Rozwiązywanie równań kwadratowych przez wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego

Naucz się rozwiązywać równania kwadratowe takie jak x^2=36 lub (x-2)^2=49.

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Czego nauczysz się w tej lekcji

Dotychczas rozwiązywałaś/eś równania liniowe, które zawierały wyrazy stałe - czyli liczby - i wyrazy ze zmienną podniesioną do pierwszej potęgi, x, start superscript, 1, end superscript, equals, x.
Teraz nauczysz się, jak rozwiązywać równania kwadratowe, które zawierają wyrażenia ze zmienną podniesioną do drugiej potęgi, czyli x, start superscript, 2, end superscript.
Oto kilka przykładów równań kwadratowych, które nauczysz się rozwiązywać:
x, start superscript, 2, end superscript, equals, 36
left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, equals, 49
Może być dla Ciebie mylące to, że równanie nie zawiera członu x, start superscript, 2, end superscript. Zawiera ono jednak człon left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, czyli wyrażenie zawierające x, które jest podniesione do drugiej potęgi.
Jeśli nie czujesz się przekonany, możesz rozwinąć część wyrażenia znajdującą się w nawiasie i zobaczyć, co otrzymasz.
(x2)2=49x24x+4=49\begin{aligned}(x-2)^2&=49\\\\ x^2-4x+4&=49\end{aligned}
To wyrażenie zawiera x, start superscript, 2, end superscript, a więc niewątpliwie jest ono równaniem kwadratowym.
2, x, start superscript, 2, end superscript, plus, 3, equals, 131
Przejdźmy do meritum.

Rozwiązywanie równań w rodzaju x, start superscript, 2, end superscript, equals, 36

Załóżmy, że chcemy rozwiązać równanie x, start superscript, 2, end superscript, equals, 36. Spróbujmy najpierw przedstawić własnymi słowami, o co pyta nas to równanie. Pyta o to, jaka liczba, pomnożona przez siebie, da w wyniku 36.
Jeśli to pytanie coś Ci przypomina, to dlatego, że jest to definicja pierwiastka kwadratowego z 36, który w notacji matematycznej zapisujemy jako square root of, 36, end square root.
Kompletne rozwiązanie tego równania wygląda tak:
x2=36x2=±36Spierwiastkuj.x=±6\begin{aligned}x^2&=36\\\\ \sqrt{x^2}&=\pm\sqrt{36}&&\text{Spierwiastkuj.}\\\\ x&=\pm 6\end{aligned}
Prześledźmy, co wydarzyło się w tym rozwiązaniu.

Co oznacza znak plus minus ?

Zauważ, że każda liczba dodatnia ma dwa pierwiastki: pierwiastek dodatni oraz pierwiastek ujemny. Na przykład, kwadrat liczby 6 jest równy kwadratowi liczby minus, 6, czyli 36. Oznacza to, że równanie x, start superscript, 2, end superscript, equals, 36 ma dwa rozwiązania.
Znak plus minus jest wygodnym sposobem matematycznego przedstawienia tego faktu. Na przykład, plus minus, 6 oznacza "albo 6, albo minus, 6".

Uwaga na temat działań odwrotnych

Przy rozwiązywaniu równań liniowych znajdowaliśmy zmienną poprzez użycie transformacji odwrotnych: jeżeli zmienna była powiększona o 3, odejmowaliśmy 3 od obu stron równania, z kolei jeżeli zmienna była pomnożona przez 4, dzieliliśmy obie strony równania przez 4.
Operacją odwrotną do podnoszenia do drugiej potęgi jest pierwiastkowanie. Jednakże, w przeciwieństwie do innych operacji, przy pierwiastkowaniu musimy uwzględnić oba pierwiastki: dodatni oraz ujemny.
Rozwiąż teraz samemu kilka podobnych równań.
Rozwiąż równanie x, start superscript, 2, end superscript, equals, 16.
x, equals, plus minus
  • Twoją odpowiedzią powinno być
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, p, i lub 2, slash, 3, space, p, i

x2=16x2=±16Spierwiastkuj.x=±4\begin{aligned}x^2&=16\\\\ \sqrt{x^2}&=\pm\sqrt{16}&&\text{Spierwiastkuj.}\\\\ x&=\pm 4\end{aligned}
Rozwiąż równanie x, start superscript, 2, end superscript, equals, 81.
x, equals, plus minus
  • Twoją odpowiedzią powinno być
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, p, i lub 2, slash, 3, space, p, i

x2=81x2=±81Spierwiastkuj.x=±9\begin{aligned}x^2&=81\\\\ \sqrt{x^2}&=\pm\sqrt{81}&&\text{Spierwiastkuj.}\\\\ x&=\pm 9\end{aligned}
Rozwiąż x, start superscript, 2, end superscript, equals, 5.
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

x2=5x2=±5Spierwiastkuj.x=±5\begin{aligned}x^2&=5\\\\ \sqrt{x^2}&=\pm\sqrt{5}&&\text{Spierwiastkuj.}\\\\ x&=\pm \sqrt{5}\end{aligned}
Liczba 5 nie jest kwadratem liczby wymiernej, a więc jej pierwiastek nie jest liczbą wymierną. Z tego powodu pierwiastek z liczby 5 zapisujemy po prostu jako square root of, 5, end square root.

