Główna zawartość
Kurs: Algebra 1 > Rozdział 13
Lekcja 4: Wprowadzenie do rozkładania na czynniki- Wprowadzenie do czynników (dzielników) i podzielności
- Wprowadzenie do czynników (dzielników) i podzielności
- Rozkład na czynniki za pomocą rozdzielności mnożenia względem dodawania
- Rozkładanie wielomianów na czynniki - największy wspólny dzielnik
© 2024 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie
Wprowadzenie do czynników (dzielników) i podzielności
Naucz się co to znaczy, że wielomiany są czynnikami innych wielomianów lub że są przez nie podzielne.
Co warto już wiedzieć, aby skorzystać z tej lekcji
Jednomian to wyrażenie składające się z iloczynu stałej i nieujemnej potęgi , np. . Wielomian jest sumą jednomianów, np. .
Czego nauczysz się w tej lekcji
W tej lekcji zbadany związek pomiędzy czynnikami i podzielnością wielomianów i nauczymy się sprawdzać, czy jeden wielomian jest dzielnikiem drugiego.
Czynniki (dzielniki) i podzielność liczb całkowitych
Ogólnie rzecz biorąc, dwie liczby całkowite, których iloczyn daje trzecią liczbę nazywamy czynnikami tej liczby
Na przykład, skoro, mówimy, że i są czynnikami liczby .
Liczba całkowita jest podzielna przez inną liczbę całkowitą, jeśli wynikiem dzielenia jest także liczba całkowita.
Na przykład, skoroi , mówimy, że dzieli się przez i przez . Z drugiej strony, skoro , mówimy, że nie dzieli się przez .
Zauważ bliski związek pomiędzy rozkładem liczby na czynniki a jej podzielnością:
Z tego, że (co oznacza, że jest czynnikiem liczby ), wyciągamy wniosek, że (co znaczy, że dzieli się przez ).
W drugą stronę, z tego, że (co oznacza, że dzieli się przez ), wnioskujemy, że (co znaczy, że jest czynnikiem ).
Tak jest zawsze: jeśli jest czynnikiem , to dzieli się przez , i na odwrót.
Czynniki (dzielniki) i podzielność wielomianów
W podobny sposób możemy powiązać czynniki i podzielność wielomianów.
Kiedy pomnożymy dwa lub więcej wielomianów przez siebie, każdy z tych wielomianów będzie czynnikiem wyniku mnożenia.
Na przykład, mamy. To oznacza, że oraz są czynnikami .
Mówimy, że jeden wielomian dzieli się przez inny wielomian, jeśli iloraz jest także wielomianem.
Na przykład, skoroi skoro , to znaczy, że dzieli się przez i przez . Z drugiej strony, skoro , a więc wynik nie jest wielomianem, to znaczy, że nie dzieli się przez .
Ten sam związek pomiędzy rozkładem na czynniki i podzielnością, który zaobserwowaliśmy w przypadku liczb całkowitych, można zauważyć także w przypadku wielomianów.
Ogólnie mówiąc, z tego, że dla pewnych wielomianów , , oraz , wynika:
i są czynnikami . dzieli się przez oraz .
Sprawdź, czy rozumiesz
Wyznaczanie dzielników (czynników) i rozstrzyganie o podzielności
Przykład 1: Czy dzieli się przez ?
Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy obliczyć i uprościć . Jeśli wynik jest wielomianem, to jest podzielne przez . Jeśli wynik nie jest wielomianem, to jest podzielne przez .
Wynik dzielenia jest wielomianem, a zatem dzieli się przez . (Z tego wynika także, że jest czynnikiem .)
Przykład 2: Czy jest czynnikiem ?
Jeśli jest czynnikiem , to jednocześnie dzieli się przez . A zatem, obliczmy i uprośćmy .
Zauważ, że nie jest wielomianem, ponieważ jest to iloraz, a nie iloczyn. A zatem wnioskujemy, że nie jest czynnikiem .
Podsumowanie
Ogólnie rzecz biorąc, aby ustalić, czy dany wielomian jest podzielny przez inny wielomian , lub równoważnie, czy jest czynnikiem , powinniśmy wyznaczyć i przeanalizować .
Jeśli po uproszczeniu wynik jest wielomianem, to dzieli się przez , a także jest czynnikiem .
Sprawdź, czy rozumiesz
Ćwiczenia sprawdzające
Dlaczego w ogóle interesujemy się rozkładem wielomianów na czynniki?
Dokładnie tak samo, jak w przypadku rozkładu na czynniki liczb całkowitych, rozkład wielomianów na czynniki ma wiele praktycznych zastosowań!
Na przykład, rozkład wielomianów na czynniki pomaga rozwiązywać równania kwadratowe i upraszczać wyrażenia wymierne.
Jeśli chcesz zobaczyć, jak to działa - zajrzyj tutaj:
Co dalej?
W następnym kroku dowiesz się, jak rozkładać na czynniki jednomiany: kolejny artykuł.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji