po których poruszaliśmy się odwrotnie do ruchu wskazówek zegara, i potem zgodnie ze wskazówkami zegara. Możesz też mieć drogi, które są tak jakby niepowiązane ze sobą, poruszać się wkoło, z powrotem i dalej naprzód. Więc mamy wszystkie rodzaje równań z parametrem, jakie możemy wymyślić. Możemy powiedzieć, że jeśli t mamy odtąd dotąd, to użyjemy tych równań z parametrem. Jeśli weźmiemy inny zbiór t, to użyjemy innych równań. Więc mamy do wyboru wszelkie dziwne rzeczy, które mogą się dziać, gdy poruszamy się po tej drodze. A więc różnica - nie w tym, że droga jest taka. To jest właściwie bardziej parabola. Ale różnica między tym a tym leży w sposobie poruszania się po drodze. W każdym razie, mam nadzieję, że Ci się to przyda. ...