Metoda eliminacji to technika rozwiązywania układów równań liniowych. W tym artykule przypomnisz sobie tą technikę za pomocą przykładów i spróbujesz wypróbować ją samodzielnie.

Co to jest metoda eliminacji?

Metoda eliminacji jest jednym ze sposobów rozwiązywania układów równań liniowych. Przyjrzyjmy się kilku przykładom.

Przykład 1

Mamy do rozwiązania następujący układ równań:
2y+7x=55y7x=12\begin{aligned} 2y+7x &= -5\\\\ 5y-7x &= 12 \end{aligned}
Zauważamy, że w pierwszym równaniu występuje wyrażenie 7x7x, a w drugim wyrażenie 7x-7x. Te wyrażenia zredukują się, jeśli obydwa równania dodamy do siebie stronami. To oznacza, że niewiadoma xx zostanie wyeliminowana.
Wyznaczamy niewiadomą yy z otrzymanego równania:
7y+0=77y=7y=1\begin{aligned} 7y+0 &=7\\\\ 7y &=7\\\\ y &=\goldD{1} \end{aligned}
Podstawiając wyznaczoną wartość do pierwszego równania układu, wyznaczamy drugą niewiadomą.
2y+7x=521+7x=52+7x=57x=7x=1\begin{aligned} 2y+7x &= -5\\\\ 2\cdot \goldD{1}+7x &= -5\\\\ 2+7x&=-5\\\\ 7x&=-7\\\\ x&=\blueD{-1} \end{aligned}
Rozwiązaniem układu równań jest x=1x=\blueD{-1}, y=1y=\goldD{1}.
Możemy sprawdzić rozwiązanie, podstawiając wyznaczone wartości do równań podanego układu. Sprawdźmy drugie równanie:
5y7x=12517(1)=?125+7=12\begin{aligned} 5y-7x &= 12\\\\ 5\cdot\goldD{1}-7(\blueD{-1}) &\stackrel ?= 12\\\\ 5+7 &= 12 \end{aligned}
Tak, wyznaczone rozwiązanie spełnia to równanie.
Jeżeli nie jesteś pewny/a, dlaczego to działa, zobacz ten wprowadzający materiał filmowy zawierający dokładne wprowadzenie.

Przykład 2

Mamy do rozwiązania następujący układ równań:
9y+4x20=07y+16x80=0\begin{aligned} -9y+4x - 20&=0\\\\ -7y+16x-80&=0 \end{aligned}
Możemy pomnożyć pierwsze równanie przez 4-4, żeby uzyskać równoważne równanie, w którym występuje wyrażenie 16x\purpleD{-16x}. Otrzymujemy w ten sposób nowy (ale równoważny początkowemu!) układ równań, który wygląda następująco:
36y16x+80=07y+16x80=0\begin{aligned} 36y\purpleD{-16x}+80&=0\\\\ -7y+16x-80&=0 \end{aligned}
Dodajemy równania stronami, żeby wyeliminować niewiadomą xx:
Wyznaczamy niewiadomą yy z otrzymanego równania:
29y+00=029y=0y=0\begin{aligned} 29y+0 -0&=0 \\\\ 29y&=0 \\\\ y&=\goldD 0 \end{aligned}
Podstawiając wyznaczoną wartość do pierwszego równania układu, wyznaczamy drugą niewiadomą.
36y16x+80=036016x+80=016x+80=016x=80x=5\begin{aligned} 36y-16x+80&=0\\\\ 36\cdot 0-16x+80&=0\\\\ -16x+80&=0\\\\ -16x&=-80\\\\ x&=\blueD{5} \end{aligned}
Rozwiązaniem układu równań jest x=5x=\blueD{5}, y=0y=\goldD{0}.
Chcesz zobaczyć inny przykład zastosowania metody eliminacji do rozwiązywania niebanalnego układu równań? Obejrzyj ten film.
Ładowanie