If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Algebra (cały materiał)

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 14

Lekcja 15: Rozwiązywanie modeli z funkcjami trygonometrycznymi
Matematyka
Algebra (cały materiał)
Funkcje trygonometryczne
Rozwiązywanie modeli z funkcjami trygonometrycznymi
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Przegląd równań trygonometrycznych

Google Classroom
Przypomnij sobie, co wiesz o równaniach trygonometrycznych i zastosuj tę wiedzę do kilku zadań o rosnącym stopniu trudności.

Ćwiczenie 1: rozwiązywanie prostych równań za pomocą funkcji cyklometrycznych

Przykład: rozwiązanie równania sin⁡(x)=0,55

Obliczenia wykonamy na kalkulatorze, zaokrąglając do setnych.
sin−1⁡(0,55)=0,58
(Liczymy w radianach.)
Możemy wykorzystać tożsamość sin⁡(π−θ)=sin⁡(θ) aby wyznaczyć drugie rozwiązanie leżące w przedziale [0,2π].
π−0,58=2,56
Korzystając z tożsamości sin⁡(θ+2π)=sin⁡(θ) możemy wyznaczyć, na podstawie tych dwóch rozwiązań, wszystkie inne rozwiązania.
x=0,58+n⋅2π
x=2,56+n⋅2π
Gdzie, n jest dowolną liczbą całkowitą.

Sprawdź, czy rozumiesz

Zadanie 1.1
Zaznacz jedno lub więcej wyrażeń będących rozwiązaniami równania.
Odpowiedzi są podane w radianach. n jest dowolną liczbą naturalną.
cos⁡(x)=0,15
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Ćwiczenie 2: zadania zaawansowane

Przykład: rozwiązanie równania 16cos⁡(15x)+8=2

Zacznijmy od wyodrębnienia funkcji trygonometrycznej:
16cos⁡(15x)+8=216cos⁡(15x)=−6cos⁡(15x)=−0,375
Obliczenia wykonamy na kalkulatorze, zaokrąglając do tysięcznych.
cos−1⁡(−0,375)=1,955
Możemy wykorzystać tożsamość cos⁡(θ)=cos⁡(−θ) aby wyznaczyć drugie rozwiązanie leżące w przedziale [−π,π], czyli −1,955.
Korzystając z okresowości cos⁡(θ)=cos⁡(θ+2π) możemy wyznaczyć wszystkie rozwiązania naszego równania na podstawie dwóch rozwiązań przedstawionych powyżej. Następnie rozwiążemy równanie na x (pamiętając, że argumentem funkcji jest 15x):
15x=1,955+n⋅2πx=1,955+n⋅2π15x=0,130+n⋅2π15
W podobny sposób stwierdzamy, że drugie rozwiązanie ma postać x=−0,130+n⋅2π15 .

Sprawdź, czy rozumiesz

Zadanie 2.1
Zaznacz jedno lub więcej wyrażeń będących rozwiązaniami równania.
Odpowiedzi są podane w radianach. n jest dowolną liczbą naturalną.
20sin⁡(10x)−10=5
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Ćwiczenie 3: zadania z tekstem

Zadanie 3.1
L(t) nodeluje długośc dnia (w minutach) w Manili na Filipinach, t dni after po równonocy wiosennej. Tutaj t wpisane jest w radianach.
L(t)=52sin⁡(2π365t)+728
Jeki jest pierwszy dzień po równonocy wiosennej, którego długość wynosi 750 minut?
Zaokrąglij odpowiedź do najbliższego pełnego dnia.
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi
dni

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.