Przegląd ciągów geometrycznych i różnych zadań je zawierających.

Wzory i elementy definicji ciągu geometrycznego

W ciągach geometrycznych stosunek dwóch kolejnych wyrazów jest zawsze taki sam. Stosunek ten nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.
Na przykład, w przypadku tego ciągu iloraz wynosi 22:
×2\footnotesize\maroonC{\times 2\,\Large\curvearrowright}×2\footnotesize\maroonC{\times 2\,\Large\curvearrowright}×2\footnotesize\maroonC{\times 2\,\Large\curvearrowright}
1,1,2,2,4,4,8,...8,...
Wzory na ciąg geometryczny opisują a(n)a(n), czyli ntyn^{\text{ty}} wyraz ciągu.
To jest jawny wzór na wyrazy ciągu geometrycznego, którego pierwszy wyraz wynosi k\blueD k, a iloraz równa się r\maroonC r:
a(n)=krn1a(n)=\blueD k\cdot\maroonC r^{n-1}
A to jest wzór rekurencyjny dla tego samego ciągu:
{a(1)=ka(n)=a(n1)r\begin{cases}a(1) = \blueD k \\\\ a(n) = a(n-1)\cdot\maroonC r \end{cases}
Chcesz wiedzieć więcej o ciągach geometrycznych? Obejrzyj ten film.

Uzupełnianie szeregów geometrycznych

Załóżmy, że chcemy uzupełnić ciąg 54,18,6,...54,18,6,.... Każdy kolejny wyraz wynosi ×13\maroonC{\times\dfrac{1}{3}} poprzedniego wyrazu:
×13\maroonC{\times\dfrac{1}{3}\,\Large\curvearrowright}×13\maroonC{\times\dfrac{1}{3}\,\Large\curvearrowright}
54,54,18,18,6,...6,...
Znając iloraz tego ciągu, łatwo obliczymy,  że następny wyraz wynosi 22:
×13\maroonC{\times\dfrac{1}{3}\,\Large\curvearrowright}×13\maroonC{\times\dfrac{1}{3}\,\Large\curvearrowright}×13\maroonC{\times\dfrac{1}{3}\,\Large\curvearrowright}
54,54,18,18,6,6,2,...2,...
Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Znajdowanie wzorów rekurencyjnych

Wyobraźmy sobie teraz, że chcemy zapisać ciąg 54,18,6,...54,18,6,... w postaci rekurencyjnej. Wiemy już, że iloraz ciągu wynosi ×13\maroonC{\times\dfrac{1}{3}}. Wiemy także, że pierwszy wyraz równa się 54\blueD{54}. A zatem, wzór rekurencyjny dla tego ciągu wygląda następująco:
{a(1)=54a(n)=a(n1)13\begin{cases}a(1) = \blueD{54} \\\\ a(n) = a(n-1)\cdot\maroonC{\dfrac{1}{3}} \end{cases}
Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Znajdowanie wzorów jawnych

Załóżmy, że chcemy napisać wzór jawny ciągu 54,18,6,...54,18,6,... Znamy już iloraz ciągu, czyli ×13\maroonC{\times\dfrac{1}{3}}, i pierwszy wyraz, czyli 54\blueD{54}. Wzorem jawnym ciągu jest więc:
a(n)=54(13)n1a(n)=\blueD{54}\cdot\left(\maroonC{\dfrac{1}{3}}\right)^{n-1}
Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.
Ładowanie