If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Kurs: Algebra 1 > Rozdział 8

Lekcja 13: Wprowadzenie do funkcji odwrotnych
Matematyka
Algebra 1
Funkcje
Wprowadzenie do funkcji odwrotnych
© 2024 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Wprowadzenie do funkcji odwrotnych

Google Classroom
Dowiedz się co to jest odwrotność funkcji i w jaki sposób obliczać odwrotności funkcji, które są podane w tabeli lub na wykresie.
Funkcje odwrotne, w znaczeniu najbardziej ogólnym, to funkcje które mają działanie "odwrotne" do siebie.
Na przykład, tu widzimy, że funkcja f przekształca 1 w x, 2 wz, i 3 w y.
Odwrotność f, oznaczone jako f−1 (czyta się "f odwrotna"), odwróci to odwzorowanie. Funkcja f−1 przeprowadza x w 1, y w 3, i z w 2.
Pytanie do zastanowienia
Które z poniższych zdań jest prawdziwe?
Wybierz 1 odpowiedź:

Definicja funkcji odwrotnej

Ogólnie, jeśli funkcja f przeprowadza a w b, to funkcja odwrotna, f−1, przeprowadza b w a.
Stąd uzyskujemy formalną definicję na funkcję odwrotną:

f(a)=b⟺f−1(b)=a

Spójrzmy głębiej w tę definicję poprzez policzenie kilku przykładów.

Przykład 1: Diagram odwzorowania

Przypuśćmy, że funkcja h zdefiniowana jest powyższym diagramem. Ile wynosi h−1(9)?

Rozwiązanie

Mamy podaną informację o funkcji h i szukamy odpowiedzi na pytanie o funkcję h−1. Skoro funkcje odwrotne są swoimi odwrotnościami, musimy odwrócić tok naszego myślenia.
Dokładniej, aby znaleźć h−1(9), możemy znaleźć taki argument h, że po przyłożeniu do niego h otrzymamy 9. Dzieje się tak dlatego, że jeżeli h−1(9)=x, to z definicji odwrotności h(x)=9.
Z diagramu odwzorowania widzimy, że h(6)=9, a więc h−1(9)=6.

Sprawdź, czy rozumiesz

zadanie 1
g−1(3)=
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

Przykład 2: Wykres

To jest wykres funkcji g. Znajdźmy g−1(−7).

Rozwiązanie

Aby znaleźć g−1(−7), możemy znaleźć argument g odpowiadający wartości −7. Możemy to zrobić, gdyż jeżeli g−1(−7)=x, to z definicji odwrotności g(x)=−7.
Z wykresu odczytujemy, że g(−3)=−7.
Oznacza to, że g−1(−7)=−3.

Sprawdź, czy rozumiesz

Zadanie 2
Ile wynosi h−1(4)?
Wybierz 1 odpowiedź:

Wyzwanie
Wiedząc, że f(x)=3x−2, znajdź f−1(7)
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

Związek pomiędzy wykresem funkcji i wykresem funkcji odwrotnej

Powyższe przykłady pokazały nam, że istnieje algebraiczna zależność między funkcją i jej odwrotnością, ale istnieje również zależność graficzna!
Rozważmy funkcję f, gdzie podany mamy jej wykres i tabelę wartości.
   xf(x)
−214
−112
   0   1
   1   2
   2   4
Możemy odwrócić argumenty i wartości funkcji f, aby otrzymać argumenty i wartości funkcji f−1. Jeżeli więc punkt (a,b) leży na wykresie y=f(x), to (b,a) będzie punktem leżącym na wykresie y=f−1(x).
Daje nam to wykres i tabelę wartości funkcji f−1.
   xf−1(x)
14−2
12−1
   1   0
   0   1
   1   2
Patrząc na oba wykresy, widzimy, że wykres y=f(x) jest odbiciem względem linii y=x wykresu y=f−1(x).
Jest to spełnione w pełnej ogólności: wykres odwrotności danej funkcji jest odbiciem wykresu tej funkcji względem linii y=x.

Sprawdź, czy rozumiesz

Zadanie 3
To jest wykres funkcji y=h(x).
Który z poniższych może być wykresem y=h−1(x)?
Wybierz 1 odpowiedź:

Zadanie 4
Wykres y=h(x) to odcinek łączący punkty (5,1) i (2,7).
Przesuń końce poniższego żółtego odcinka tak, aby otrzymać wykres y=h−1(x).

Po co badać funkcje odwrotne?

Nasze zainteresowanie funkcjami odwrotnymi może się wydawać dość arbitralne. Nie jest to prawdą, w rzeczywistości używamy tych funkcji cały czas!
Rozważmy równanie C=59(F−32), którego można użyć, aby z temperatury w stopniach Fahrenheita, F, otrzymać odpowiadającą jej temperaturę w stopniach Celsjusza, C.
Wyobraźmy sobie, że chcielibyśmy użyć odwrotnego równania - zmieniającego temperaturę w stopniach Celsjusza na temperaturę w stopniach Fahrenheita. Opisuje to funkcja F=95C+32, czyli funkcja odwrotna do poprzedniej.
Na bardziej podstawowym poziomie, rozwiązujemy wiele równań matematycznych poprzez "wydzielanie zmiennej". Gdy wydzielamy zmienną, "cofamy" wszystko, co ją otacza. W ten sposób używamy idei funkcji odwrotnych do rozwiązywania równań.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.