Jeśli widzisz tę wiadomość oznacza to, że mamy problemy z załadowaniem zewnętrznych materiałów na naszej stronie internetowej.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Główna zawartość

Rozkład wyrażeń kwadratowych: współczynnik wiodący =1

Naucz się jak rozkładać wyrażenia kwadratowe przedstawiając je jako iloczyn dwóch dwumianów liniowych. Na przykład, x²+5x+6=(x+2)(x+3).

Co powinnaś/powinieneś wiedzieć, aby skorzystać z tej lekcji

Rozkład wielomianu na czynniki polega na zapisaniu go jako iloczynu dwóch lub więcej wielomianów. Jest to odwrotność mnożenia wielomianów. Aby dowiedzieć się więcej, zajrzyj do wcześniejszego artykułu o wyłączaniu wspólnego czynnika przed nawias.

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tej lekcji dowiesz się jak przedstawić wielomian o formie x2+bx+c jako iloczyn dwóch dwumianów.

Powtórzenie: Mnożenie dwumianów

Weźmy na przykład wyrażenie (x+2)(x+4).
Iloczyn obliczamy wielokrotnie stosując zasadę rozdzielności działań.
Stąd wiemy, że (x+2)(x+4)=x2+6x+8.
Widzimy więc, że x+2 i x+4 są czynnikami x2+6x+8, ale jak można znaleźć te czynniki, jeśli nie są nam podane na początku?

Rozkład trójmianów

Możemy odwrócić przedstawiony powyżej proces mnożenia dwumianów, aby rozłożyć trójmian (czyli wielomian o 3 argumentach) na czynniki pierwsze.
Inaczej mówiąc, jeśli mamy tylko wielomian x2+6x+8, możemy użyć rozkładu na czynniki pierwsze, aby zapisać wielomian jako iloczyn dwóch dwumianów, (x+2)(x+4).
Spójrzmy na kilka przykładów, aby zobaczyć jak się to robi.

Przykład 1: Rozkład x2+5x+6

Aby rozłożyć x2+5x+6 na czynniki, musimy najpierw znaleźć dwie liczby, których iloczyn daje 6 (część stała) i przedstawić je za pomocą sumy dającej 5 (współczynnik x).
Te dwie liczby to 2 i 3, ponieważ 23=6 oraz 2+3=5.
Następnie dodajemy te liczby do x, tworząc dwa czynniki w formie dwumianów: (x+2) i (x+3).
Podsumowując, rozłożyliśmy nasz trójmian w ten sposób:
x2+5x+6=(x+2)(x+3)
Aby sprawdzić nasz rozkład, możemy pomnożyć te dwa dwumiany:
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+6=x2+5x+6
Iloczyn x+2 oraz x+3 to rzeczywiście x2+5x+6. Nasz rozkład jest prawidłowy!

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Rozłóż x2+7x+10.
Wybierz 1 odpowiedź:

2) Rozłóż na czynniki x2+9x+20.

Zobaczmy jeszcze kilka przykładów i sprawdźmy, czego możemy się z nich nauczyć.

Przykład 2: Rozkład x25x+6

Aby rozłożyć x25x+6 na czynniki, znajdźmy najpierw dwie liczby, których iloczyn daje 6 i których suma daje 5.
Te dwie liczby to 2 i 3, ponieważ (2)(3)=6 oraz (2)+(3)=5.
Następnie dodajemy te liczby do x, tworząc dwa czynniki w formie dwumianów: (x+(2)) i (x+(3)).
Rozkład na czynniki podano poniżej:
x25x+6=(x+(2))(x+(3))=(x2)(x3)
Schemat rozkładu: Zauważ, że liczby potrzebne do znalezienia rozkładu x25x+6 są ujemne (2 i 3). Jest tak ponieważ ich iloczyn musi być dodatni (6) a suma ujemna (5).
Ogólnie, kiedy rozkładamy wyrażenie w postaci x2+bx+c, jeśli c jest dodatnie a b jest ujemne, to oba czynniki będą ujemne!

