Zamiana rekurencyjnej i jawnej postaci wzoru ciągu arytmetycznego

Naucz się zamiany postaci rekurencyjnej na jawną i odwrotnie, dla ciągów arytmetycznych.
Zanim przystąpisz do tej lekcji, upewnij się, że wiesz, jak znaleźć wzór rekurencyjny oraz wzór jawny ciągu arytmetycznego.

Przechodzenie od postaci rekurencyjnej ciągu arytmetycznego do postaci jawnej

Ciąg arytmetyczny ma następujący wzór rekurencyjny.
{a(1)=3a(n)=a(n1)+2\begin{cases} a(1)=\greenE 3 \\\\ a(n)=a(n-1)\maroonC{+2} \end{cases}
Przypominamy, że wzór ten daje nam dwie podstawowe informacje:
  • Pierwszym wyrazem jest 3\greenE 3
  • Aby otrzymać dowolny wyraz z poprzedniego, należy dodać 2\maroonC 2. Innymi słowy, różnicą tego ciągu jest 2\maroonC 2.
Znajdźmy wzór jawny ciągu.
Pamiętaj, że możemy reprezentować ciąg, którego pierwszy wyrazem jest A\greenE A a różnicą B\maroonC B poprzez jego wzór jawny A+B(n1)\greenE A+\maroonC B(n-1).
Oznacza to, że wzorem jawnym ciągu jest a(n)=3+2(n1)a(n)=\greenE{3}\maroonC{+2}(n-1).

Sprawdź, czy rozumiesz

Przechodzenie od jawnej postaci ciągu arytmetycznego do postać rekurencyjnej

Przykład 1: Wzór w postaci standardowej

Mamy dany następujący wzór jawny ciągu arytmetycznego.
d(n)=5+16(n1)d(n)=\greenE 5\maroonC{+16}(n-1)
Wzór ten jest podany w postaci standardowej A+B(n1)\greenE A+ \maroonC B(n-1), dla której A\greenE A jest wyrazem początkowym a różnicą jest B\maroonC B. Wynika z tego, że
  • pierwszym wyrazem ciągu jest 5\greenE 5, a
  • różnicą jest 16\maroonC{16}.
Znajdźmy wzór rekurencyjny tego ciągu. Przypominamy, że wzór rekurencyjny daje nam dwie podstawowe informacje:
  1. Pierwszy wyraz ((o którym wiemy, że wynosi 5)\greenE 5)
  2. Regułą otrzymywania danego wyrazu za pomocą wyrazu go poprzedzającego ((o której wiemy, że wyraża się jako "dodaj 16\maroonC{16}"))
Mamy więc następujący wzór rekurencyjny ciągu.
{d(1)=5d(n)=d(n1)+16\begin{cases} d(1)=\greenE 5\\\\ d(n)=d(n-1)\maroonC{+16} \end{cases}

Przykład 1: Wzór w postaci uproszczonej

Mamy dany następujący wzór jawny ciągu arytmetycznego.
e(n)=10+2ne(n)=10+2n
Zauważ, że ten wzór nie jest podany w postaci standardowej A+B(n1)\greenE A+ \maroonC B(n-1).
Z tego powodu nie możemy, jak wcześniej, patrząc na postać wzoru odczytać pierwszego wyrazu oraz różnicy. Możemy za to znaleźć pierwsze dwa wyrazy.
  • e(1)=10+21=12e(\blueD 1)=10+2\cdot\blueD 1=12
  • e(2)=10+22=14e(\blueD 2)=10+2\cdot\blueD 2=14
Teraz już widzimy, że pierwszym wyrazem jest 12\greenE{12} a różnicą jest 2\maroonC{2}.
Mamy więc następujący wzór rekurencyjny ciągu.
{e(1)=12e(n)=e(n1)+2\begin{cases} e(1)=\greenE{12}\\\\ e(n)=e(n-1)\maroonC{+2} \end{cases}

Sprawdź, czy rozumiesz

Wyzwanie

Ładowanie