Rozwiązywanie równań w rodzaju left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, equals, 49

Tak rozwiązuje się równanie left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, equals, 49:
(x2)2=49(x2)2=±49Spierwiastkuj.x2=±7x=±7+2Dodaj 2.\begin{aligned}(x-2)^2&=49\\\\ \sqrt{(x-2)^2}&=\pm\sqrt{49}&&\text{Spierwiastkuj.}\\\\ x-2&=\pm 7\\\\ x&=\pm 7+2&&\text{Dodaj 2.}\end{aligned}
Rozwiązaniami są więc x, equals, 9 oraz x, equals, minus, 5.
Prześledźmy, co wydarzyło się w tym rozwiązaniu.

Znajdowanie x

Używając operacji odwrotnej do pierwiastkowania, pozbyliśmy się znaku pierwiastka. Był to ważny krok w drodze do wyłączenia x, jednakże nadal musieliśmy dodać 2 w ostatnim kroku, aby ostatecznie wyłączyć x.

Interpretacja rozwiązań

Nasze rozwiązanie zakończyło się zapisaniem wzoru x, equals, plus minus, 7, plus, 2. Jak rozumieć to wyrażenie? Pamiętaj, że plus minus, 7 oznacza "albo plus, 7, albo minus, 7". Z tego powodu musimy rozbić nasze rozwiązanie na dwa przypadki: albo x, equals, 7, plus, 2, albo x, equals, minus, 7, plus, 2.
Rozwiązaniami są x, equals, 9 i x, equals, minus, 5.
W celu dokonania sprawdzenia, musimy wstawić nasze rozwiązania do równania.
start color blueD, x, end color blueD, equals, start color blueD, 9, end color blueDspace, start color blueD, x, end color blueD, equals, start color blueD, minus, 5, end color blueD
(92)2=?4972=?4949=49\begin{aligned}(\blueD{9}-2)^2&\stackrel{?}{=}49\\\\7^2&\stackrel{?}{=}49\\\\49&\stackrel{\checkmark}{=}49\end{aligned}(52)2=?49(7)2=?4949=49\qquad\begin{aligned}(\blueD{-5}-2)^2&\stackrel{?}{=}49\\\\(-7)^2&\stackrel{?}{=}49\\\\49&\stackrel{\checkmark}{=}49\end{aligned}
W obu przypadkach wstawienie rozwiązania do równania dawało w wyniku tożsamość, a więc rzeczywiście są to rozwiązania tego równania.
Rozwiąż teraz samemu kilka podobnych równań.
Rozwiąż równanie left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, equals, 25.
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

(x+3)2=25(x+3)2=±25Spierwiastkuj.x+3=±5x=±53Odejmij 3.\begin{aligned}(x+3)^2&=25\\\\ \sqrt{(x+3)^2}&=\pm\sqrt{25}&&\text{Spierwiastkuj.}\\\\ x+3&=\pm 5\\\\ x&=\pm 5-3&&\text{Odejmij 3.}\end{aligned}
x=53x=53x=2x=8\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x&=5-3&x&=-5-3\\\\ x&=2&x&=-8\end{aligned}
Podsumowując, rozwiązaniami są x, equals, 2 i x, equals, minus, 8.
Rozwiąż równanie left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, equals, 9.
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

(2x1)2=9(2x1)2=±9Spierwiastkuj.2x1=±32x=±3+1Dodaj 1.x=±3+12Podziel przez 2.\begin{aligned}(2x-1)^2&=9\\\\ \sqrt{(2x-1)^2}&=\pm\sqrt{9}&&\text{Spierwiastkuj.}\\\\ 2x-1&=\pm 3\\\\ 2x&=\pm 3+1&&\text{Dodaj 1.}\\\\ x&=\dfrac{\pm 3+1}{2}&&\text{Podziel przez 2.}\end{aligned}
x=3+12x=3+12x=2x=1\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x&=\dfrac{3+1}{2}&x&=\dfrac{-3+1}{2}\\\\\\ x&=2&x&=-1\end{aligned}
Otrzymujemy, że rozwiązaniami są x, equals, 2 oraz x, equals, minus, 1.
Rozwiąż równanie left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, equals, 7.
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

(x5)2=7(x5)2=±7Spierwiastkuj.x5=±7x=±7+5Dodaj 5.\begin{aligned}(x-5)^2&=7\\\\ \sqrt{(x-5)^2}&=\pm\sqrt{7}&&\text{Spierwiastkuj.}\\\\ x-5&=\pm \sqrt{7}\\\\ x&=\pm \sqrt{7}+5&&\text{Dodaj 5.}\end{aligned}
x=7+5x=7+5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x&=\sqrt{7}+5&x&=-\sqrt{7}+5\end{aligned}
Skoro 7 nie jest kwadratem liczby wymiernej, to pierwiastek z 7 nie jest liczbą wymierną. Z tego powodu zapisujemy go po prostu jako square root of, 7, end square root.
Rozwiązaniami są więc x, equals, square root of, 7, end square root, plus, 5 i x, equals, minus, square root of, 7, end square root, plus, 5.

