If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Algebra 1

Kurs: Algebra 1 > Rozdział 13

Lekcja 7: Rozkładanie wyrażeń kwadratowych na czynniki: różnica kwadratów
Matematyka
Algebra 1
Wyrażenia kwadratowe: mnożenie i rozkład na czynniki
Rozkładanie wyrażeń kwadratowych na czynniki: różnica kwadratów
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Rozkładanie wyrażeń kwadratowych na czynniki: Różnica kwadratów

Google Classroom
Naucz się jak rozłożyć wyrażenie kwadratowe, które ma postać "różnicy kwadratów". Na przykład, zapisz x²-16 jako (x+4)(x-4).
Rozkład wielomianu na czynniki polega na zapisaniu go w formie iloczynu jednego lub kilku innych wielomianów. Ta operacja jest odwrotnością mnożenia wielomianów.
W tym artykule dowiemy się, jak użyć wzoru na różnicę kwadratów do rozłożenia niektórych wielomianów na czynniki. Jeśli nie znasz tego wzoru, obejrzyj ten film zanim przejdziesz do tej lekcji.

Wprowadzenie: Wzór na różnicę kwadratów

Każdy wielomian, który przedstawia różnicę kwadratów może być przedstawiony za pomocą poniższego wzoru:
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis
Zauważ, że w tym wzorze a i b mogą być dowolnym wyrażeniem algebraicznym. Na przykład dla a, equals, x oraz b, equals, 2, otrzymujemy:
x2−22=(x+2)(x−2)\begin{aligned}\blueD{x}^2-\greenD{2}^2=(\blueD x+\greenD 2)(\blueD x-\greenD 2)\end{aligned}
Wielomian x, squared, minus, 4 jest wyrażony za pomocą postaci iloczynowej, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis. Możemy rozwinąć prawą stronę tego równania, aby wyjaśnić rozkład na czynniki:
(x+2)(x−2)=x(x−2)+2(x−2)=x2−2x+2x−4=x2−4\begin{aligned}(x+2)(x-2)&=x(x-2)+2(x-2)\\\\&=x^2-2x+2x-4\\ \\ &=x^2-4\end{aligned}
Teraz, gdy rozumiemy wzór, użyjmy go do rozłożenia na czynniki kilku innych wielomianów.

Przykład 1: Rozkład na czynniki x, squared, minus, 16

Zarówno x, squared, jak i 16 są liczbami kwadratowymi, ponieważ x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared i 16, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Co oznacza, że:
x, squared, minus, 16, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared
Ponieważ odejmujemy dwa kwadraty, możemy zauważyć, że wielomian przedstawia różnicę kwadratów. Możemy użyć wzoru na różnicę kwadratów, aby rozłożyć to wyrażenie na czynniki:
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis
W naszym przypadku, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd, a start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54. Dlatego rozkład naszego wielomianu na czynniki wygląda tak:
left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, minus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis
Możemy sprawdzić nasz wynik upewniając się czy iloczyn tych dwóch czynników wynosi x, squared, minus, 16.

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Rozłóż na czynniki x, squared, minus, 25.
Wybierz 1 odpowiedź:

2) Rozłóż na czynniki x, squared, minus, 100.

Pytanie do zastanowienia

3) Czy możemy użyć wzoru na różnicę kwadratów aby rozłożyć x, squared, plus, 25?
Wybierz 1 odpowiedź:

Przykład 2: Rozkład na czynniki 4, x, squared, minus, 9

Współczynnik wiodący nie musi być równy 1, aby można było użyć wzoru na różnicę kwadratów. Tak naprawdę można tu użyć wzoru na różnicę kwadratów!
Jest tak, ponieważ 4, x, squared i 9 są liczbami kwadratowymi, bo 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared i 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Możemy to wykorzystać do rozłożenia wielomianu na czynniki za pomocą wzoru na różnicę kwadratów:
4x2−9=(2x)2−(3)2=(2x+3)(2x−3)\begin{aligned}4x^2-9 &=(\blueD {2x})^2-(\greenD{3})^2\\ \\ &=(\blueD {2x}+\greenD 3)(\blueD {2x}-\greenD 3) \end{aligned}
Szybkie mnożenie pozwoli sprawdzić naszą odpowiedź.

Sprawdź, czy rozumiesz

4) Rozłóż na czynniki 25, x, squared, minus, 4.
Wybierz 1 odpowiedź:

5) Rozłóż na czynniki 64, x, squared, minus, 81.

6) Rozłóż na czynniki 36, x, squared, minus, 1.

Ćwiczenia sprawdzające

7*) Rozłóż na czynniki x, start superscript, 4, end superscript, minus, 9.

8*) Rozłóż na czynniki 4, x, squared, minus, 49, y, squared.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.