Dlaczego robimy to samo po obu stronach: Zmienne po obu stronach

No dobrze, tym razem mamy bardzo ciekawą sytuację. Tajemnicze przedmioty leżą na obu szalkach wagi. Wszystkie mają nieznaną masę równą „y”. To nie musi być „y”. Mogłem tu wpisać dowolny symbol, byle konsekwentnie. Wszystkie te przedmioty ważą tyle samo, dlatego mają „y”. Są tu też odważniki o wadze 1 kg. Znajdują się na obu szalkach wagi. Za chwilę krok po kroku dojdziemy do tego, ile waży tajemniczy przedmiot. Najpierw jednak chcę, żebyście sami się zastanowili jak to zapisać matematycznie. Czy za pomocą kilku matematycznych symboli da się opisać sytuację na wadze. Po lewej są 3 „y” i 3 odważniki a ich łączna masa równoważy ten 1 „y” i – niech policzę – 7 odważników na prawej szalce. Dam wam kilka sekund. Pomyślmy, jaka tu jest łączna masa. Mamy 3 przedmioty o masie „y” których łączna masa to 3y oraz 3 odważniki o masie 1 kg których łączna masa to 3 kg. Na prawej szalce leży 1 przedmiot o masie „y” więc piszę: y… Mógłbym napisać „1y”, ale nie ma potrzeby, bo to jest to samo, co „y”. Na prawej mamy zatem y i 7… 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7… Tak, 7 odważników. Po prawej mamy więc y + 7 kg. I waga jest w równowadze. Ta łączna masa jest równa tej łącznej masie. Możemy więc postawić tu znak równości. To dobry początek. Udało nam się zapisać tę z życia wziętą sytuację… Kiedyś ludzie często musieli ustalać, ile ważą różne rzeczy na przykład u jubilera i miewali tego typu sytuacje. Udało nam się zapisać ją matematycznie. Kolejny krok to… Co teraz logicznie powinniśmy zrobić? W jaki sposób to uprościć? Znów dam wam kilka sekund na zastanowienie. W matematyce fajne jest to, że można dotrzeć do celu różnymi drogami. Ktoś mógłby uznać, że dobrze byłoby usunąć po 3 odważniki z każdej szalki. I słusznie. Ktoś inny mógłby usunąć po jednym „y” z obu szalek. To także dobre posunięcie. Kolejność jest dowolna, wystarczy się zdecydować. Przyjmijmy, że najpierw chcemy usunąć… „y” z obu szalek wagi. Wtedy wszystkie „y” będą znajdować się na jednej szalce. Aby wszystkie „y” znalazły się po jednej stronie należy odjąć po jednym „y” od obu stron. Gdybyśmy odjęli tylko od jednej, waga by się przechyliła. Aby pozostała w równowadze, musimy odjąć od obu naraz. Zatem odejmuję jedno „y”… Zdejmuję po jednym przedmiocie „y” z każdej z szalek. Jak to wygląda w zapisie matematycznym? Usuwam „y” z obu szalek, czyli odejmuję „y” od lewej strony… i to samo od prawej strony równania. To właśnie zrobiłem: usunąłem przedmiot o masie „y”. Nie wiem, ile „y” waży, ale usunąłem po jednym z każdej szalki. Zatem po lewej stronie… Co nam zostało po lewej? Widać to w równaniu, ale wystarczy spojrzeć na wagę. Jeśli mam 3 sztuki czegoś i oddam 1 sztukę to zostaną mi 2 sztuki tego czegoś. Więc zostaje mi 2y. Tu to widać: miałem 3, oddałem 1, zostały 2. I są tu wciąż 3 odważniki. Wciąż są tu 3 żółte odważniki. Po prawej miałem jeden „y” i oddałem go, więc nie mam już „y”. Widać to tutaj. I wciąż mam 7 odważników. Wciąż mam tu 7 żółtych odważników. Ponieważ zabrałem dokładnie tę samą masę z obu szalek waga jest w równowadze. Była w równowadze, odjąłem tę samą masę z obu stron więc wciąż jest w równowadze. Możemy postawić znak równości. Teraz pozostaje zrobić to samo, co pokazywałem w poprzednim odcinku. Ale mimo to spytam was: Co trzeba zrobić w tym momencie aby bardziej to uprościć? A dokładniej: co zrobić, aby po lewej stronie równania pozostały same „y”? Dam wam kilka sekund na zastanowienie. Aby po lewej stronie pozostało nam wyłącznie to „2y” musimy pozbyć się tej 3, czyli tych 3 odważników. Jak to zrobić? Zdejmujemy 3 z lewej szalki. Ale wtedy waga przestanie być w równowadze dlatego to samo musimy zrobić po prawej: zdjąć 3 odważniki. Odejmujemy zatem 3 od lewej i odejmujemy 3 od prawej. Teraz po lewej stronie… zostają nam tylko te 2 przedmioty o masie „y”. Ich łączna masa to 2y. 3 odjąć 3 to 0 Widać to tu: tylko 2 „y” na lewej szalce. A z prawej zdjęliśmy 3 odważniki, więc zostały 4. Po prawej zostało 4. Widać, że 2 „y” ważą tyle samo, co 4 kg. Robiliśmy to samo po obu stronach, więc waga jest w równowadze. Rozwiążmy to do końca. Na pewno już znacie wynik, bo jeśli 2 razy coś równa się 4 to jest to oczywiste. Ale trzymajmy się metody postępowania i pomyślmy. 2 razy coś równoważy ileś. Może by więc pomnożyć obie strony przez 2? Przepraszam: pomnożyć obie strony przez ½? Albo podzielić obie strony przez 2. Jeśli pomnożę to przez ½, czyli zdejmę połowę obciążenia z tej szalki albo pozostawię połowę obciążenia wtedy tu zostanie mi jeden przedmiot… a żeby stąd usunąć połowę obciążenia, muszę zdjąć 2 odważniki. To, co zrobiłem, odpowiada pomnożeniu obu stron przez ½ albo, jeśli spojrzeć inaczej, podzieleniu obu stron przez 2. Po lewej stronie pozostał sam przedmiot o masie „y” a po prawej pozostała łączna masa równa 4 ÷ 2, czyli 2. Mogę postawić znak równości, bo waga wciąż jest w równowadze. Bo robiłem to samo po obu stronach. Zostawiłem połowę masy na lewej i połowę masy na prawej szalce. Waga była w równowadze, odjąłem po tyle samo, więc wciąż jest równa. I gotowe. Rozwiązaliśmy problem niełatwy do rozwiązania. W każdym razie na taki wyglądał. Ustaliliśmy, że tajemniczy przedmiot waży 2 kg. Możemy to zweryfikować – i to jest fajne w matematyce. Po uzyskaniu wyniku można wrócić na początek i sprawdzić, czy po podstawieniu tego wyniku wszystko ma sens. Zróbmy to: sprawdźmy, czy wynik ma sens w początkowej sytuacji. Jak to zrobić? Skoro wiemy już, że przedmiot „y” waży 2 kg obliczcie łączną masę na każdej z szalek. Policzmy. Tu są 2 kg… Napiszę na tym. Tu są 2 kg… Na purpurowo. Tu są 2… tu są 2… i tu są 2… w sumie 6 kg, dodać te 3 to 9 kg na lewej szalce. A na prawej mamy te 7, plus te 2, to razem 9 kg. Dlatego waga była w równowadze. Na każdej szalce leżało po 9 kg.