Dlaczego nie powinniśmy opuszczać nawiasów?

Wróćmy do naszego przykładowego równania left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, equals, 49. Przypuśćmy, że chcemy opuścić nawiasy. W końcu tak czynimy w równaniach liniowych, nieprawdaż?
Opuszczenie nawiasów daje nam w efekcie następujące równanie:
x, start superscript, 2, end superscript, minus, 4, x, plus, 4, equals, 49
Gdybyśmy chcieli spierwiastkować obie strony równania, musielibyśmy wziąć pierwiastek z x. Otrzymalibyśmy wtedy square root of, x, end square root, co nie jest zbytnio pomocne.
Z drugiej strony, pierwiastkowanie wyrażeń postaci x, start superscript, 2, end superscript lub left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript daje nam wyrażenia typu x lub left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis.
Pozostawianie wyrażeń z x w nawiasie jest zatem całkiem przydatne, gdyż wtedy możemy wziąć pierwiastek i otrzymać "łatwy" wynik.

Rozwiązywanie równań w rodzaju 2, x, start superscript, 2, end superscript, plus, 3, equals, 131

Nie wszystkie równania kwadratowe da się rozwiązać dokonując prostego pierwiastkowania. Czasem, zanim spierwiastkujemy, musimy wyizolować człon kwadratowy .
Na przykład, aby rozwiązać równanie 2, x, start superscript, 2, end superscript, plus, 3, equals, 131, musimy najpierw wyłączyć x, start superscript, 2, end superscript. Robimy to dokładnie tak samo, jak wyłączając wyraz x w równaniu liniowym.
2x2+3=1312x2=128Odejmij 3.x2=64Podziel przez 2.x2=±64Spierwiastkuj.x=±8\begin{aligned}2x^2+3&=131\\\\ 2x^2&=128&&\text{Odejmij 3.}\\\\ x^2&=64&&\text{Podziel przez 2.}\\\\ \sqrt{x^2}&=\pm\sqrt{64}&&\text{Spierwiastkuj.}\\\\ x&=\pm 8\end{aligned}
Rozwiąż teraz samemu kilka podobnych równań.
Rozwiąż równanie 3, x, start superscript, 2, end superscript, minus, 7, equals, 5.
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

3x27=53x2=12Dodaj 7.x2=4Podziel przez 3.x2=±4Spierwiastkuj.x=±2\begin{aligned}3x^2-7&=5\\\\ 3x^2&=12&&\text{Dodaj 7.}\\\\ x^2&=4&&\text{Podziel przez 3.}\\\\ \sqrt{x^2}&=\pm\sqrt{4}&&\text{Spierwiastkuj.}\\\\ x&=\pm 2\end{aligned}
Rozwiąż równanie 4, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, plus, 2, equals, 38.
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

4(x1)2+2=384(x1)2=36Odejmij 2.(x1)2=9Podziel przez 4.(x1)2=±9Spierwiastkuj.x1=±3x=±3+1Dodaj 1.\begin{aligned}4(x-1)^2+2&=38\\\\ 4(x-1)^2&=36&&\text{Odejmij 2.}\\\\ (x-1)^2&=9&&\text{Podziel przez 4.}\\\\ \sqrt{(x-1)^2}&=\pm\sqrt{9}&&\text{Spierwiastkuj.}\\\\ x-1&=\pm 3\\\\ x&=\pm 3+1&&\text{Dodaj 1.}\end{aligned}
x=3+1x=3+1x=4x=2\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x&=3+1&x&=-3+1\\\\ x&=4&x&=-2\end{aligned}
Rozwiązaniami są więc x, equals, 4 i x, equals, minus, 2.

Wyzwanie

Rozwiąż równanie x, start superscript, 2, end superscript, plus, 8, x, plus, 16, equals, 9.
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Rozpoczęcie rozwiązywania od wyciągnięcia pierwiastka nie będzie w tym przypadku zbyt owocne.
Zamiast tego musimy zauważyć coś ważnego: wyrażenie x, start superscript, 2, end superscript, plus, 8, x, plus, 16 jest liczbą kwadratową: left parenthesis, x, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, plus, 2, left parenthesis, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, left parenthesis, 4, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript.
Możemy więc zapisać to wyrażenie jako left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript i przepisać nasze równanie w następujący sposób:
(x+4)2=9(x+4)2=±9Spierwiastkuj.x+4=±3x=±34Odejmij 4.\begin{aligned}(x+4)^2&=9\\\\ \sqrt{(x+4)^2}&=\pm\sqrt{9}&&\text{Spierwiastkuj.}\\\\ x+4&=\pm 3\\\\ x&=\pm 3-4&&\text{Odejmij 4.}\end{aligned}
x=34x=34x=1x=7\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x&=3-4&x&=-3-4\\\\ x&=-1&x&=-7\end{aligned}
Rozwiązaniami są więc x, equals, minus, 1 i x, equals, minus, 7.