Główna zawartość

Algebra (cały materiał)

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 19

Lekcja 8: Wektory we współrzędnych kartezjańskich

Podsumowanie wiadomości na temat długości i kierunku wektora

Powtórz sobie, co wiesz o długości i kierunku wektora i wykorzystaj te pojęcia do rozwiązania kilku zadań.


Długość (moduł) wektora $(a, b)$ ‍
$∣∣ (a, b) ∣∣= \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ‍
Kierunek wraz ze wzrotem $(a, b)$ ‍
$θ = \tan^{- 1} (\frac{b}{a})$ ‍
Składniki wektora mając podany moduł $∣∣ \vec{u} ∣∣$ ‍ i kierunek $θ$ ‍
$(∣∣ \vec{u} ∣∣ \cos (θ), ∣∣ \vec{u} ∣∣ \sin (θ))$ ‍

Co to jest długość oraz kierunek wektora?

Jesteśmy przyzwyczajeni do zapisywania wektorów w postaci składowych. Na przykład,

(3, 4)

. Możemy zaznaczyć wektory na płaszczyźnie współrzędnych rysując odcinek skierowany wychodzący z początku układu współrzędnych do punktu, którego współrzędne odpowiadają składowym wektora:

Graficznie, istnieje jeszcze jeden sposób, aby jednoznacznie przedstawić wektor — podając jego

długość

kierunek

Długość

wektora to długość tego odcinka, podczas gdy

kierunek

wektora podaje nam kąt jaki tworzy wektor z osią

O X

Długość wektora

\vec{v}

zwykle zapisuje się jako

| | \vec{v} | |

Chcesz dowiedzieć się więcej o długości wektora? Obejrzyj ten film.
Chcesz dowiedzieć się więcej o kierunku wektora? Obejrzyj ten film.

Zestaw ćwiczeń 1: Obliczanie długości wektora ze składowych

Aby obliczyć długość wektora znając jego składowe, musimy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów poszczególnych składowych (wynika to bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa):

| | (a, b) | | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Na przykład, moduł

(3, 4)

wynosi

\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5

Zadanie 1.1

\vec{u} = (1, 7)

| | \vec{u} | | =

Albo wpisz wynik z symbolem pierwiastka kwadratowego, albo zaokrąglij wynik do części setnych.

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Zestaw ćwiczeń 2: Obliczanie kierunku wektora ze składowych

Aby obliczyć kierunek wektora znając jego składowe, musimy wziąć odwrotność tangensa stosunku jego składowych:

θ = \tan^{- 1} (\frac{b}{a})

Wynika to ze z własności trygonometrycznych trójkąta prostokątnego, utworzonego między wektorem a osią

O X

Przykład 1: $I$ ‍ ćwiartka

Znajdźmy kierunek

(3, 4)

\tan^{- 1} (\frac{4}{3}) \approx 53^{\circ}

Przykład 2: $IV$ ‍ ćwiartka

Znajdźmy kierunek

(3, - 4)

\tan^{- 1} (\frac{- 4}{3}) \approx - 53^{\circ}

Kalkulator zwrócił nam kąt ujemny, ale zwykle używa się dodatnich wartości na kierunek wektora, dlatego musimy dodać

360^{\circ}

- 53^{\circ} + 360^{\circ} = 307^{\circ}

Przykład 3: $III$ ‍ ćwiartka

Znajdźmy kierunek

(- 3, 4)

. Najpierw, zauważ że

(- 3, 4)

leży w

II

ćwiartce.

\tan^{- 1} (\frac{4}{- 3}) \approx - 53^{\circ}

- 53^{\circ}

znajduje się w

IV

ćwiartce, a nie w

II

. Musimy dodać

180^{\circ}

, aby otrzymać przeciwny kąt:

- 53^{\circ} + 180^{\circ} = 127^{\circ}

Zadanie 2.1

\vec{u} = 5 \hat{i} + 8 \hat{j}

θ =

^{\circ}

Wpisz wynik jako kąt w stopniach między $0^{\circ}$ ‍ a $360^{\circ}$ ‍ zaokrąglony do części setnych.

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Zestaw ćwiczeń 3: Obliczanie składowych znając długość i kierunek wektora

Aby obliczyć składowe wektora znając jego długość i kierunek, musimy pomnożyć długość wektora przez sinus albo cosinus kąta wyrażającego kierunek:

\vec{u} = (| | \vec{u} | | \cos (θ), | | \vec{u} | | \sin (θ))

Wynika to ze z własności trygonometrycznych trójkąta prostokątnego, utworzonego między wektorem a osią

O X

Na przykład, wektor o długości

2

i kierunku

30^{\circ}

ma następujące składowe:

(2 \cos (30^{\circ}), 2 \sin (30^{\circ})) = (\sqrt{3}, 1)

Zadanie 3.1

\vec{u} \approx (

,

)

Zaokrąglij swoją odpowiedź do części setnych.

Czy chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj tutaj.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Algebra (cały materiał)

Kurs: Algebra (cały materiał) > Rozdział 19

Co to jest długość oraz kierunek wektora?

Zestaw ćwiczeń 1: Obliczanie długości wektora ze składowych

Zestaw ćwiczeń 2: Obliczanie kierunku wektora ze składowych

Przykład 1: I‍ ćwiartka

Przykład 2: IV‍ ćwiartka

Przykład 3: III‍ ćwiartka

Zestaw ćwiczeń 3: Obliczanie składowych znając długość i kierunek wektora

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Przykład 1: $I$ ‍ ćwiartka

Przykład 2: $IV$ ‍ ćwiartka

Przykład 3: $III$ ‍ ćwiartka