Przegląd ciągów arytmetycznych i różnych zadań je zawierających.

O ciągach arytmetycznych

W szeregach arytmetycznych różnica pomiędzy dwoma kolejnymi wyrazami jest zawsze taka sama. Różnicę tę nazywamy różnicą szeregu arytmetycznego.
Na przykład, w przypadku tego szeregu różnica wynosi 22:
+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}
3,3,5,5,7,7,9,...9,...
Wzory na szereg arytmetyczny opisują a(n)a(n), czyli nn^{\text{}}-ty wyraz szeregu.
To jest jawny wzór na wyrazy szeregu arytmetycznego, którego pierwszy wyraz wynosi k\blueD k, a różnica równa się d\maroonC d:
a(n)=k+(n1)da(n)=\blueD k+(n-1)\maroonC d
A to jest wzór rekurencyjny dla tego samego ciągu:
{a(1)=ka(n)=a(n1)+d\begin{cases}a(1) = \blueD k \\\\ a(n) = a(n-1)+\maroonC d \end{cases}
Chcesz wiedzieć więcej o szeregach arytmetycznych? Obejrzyj ten film.

Znajdowanie kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego

Załóżmy, że chcemy uzupełnić szereg 3,8,13,...3,8,13,.... Każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie +5\maroonC{+5} do poprzedniego wyrazu:
+5\maroonC{+5\,\Large\curvearrowright}+5\maroonC{+5\,\Large\curvearrowright}+5\maroonC{+5\,\Large\curvearrowright}
3,3,8,8,13,...13,...
A więc wystarczy dodać różnicę ciągu do ostatniego znanego wyrazu, aby przekonać się, że następny wyraz wynosi 1818:
+5\maroonC{+5\,\Large\curvearrowright}+5\maroonC{+5\,\Large\curvearrowright}+5\maroonC{+5\,\Large\curvearrowright}
3,3,8,8,13,13,18,...18,...
Zadanie 1
Jaki jest kolejny wyraz ciągu 5,1,3,7,-5,-1,3,7, \ldots?
  • Twoją odpowiedzią powinno być
  • liczba całkowita, taka jak 66
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/53/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/47/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/41\ 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,750{,}75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi12\ \text{pi} lub 2/3 pi2/3\ \text{pi}

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Znajdowanie wzorów rekurencyjnych

Wyobraźmy sobie teraz, że chcemy zapisać szereg 3,8,13,...3,8,13,... w postaci rekurencyjnej. Wiemy już, że różnica szeregu wynosi +5\maroonC{+5}. Wiemy także, że pierwszy wyraz równa się 3\blueD3. A zatem, wzór rekurencyjny dla tego szeregu wygląda następująco:
{a(1)=3a(n)=a(n1)+5\begin{cases}a(1) = \blueD 3 \\\\ a(n) = a(n-1)\maroonC{+5} \end{cases}
Zadanie 1
Znajdź kk i dd w poniższej postaci rekurencyjnej ciągu 5,1,3,7,-5,-1,3,7, \ldots.
{a(1)=ka(n)=a(n1)+d\begin{cases}a(1) = k \\\\ a(n) = a(n-1)+d \end{cases}
k=k=
  • Twoją odpowiedzią powinno być
  • liczba całkowita, taka jak 66
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/53/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/47/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/41\ 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,750{,}75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi12\ \text{pi} lub 2/3 pi2/3\ \text{pi}
d=d=
  • Twoją odpowiedzią powinno być
  • liczba całkowita, taka jak 66
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/53/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/47/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/41\ 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,750{,}75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi12\ \text{pi} lub 2/3 pi2/3\ \text{pi}

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Znajdowanie wzorów jawnych

Załóżmy, że chcemy zapisać szereg 3,8,13,...3,8,13,... w jawnej postaci. Wiemy już, że różnica tego szeregu wynosi +5\maroonC{+5} i że pierwszy wyraz równa się 3\blueD{3}. A zatem, jawny wzór dla tego szeregu wygląda następująco:
a(n)=3+5(n1)a(n)=\blueD3\maroonC{+5}(n-1)
Zadanie 1
Zapisz wzór jawny ciągu 5,1,3,7,-5,-1,3,7, \ldots
a(n)=a(n)=

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.
Ładowanie