Wprowadzenie do czynników (dzielników) i podzielności

Naucz się co to znaczy, że wielomiany są czynnikami innych wielomianów lub że są przez nie podzielne.

Co powinnaś/powinieneś wiedzieć, aby skorzystać z tej lekcji

Jednomian to wyrażenie składające się z iloczynu stałej i nieujemnej potęgi xx, np. 3x23x^2. Wielomian jest sumą jednomianów, np. 3x2+6x13x^2+6x-1.

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tej lekcji zbadany związek pomiędzy czynnikami i podzielnością wielomianów i nauczymy się sprawdzać, czy jeden wielomian jest dzielnikiem drugiego.

Czynniki (dzielniki) i podzielność liczb całkowitych

Ogólnie rzecz biorąc, dwie liczby całkowite, których iloczyn daje trzecią liczbę nazywamy czynnikami tej liczby
Na przykład, skoro 14=27{14}=2\cdot 7, mówimy, że 22 i 77czynnikami liczby 14{14}.
Liczba całkowita jest podzielna przez inną liczbę całkowitą, jeśli wynikiem dzielenia jest także liczba całkowita.
Na przykład, skoro 153=5\dfrac{{15}}{3}=5 i 155=3\dfrac{{15}}{5}=3, mówimy, że 15{15} dzieli się przez 33 i przez 55. Z drugiej strony, skoro 94=2,25\dfrac{9}{4}=2{,}25, mówimy, że 99 nie dzieli się przez 44.
Zauważ bliski związek pomiędzy rozkładem liczby na czynniki a jej podzielnością:

Z tego, że 14=27\goldD{14}=\blueD{2}\cdot7 (co oznacza, że 22 jest czynnikiem liczby 1414), wyciągamy wniosek, że 142=7\dfrac{\goldD{14}}{\blueD2}=7 (co znaczy, że 1414 dzieli się przez 22).
W drugą stronę, z tego, że 153=5\dfrac{\goldD{15}}{\blueD3}=5 (co oznacza, że 1515 dzieli się przez 33), wnioskujemy, że 15=35\goldD{15}=\blueD3\cdot 5 (co znaczy, że 33 jest czynnikiem 1515).
Tak jest zawsze: jeśli aa jest czynnikiem bb, to bb dzieli się przez aa, i na odwrót.

Czynniki (dzielniki) i podzielność wielomianów

W podobny sposób możemy powiązać czynniki i podzielność wielomianów.
Kiedy pomnożymy dwa lub więcej wielomianów przez siebie, każdy z tych wielomianów będzie czynnikiem wyniku mnożenia.
Na przykład, mamy 2x(x+3)=2x2+6x{2x}({x+3})={2x^2+6x}. To oznacza, że 2x{2x} oraz x+3{x+3} są czynnikami 2x2+6x{2x^2+6x}.
Mówimy, że jeden wielomian dzieli się przez inny wielomian, jeśli iloraz jest także wielomianem.
Na przykład, skoro 6x23x=2x\dfrac{6x^2}{3x}=2x i skoro 6x22x=3x\dfrac{6x^2}{2x}=3x, to znaczy, że 6x26x^2 dzieli się przez 3x3x i przez 2x2x. Z drugiej strony, skoro 4x2x2=2x\dfrac{4x}{2x^2}=\dfrac{2}{x}, a więc wynik nie jest wielomianem, to znaczy, że 4x4x nie dzieli się przez 2x22x^2.
Ten sam związek pomiędzy rozkładem na czynniki i podzielnością, który zaobserwowaliśmy w przypadku liczb całkowitych, można zauważyć także w przypadku wielomianów.
Ogólnie mówiąc, z tego, że p=qrp=q\cdot r dla pewnych wielomianów pp, qq, oraz rr, wynika:
  • qq i rr są czynnikami pp.
  • pp dzieli się przez qq oraz rr.

Sprawdź, czy rozumiesz

Wyznaczanie czynników i rozstrzyganie o podzielności

Przykład 1: Czy 24x424x^4 dzieli się przez 8x38x^3?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy obliczyć i uprościć 24x48x3\dfrac{24x^4}{8x^3}. Jeśli wynik jest wielomianem, to 24x424x^4 jest podzielne przez 8x38x^3. Jeśli wynik nie jest wielomianem, to 24x424x^4 jest podzielne przez 8x38x^3.
24x48x3=248x4x3=3x1aman=amn=3x\begin{aligned}\dfrac{24x^4}{8x^3}&=\dfrac{24}{8}\cdot\dfrac{x^4}{x^3}\\ \\ &=3\cdot x^1&&\small{\gray{\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}}\\ \\ &=3x \end{aligned}
Wynik dzielenia jest wielomianem, a zatem 24x424x^4 dzieli się przez 8x38x^3. (Z tego wynika także, że 8x38x^3 jest czynnikiem 24x424x^4.)

Przykład 2: Czy 4x64x^6 jest czynnikiem 32x332x^3?

Jeśli 4x64x^6 jest czynnikiem 32x332x^3, to jednocześnie 32x332x^3 dzieli się przez 4x64x^6. A zatem, obliczmy i uprośćmy 32x34x6\dfrac{32x^3}{4x^6}.
32x34x6=324x3x6=8x3aman=amn=81x3am=1am=8x3\begin{aligned}\dfrac{32x^3}{4x^6}&=\dfrac{32}{4}\cdot\dfrac{x^3}{x^6}\\ \\ &=8\cdot x^{-3}&&\small{\gray{\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}}\\ \\ &=8\cdot \dfrac{1}{x^3}&&\small{\gray{a^{-m}=\dfrac{1}{a^m}}}\\ \\ &=\dfrac{8}{x^3} \end{aligned}
Zauważ, że 8x3\dfrac{8}{x^3} nie jest wielomianem, ponieważ jest to iloraz, a nie iloczyn. A zatem wnioskujemy, że 4x64x^6 nie jest czynnikiem 32x332x^3.

Podsumowanie

Ogólnie rzecz biorąc, aby ustalić, czy dany wielomian pp jest podzielny przez inny wielomian qq, lub równoważnie, czy qq jest czynnikiem pp, powinniśmy wyznaczyć i przeanalizować p(x)q(x)\dfrac{p(x)}{q(x)} .
Jeśli po uproszczeniu wynik jest wielomianem, to pp dzieli się przez qq, a także qq jest czynnikiem pp.

Sprawdź, czy rozumiesz

Zadania sprawdzające

Dlaczego w ogóle interesujemy się rozkładem wielomianów na czynniki?

Dokładnie tak samo, jak w przypadku rozkładu na czynniki liczb całkowitych, rozkład wielomianów na czynniki ma wiele praktycznych zastosowań!
Na przykład, rozkład wielomianów na czynniki pomaga rozwiązywać równania kwadratowe i upraszczać wyrażenia wymierne.
Jeśli chcesz zobaczyć, jak to działa - zajrzyj tutaj:

Co dalej?

W następnym kroku dowiesz się, jak rozkładać na czynniki jednomiany: kolejny artykuł.
Ładowanie