Przykład 3: Rozkład x2x6

Możemy zapisać x2x6 jako x21x6.
Aby rozłożyć x21x6 na czynniki, znajdźmy najpierw dwie liczby, których iloczyn daje 6 i których suma daje 1.
Te dwie liczby to 2 i 3, ponieważ (2)(3)=6 oraz 2+(3)=1.
Następnie dodajemy te liczby do x, tworząc dwa czynniki w formie dwumianów: (x+2) i (x+(3)).
Rozkład na czynniki podano poniżej:
x2x6=(x+2)(x+(3))=(x+2)(x3)
Schemat rozkładu: Zauważ, że żeby rozłożyć x2x6, potrzebujemy jednej liczby dodatniej (2) i jednej liczby ujemnej (3). Jest tak, ponieważ ich iloczyn musi być ujemny (6).
Ogólnie, kiedy rozkładamy wyrażenie w postaci x2+bx+c, jeśli c jest ujemne, to jeden z czynników będzie liczbą dodatnią, a drugi ujemną.

Podsumowanie

Ogólnie, żeby znaleźć rozkład na czynniki trójmianu w postaci x2+bx+c, musimy znaleźć czynniki c, które sumują się do b.
Zauważ, że te dwie liczby to m i n, więc c=mn i b=m+n, dlatego x2+bx+c=(x+m)(x+n).

Sprawdź, czy rozumiesz

3) Rozłóż na czynniki x28x9.

4) Rozłóż na czynniki x210x+24.

5) Rozłóż x2+7x30.

Dlaczego to działa?

Żeby zrozumieć dlaczego ta metoda rozkładu na czynniki działa, wróćmy do pierwszego przykładu, w którym rozkładaliśmy x2+5x+6 do postaci (x+2)(x+3).
Jeśli się cofniemy i pomnożymy dwa dwumianowe czynniki, to zobaczymy jaki wpływ mają 2 i 3 na stworzenie iloczynu x2+5x+6.
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+23=x2+(2+3)x+23
Widzimy, że współczynnik przy x jest sumą liczby 2 i liczby 3, a wyraz stały jest iloczynem liczby 2 i liczby 3.

Schemat z sumą i iloczynem

Powtórzmy to, co już zrobiliśmy z (x+2)(x+3), dla (x+m)(x+n):
(x+m)(x+n)=(x+m)(x)+(x+m)(n)=x2+mx+nx+mn=x2+(m+n)x+mn
Podsumowując ten proces, otrzymujemy następujące równanie:
(x+m)(x+n)=x2+(m+n)x+mn
Jest to jeden z wzorów skróconego mnożenia.
Pokazuje on dlaczego przedstawiliśmy trójmian x2+bx+c jako x2+(m+n)x+mn (znajdując dwie liczby m oraz n takie, aby b=m+n i c=mn), możemy rozłożyć ten trójmian do czynników (x+m)(x+n).

Pytanie do zastanowienia

6) Czy ta metoda może zostać użyta do znalezienia rozkładu 2x2+3x+1?
Wybierz 1 odpowiedź:

Kiedy możemy użyć tej metody do znalezienia rozkładu?

Ogólnie rzecz biorąc, możemy zastosować wzór na iloczyn sum tylko gdy możemy zapisać trójmian w postaci (x+m)(x+n) dla m i n będących liczbami całkowitymi.
Oznacza to, że pierwszy wyraz trójmianu musi mieć postać x2 (a nie na przykład 2x2), aby można było chociaż uwzględnić tę metodę. Jest tak ponieważ iloczyn (x+m) i (x+n) zawsze będzie wielomianem, którego pierwszy wyraz ma postać x2.
Jednak nie wszystkie trójmiany, których pierwszym wyrazem jest x2 mogą być w ten sposób rozłożone. Na przykład x2+2x+2 nie może być rozłożony, ponieważ nie ma dwóch liczb całkowitych, których suma wynosiłaby 2, a iloczyn 2.
W następnych lekcjach poznamy więcej sposobów rozkładu na czynniki dla innych typów wielomianów.

Ćwiczenia sprawdzające

7*) Rozłóż x2+5xy+6y2.

8*) Rozłóż x45x2+6.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.