Główna zawartość
Algebra 1
Kurs: Algebra 1 > Rozdział 13
Lekcja 6: Rozkład wyrażeń kwadratowych metodą grupowania- Wstęp do grupowania
- Rozkład na czynniki przez grupowanie
- Rozkład wyrażeń kwadratowych metodą grupowania
- Rozłóż równania kwadratowe: współczynnik wiodący ≠ 1
- Rozkład wyrażeń kwadratowych na czynniki metodą grupowania
- Rozkład równań kwadratowych: czynnik wspólny + grupowanie
- Rozkład równań kwadratowych: ujemny czynnik wspólny + grupowanie
- Pora na kreatywność: Jak uczniowie mogą łączyć nowe podejścia do rozwiązywania zadań?
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie
Rozłóż równania kwadratowe: współczynnik wiodący ≠ 1
Naucz się jak rozkładać wyrażenia kwadratowe przedstawiając je jako iloczyn dwóch dwumianów liniowych. Na przykład, 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).
Co musisz wiedzieć, zanim zaczniesz tą lekcję
Metody grupowania można użyć do rozkładania wielomianów mających wyrazy wyłączając wspólne czynniki wielokrotnie. Jeśli jest to dla Ciebie nowe, zajrzy do naszego artykułu Wprowadzenie do rozkładu przez grupowanie.
Zalecamy też przypomnienie sobie artykułu rozkład na czynniki wyrażeń kwadratowych ze współczynnikiem przy najwyższej potędze równym 1 zanim zaczniesz.
Czego nauczysz się w tej lekcji
W tym artykule nauczymy się rozkładania za pomocą grupowania dla równań ze współczynnikiem przy najwyższej potędze innym niż , na przykład .
Przykład 1: Rozkładanie na czynniki
Ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze to , nie możemy użyć metody sumy-iloczynu żeby rozłożyć wyrażenie kwadratowe.
Zamiast tego żeby rozłożyć , musimy znaleźć dwie liczby całkowite, których iloczyn wynosi (współczynnik przy najwyższej potędze razy wyraz wolny), a suma wynosi (współczynnik przy ).
Ponieważ i , te dwie liczby to i .
Te dwie liczby mówią nam, w jaki sposób rozbić wyraz w pierwotnym wyrażeniu. Możemy więc zapisać nasz wielomian jako
.
Teraz możemy użyć grupowania żeby rozłożyć wielomian:
Postać iloczynowa to .
Możemy to sprawdzić pokazując, że czynniki wymnożą się do .
Podsumowanie
Ogólnie rzecz biorąc, możemy użyć następujących kroków, żeby rozłożyć wyrażenie kwadratowe w postaci :
- Zacznij od znalezienia dwóch liczb, których iloczyn będzie wynosił
a suma będzie wynosiła . - Użyj tych liczb żeby rozbić wyraz z
. - Użyj grupowania żeby rozłożyć wyrażenie kwadratowe.
Sprawdź, czy rozumiesz
Przykład 2: Rozkład na czynniki
Żeby rozłożyć , musimy znaleźć dwie liczby całkowite, których iloczyn będzie wynosił , a suma .
Ponieważ i , te liczby to i .
Zapisujemy teraz wyraz jako sumę i a potem używamy grupowania do rozłożenia wielomianu:
Postać iloczynowa to .
Możemy to sprawdzić pokazując, że czynniki wymnożą się do .
Zwróć uwagę: W kroku powyżej, z powodu tego że trzeci wyraz jest ujemy, "+" został wstawiony pomiędzy pogrupowane wyrazy żeby wyrażenie było ciągle równe oryginalnemu wyrażeniu. W kroku musieliśmy wyłączyć ujemny NWD z drugiej grupy żeby uzyskać wspólny czynnik . Uważaj na znaki!
Sprawdź, czy rozumiesz
Kiedy ta metoda działa?
No więc jest jasne, że metoda jest użyteczna do rozkładania trójmianów w postaci , nawet jeśli .
Jednakże nie zawsze możliwe jest rozłożenie wyrażenia kwadratowego w tej postaci używając naszej metody.
Weźmy na przykład wyrażenie . Żeby je rozłożyć, musimy znaleźć dwie liczby całkowite, których iloczyn będzie wynosił i suma będzie wynosiła . Próbuj ile chcesz, ale nie znajdziesz dwóch takich liczb.
Tak więc nasza metoda nie działa dla , oraz dla wielu innych wyrażeń kwadratowych.
Warto jednak pamiętać, że nawet jeśli ta metoda nie działa, to nie oznacza, że wyrażenie nie może zostać rozłożone do postaci , gdzie , , i są liczbami całkowitymi.
Dlaczego ta metoda działa?
Spróbujmy zrozumieć, dlaczego ta metoda ogólnie działa. Będziemy musieli użyć trochę liter, ale nie zrażaj się tym!
Załóżmy, że ogólne wyrażenie kwadratowe można rozłożyć do postaci z liczbami całkowitymi , , i .
Kiedy rozwiniemy nawiasy, otrzymamy wyrażenie kwadratowe .
Ponieważ jest to wyrażenie równoważne wyrażeniu , odpowiadające sobie współczynniki w tych dwóch wyrażeniach muszą być równe! To nam daje następujący związek pomiędzy wszystkimi nieznanymi literami:
Zdefiniujmy teraz i .
Zgodnie z tą definicją...
i
Tak więc i to dwie liczby całkowite, których zawsze szukamy, jeśli używamy tej metody rozkładu na czynniki!
Następnym krokiem w tej metodzie, po znalezieniu i , jest podzielenie współczynnika przy zgodnie z i przy użyciu grupowania.
I rzeczywiście, jeśli podzielimy współczynnik przy , czyli , na , to będziemy mogli pogrupować nasze wyrażenie na .
Podsumowując, w tej części...
- zaczęliśmy od ogólnego wyrażenia
i jego ogólnego rozkładu , - znaleźliśmy dwie liczby,
i , dla których , a zrobiliśmy to definiując i , - podzieliliśmy wyraz z
, , na , i rozłożyliśmy wyrażenie do postaci .
Ten proces pokazuje, dlaczego jeśli wyrażenie może być rozłożone do postaci , to dzięki naszej metodzie znajdziemy ten rozkład.
Dzięki za wytrwałość!
Chcesz dołączyć do dyskusji?
- Czy dobrze mi się wydaje, że te dwa paragrafy są sprzeczne?
"Warto jednak pamiętać, że nawet jeśli ta metoda nie działa, to nie oznacza, że wyrażenie nie może zostać rozłożone do postaci (Ax+B)(Cx+D), gdzie A, B, C i D są liczbami całkowitymi."
"Ten proces pokazuje, dlaczego jeśli wyrażenie może być rozłożone do postaci (Ax+B)(Cx+D), to dzięki naszej metodzie znajdziemy ten rozkład."(2 głosy)