If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Algebra I

Course: Algebra I > Jednostka 14

Lekcja 7: Dopełnianie do kwadratu
Matematyka
Algebra I
Funkcje i równania kwadratowe
Dopełnianie do kwadratu
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Rozwiązywanie równań kwadratowych przez dopełnienie do kwadratu

Google Classroom
Na przykład, rozwiąż równanie x²+6x=-2, przekształcając je do postaci (x+3)²=7, a następnie biorąc pierwiastek z obu stron.

Co trzeba wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Czego nauczysz się w tej lekcji

Do tej pory rozwiązywaliśmy równania kwadratowe poprzez wyciąganie pierwiastka albo przez rozkład na czynniki. Metody te, gdy tylko można je zastosować, są stosunkowo proste i wydajne. Niestety nie zawsze możemy ich użyć.
W tej lekcji nauczysz się jak rozwiązać dowolne równanie kwadratowe.

Rozwiązywanie równań kwadratowych przez dopełnianie do kwadratu

Rozważmy równanie x, squared, plus, 6, x, equals, minus, 2. Metody pierwiastkowania i rozkładu na czynniki nie mogą zostać tutaj zastosowane.
Ale nie traćmy nadziei! Możemy wykorzystać metodę dopełnienia do kwadratu. Spójrzmy na rozwiązanie a później omówmy je dokładniej.
(1)x2+6x=−2(2)x2+6x+9=7Dodaj 9, aby dopełnicˊ do kwadratu.(3)(x+3)2=7Rozłoˊz˙ wyraz˙enie po lewej na czynniki.(4)(x+3)2=±7Wyciągnij pierwiastek kwadratowy.(5)x+3=±7(6)x=±7−3Odejmij 3.\begin{aligned}(1)&&x^2+6x&=-2\\\\ \blueD{(2)}&&\Large\blueD{x^2+6x+9}&\Large\blueD{=7}&&\blueD{\text{Dodaj 9, aby dopełnić do kwadratu.}}\\\\ (3)&&(x+3)^2&=7&&\text{Rozłóż wyrażenie po lewej na czynniki.}\\\\ (4)&&\sqrt{(x+3)^2}&=\pm \sqrt{7}&&\text{Wyciągnij pierwiastek kwadratowy.}\\\\ (5)&&x+3&=\pm\sqrt{7}\\\\ (6)&& x &=\pm\sqrt{7}-3&&\text{Odejmij 3.}\end{aligned}
Podsumowując, rozwiązaniami są x, equals, square root of, 7, end square root, minus, 3 i x, equals, minus, square root of, 7, end square root, minus, 3.

Co tu się wydarzyło?

Dodanie 9 do x, squared, plus, 6, x w start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd rzędzie szczęśliwie spowodowało, że wyrażenie po lewej stronie stało się kwadratem wyrażenia liniowego, dokładniej left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared. To pozwoliło nam na rozwiązanie równania poprzez wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego z obu stron.
Oczywiście, to nie był przypadek. Liczba 9 została dokładnie dobrana tak, aby otrzymane wyrażenie było kwadratem wyrażenia liniowego.

Jak dopełnić do kwadratu

Aby zrozumieć jak wybrano 9, powinniśmy zadać sobie następujące pytanie: jeśli x, squared, plus, 6, x jest początkiem wyrażenia będącego kwadratem wyrażenia liniowego, to ile wynosi wyraz stały?
Załóżmy, że wyrażenie może być rozłożone na czynniki jako kwadrat left parenthesis, x, plus, a, right parenthesis, squared, gdzie wciąż nie znamy a. Po opuszczeniu nawiasów otrzymujemy wyrażenie x, squared, plus, 2, a, x, plus, a, które mówi nam dwie rzeczy:
  1. Wyraz przy x, o którym wiemy, że wynosi 6, powinien być równy 2, a. To oznacza, że a, equals, 3.
  2. Wyraz wolny, jaki należy dodać, to a, squared, czyli 3, squared, equals, 9.
Spróbuj samemu dopełnić do kwadratu kilka wyrażeń.
zadanie 1
Jaki jest wyraz stały w wyrażeniu będącym kwadratem wyrażenia liniowego, zaczynającym się od x, squared, plus, 10, x ?
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Zadanie 2
Jaki jest wyraz stały w wyrażeniu będącym kwadratem wyrażenia liniowego, zaczynającym się od x, squared, minus, 2, x ?
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Zadanie 3
Jaki jest wyraz stały w wyrażeniu będącym kwadratem wyrażenia liniowego, zaczynającym się od x, squared, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x ?
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5

