If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Zamiana rekurencyjnej i jawnej postaci wzoru ciągu arytmetycznego

Naucz się zamiany postaci rekurencyjnej na jawną i odwrotnie, dla ciągów arytmetycznych.
Zanim przystąpisz do tej lekcji, upewnij się, że wiesz, jak znaleźć wzór rekurencyjny oraz wzór jawny ciągu arytmetycznego.

Przechodzenie od postaci rekurencyjnej ciągu arytmetycznego do postaci jawnej

Ciąg arytmetyczny ma następujący wzór rekurencyjny.
{a(1)=3a(n)=a(n1)+2
Przypominamy, że wzór ten daje nam dwie podstawowe informacje:
  • Pierwszym wyrazem jest 3
  • Aby otrzymać dowolny wyraz z poprzedniego, należy dodać 2. Innymi słowy, różnicą tego ciągu jest 2.
Znajdźmy wzór jawny ciągu.
Pamiętaj, że możemy reprezentować ciąg, którego pierwszy wyrazem jest A a różnicą B poprzez jego wzór jawny A+B(n1).
Oznacza to, że wzorem jawnym ciągu jest a(n)=3+2(n1).

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Znajdź wzór jawny ciągu.
{b(1)=22b(n)=b(n1)+7
b(n)=

2) Znajdź wzór jawny ciągu.
{c(1)=8c(n)=c(n1)13
c(n)=

Przechodzenie od jawnej postaci ciągu arytmetycznego do postać rekurencyjnej

Przykład 1: Wzór w postaci standardowej

Mamy dany następujący wzór jawny ciągu arytmetycznego.
d(n)=5+16(n1)
Wzór ten jest podany w postaci standardowej A+B(n1), dla której A jest wyrazem początkowym a różnicą jest B. Wynika z tego, że
  • pierwszym wyrazem ciągu jest 5, a
  • różnicą jest 16.
Znajdźmy wzór rekurencyjny tego ciągu. Przypominamy, że wzór rekurencyjny daje nam dwie podstawowe informacje:
  1. Pierwszy wyraz (o którym wiemy, że wynosi 5)
  2. Regułą otrzymywania danego wyrazu za pomocą wyrazu go poprzedzającego (o której wiemy, że wyraża się jako "dodaj 16")
Mamy więc następujący wzór rekurencyjny ciągu.
{d(1)=5d(n)=d(n1)+16

Przykład 1: Wzór w postaci uproszczonej

Mamy dany następujący wzór jawny ciągu arytmetycznego.
e(n)=10+2n
Zauważ, że ten wzór nie jest podany w postaci standardowej A+B(n1).
Z tego powodu nie możemy, jak wcześniej, patrząc na postać wzoru odczytać pierwszego wyrazu oraz różnicy. Możemy za to znaleźć pierwsze dwa wyrazy.
  • e(1)=10+21=12
  • e(2)=10+22=14
Teraz już widzimy, że pierwszym wyrazem jest 12 a różnicą jest 2.
Mamy więc następujący wzór rekurencyjny ciągu.
{e(1)=12e(n)=e(n1)+2

Sprawdź, czy rozumiesz

3) Wzorem jawnym ciągu arytmetycznego jest f(n)=5+12(n1).
Uzupełnij brakujące wartości we wzorze rekurencyjnym tego ciągu.
{f(1)=Af(n)=f(n1)+B
A=
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi
B=
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

4) Wzorem jawnym ciągu arytmetycznego jest g(n)=118(n1).
Uzupełnij brakujące wartości we wzorze rekurencyjnym tego ciągu.
{g(1)=Ag(n)=g(n1)+B
A=
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi
B=
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

5) Wzorem jawnym ciągu arytmetycznego jest h(n)=1+4n.
Uzupełnij brakujące wartości we wzorze rekurencyjnym tego ciągu.
{h(1)=Ah(n)=h(n1)+B
A=
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi
B=
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

6) Wzorem jawnym ciągu arytmetycznego jest i(n)=236n.
Uzupełnij brakujące wartości we wzorze rekurencyjnym tego ciągu.
{i(1)=Ai(n)=i(n1)+B
A=
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi
B=
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

Wyzwanie

7*) Zaznacz wszystkie wzory, które poprawnie reprezentują ciąg arytmetyczny 101,114,127,
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.