Wyzwanie
Jaki jest wyraz stały w wyrażeniu będącym kwadratem wyrażenia liniowego, zaczynającym się od x, squared, plus, b, dot, x?
Wybierz 1 odpowiedź:

To zadanie daje nam wzór na dopełnienie do kwadratu, dla tych, którzy lubią wzory i nie mają nic przeciw nauce na pamięć: pokazuje nam, że żeby dopełnić do kwadratu x, squared, plus, b, x, gdzie b jest dowolną liczbą, musimy dodać left parenthesis, start fraction, b, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared.
Na przykład, aby dopełnić do kwadratu x, squared, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x, dodaliśmy left parenthesis, start fraction, start color #11accd, 6, end color #11accd, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared, equals, 9.

Jeszcze raz o rozwiązywaniu równań

Świetnie! Skoro już jesteś mistrzem w dopełnianiu do kwadratu, możemy przejść do rozwiązywania równań kwadratowych przy użyciu tej metody.
Rozważmy nowy przykład, czyli równanie x, squared, minus, 10, x, equals, minus, 12.
(1)x2−10x=−12(2)x2−10x+25=13Dodaj 25, dopełniając do kwadratu(3)(x−5)2=13Rozłoˊz˙ na czynniki lewą stronę(4)(x−5)2=±13Wezˊ pierwiastek z obu stron(5)x−5=±13(6)x=±13+5Dodaj 5\begin{aligned}(1)&&x^2-10x&=-12\\\\ \blueD{(2)}&&\Large\blueD{x^2-10x+25}&\Large\blueD{=13}&&\blueD{\text{Dodaj 25, dopełniając do kwadratu}}\\\\ (3)&&(x-5)^2&=13&&\text{Rozłóż na czynniki lewą stronę}\\\\ (4)&&\sqrt{(x-5)^2}&=\pm \sqrt{13}&&\text{Weź pierwiastek z obu stron}\\\\ (5)&&x-5&=\pm\sqrt{13}\\\\ (6)&& x&=\pm\sqrt{13}+5&&\text{Dodaj 5}\end{aligned}
W celu dopełnienia do kwadratu pierwotnego wyrażenia x, squared, minus, 10, x, dodaliśmy 25 w rzędzie start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd. Jak zwykle, dodaliśmy tyle samo z prawej strony, co spowodowało, że wzrosła od minus, 12 do 13.
W ogólności, wybór liczby dopełniającej do kwadratu nie zależy od prawej strony, ale i tak powinniśmy zawsze dodawać tę liczbę do obu stron równania.
Teraz Twoja kolej: rozwiąż kilka równań.
Zadanie 4
Rozwiąż równanie x, squared, minus, 8, x, equals, 5.
Wybierz 1 odpowiedź:

Zadanie 5
Rozwiąż równanie x, squared, plus, 3, x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction.
Wybierz 1 odpowiedź:

Porządkowanie wyrazów w równaniu przed dopełnieniem do kwadratu

Reguła I: Odddziel wyrazy ze zmienną od wyrazu stałego

Tak wygląda rozwiązanie równania x, squared, plus, 5, x, minus, 6, equals, x, plus, 1 :
(1)x2+5x−6=x+1(2)x2+4x−6=1Odejmij x(3)x2+4x=7Add 6(4)x2+4x+4=11Dodaj 4, dopełniając do kwadratu(5)(x+2)2=11Rozłoˊz˙ na czynniki(6)(x+2)2=±11Wezˊ pierwiastek z obu stron(7)x+2=±11(8)x=±11−2Odejmij 2\begin{aligned}(1)&&x^2+5x-6&=x+1\\\\ \tealD{(2)}&&\tealD{x^2+4x-6}&\tealD{=1}&&\tealD{\text{Odejmij }x}\\\\ \purpleC{(3)}&&\purpleC{x^2+4x}&\purpleC{=7}&&\purpleC{\text{Add 6}}\\\\ (4)&&x^2+4x+4&=11&&\text{Dodaj 4, dopełniając do kwadratu}\\\\ (5)&&(x+2)^2&=11&&\text{Rozłóż na czynniki}\\\\ (6)&&\sqrt{(x+2)^2}&=\pm\sqrt{11}&&\text{Weź pierwiastek z obu stron}\\\\ (7)&&x+2&=\pm\sqrt{11}\\\\ (8)&& x&=\pm\sqrt{11}-2&&\text{Odejmij 2}\end{aligned}
Dopełnienie do kwadratu jednej strony równania nie pomaga, jeżeli po drugiej stronie znajduje się wyraz z x. To właśnie dlatego odjęliśmy x w rzędzie start color #01a995, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #01a995, umieszczając wszystkie wyrazy z x po lewej stronie.
Ponadto, aby dopełnić do kwadratu x, squared, plus, 4, x, musimy dodać 4, ale zanim to zrobimy, musimy się upewnić, że wszystkie wyrazy stałe znajdują się po drugiej stronie równania. To dlatego dodaliśmy 6 w rzędzie start color #aa87ff, left parenthesis, 3, right parenthesis, end color #aa87ff.

Reguła II: Upewnij się, że współczynnik stojący przy x, squared równa się 1

Tak wygląda rozwiązanie równania 3, x, squared, minus, 36, x, equals, minus, 42:
(1)3x2−36x=−42(2)x2−12x=−14Podziel przez 3(3)x2−12x+36=22Dodaj 36, dopełniając do kwadratu(4)(x−6)2=22Rozłoˊz˙ na czynniki(5)(x−6)2=±22Wezˊ pierwiastek z obu stron(6)x−6=±22(7)x=±22+6Dodaj 6\begin{aligned}(1)&&3x^2-36x&=-42\\\\ \maroonD{(2)}&&\maroonD{x^2-12x}&\maroonD{=-14}&&\maroonD{\text{Podziel przez 3}}\\\\ (3)&&x^2-12x+36&=22&&\text{Dodaj 36, dopełniając do kwadratu}\\\\ (4)&&(x-6)^2&=22&&\text{Rozłóż na czynniki}\\\\ (5)&&\sqrt{(x-6)^2}&=\pm\sqrt{22}&&\text{Weź pierwiastek z obu stron}\\\\ (6)&&x-6&=\pm\sqrt{22}\\\\ (7)&& x=&\pm\sqrt{22}+6&&\text{Dodaj 6}\end{aligned}
Metoda dopełniania do kwadratu, jakiej się nauczyliśmy, działa jedynie wtedy, gdy współczynnik stojący przy x, squared wynosi 1.
To właśnie dlatego w start color #ca337c, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #ca337c wierszu podzieliliśmy przez współczynnik stojący przy x, squared, czyli 3.
Czasami podzielenie przez współczynnik stojący przy x, squared spowoduje, że inne współczynniki staną się ułamkami. To nie znaczy, że gdzieś popełniony został błąd, tylko że w rozwiązaniu pojawią się ułamki.
Rozwiąż teraz kilka podobnych równań.
Zadanie 6
Rozwiąż równanie 4, x, squared, plus, 20, x, minus, 3, equals, 0.
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.