If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Algebra 1

Kurs: Algebra 1 > Rozdział 9

Lekcja 2: Konstruowanie ciągów arytmetycznych
Matematyka
Algebra 1
Ciągi
Konstruowanie ciągów arytmetycznych
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Zamiana rekurencyjnej i jawnej postaci wzoru ciągu arytmetycznego

Google Classroom
Naucz się zamiany postaci rekurencyjnej na jawną i odwrotnie, dla ciągów arytmetycznych.
Zanim przystąpisz do tej lekcji, upewnij się, że wiesz, jak znaleźć wzór rekurencyjny oraz wzór jawny ciągu arytmetycznego.

Przechodzenie od postaci rekurencyjnej ciągu arytmetycznego do postaci jawnej

Ciąg arytmetyczny ma następujący wzór rekurencyjny.
{a(1)=3a(n)=a(n−1)+2\begin{cases} a(1)=\greenE 3 \\\\ a(n)=a(n-1)\maroonC{+2} \end{cases}
Przypominamy, że wzór ten daje nam dwie podstawowe informacje:
  • Pierwszym wyrazem jest start color #0d923f, 3, end color #0d923f
  • Aby otrzymać dowolny wyraz z poprzedniego, należy dodać start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6. Innymi słowy, różnicą tego ciągu jest start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.
Znajdźmy wzór jawny ciągu.
Pamiętaj, że możemy reprezentować ciąg, którego pierwszy wyrazem jest start color #0d923f, A, end color #0d923f a różnicą start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6 poprzez jego wzór jawny start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Oznacza to, że wzorem jawnym ciągu jest a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 3, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 2, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Znajdź wzór jawny ciągu.
{b(1)=−22b(n)=b(n−1)+7\begin{cases} b(1)=-22 \\\\ b(n)=b(n-1)+7 \end{cases}
b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

2) Znajdź wzór jawny ciągu.
{c(1)=8c(n)=c(n−1)−13\begin{cases} c(1)=8 \\\\ c(n)=c(n-1)-13 \end{cases}
c, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

Przechodzenie od jawnej postaci ciągu arytmetycznego do postać rekurencyjnej

Przykład 1: Wzór w postaci standardowej

Mamy dany następujący wzór jawny ciągu arytmetycznego.
d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 16, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
Wzór ten jest podany w postaci standardowej start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, dla której start color #0d923f, A, end color #0d923f jest wyrazem początkowym a różnicą jest start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6. Wynika z tego, że
  • pierwszym wyrazem ciągu jest start color #0d923f, 5, end color #0d923f, a
  • różnicą jest start color #ed5fa6, 16, end color #ed5fa6.
Znajdźmy wzór rekurencyjny tego ciągu. Przypominamy, że wzór rekurencyjny daje nam dwie podstawowe informacje:
  1. Pierwszy wyraz left parenthesiso którym wiemy, że wynosi start color #0d923f, 5, end color #0d923f, right parenthesis
  2. Regułą otrzymywania danego wyrazu za pomocą wyrazu go poprzedzającego left parenthesiso której wiemy, że wyraża się jako "dodaj start color #ed5fa6, 16, end color #ed5fa6"right parenthesis
Mamy więc następujący wzór rekurencyjny ciągu.
{d(1)=5d(n)=d(n−1)+16\begin{cases} d(1)=\greenE 5\\\\ d(n)=d(n-1)\maroonC{+16} \end{cases}

Przykład 1: Wzór w postaci uproszczonej

Mamy dany następujący wzór jawny ciągu arytmetycznego.
e, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, n
Zauważ, że ten wzór nie jest podany w postaci standardowej start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Z tego powodu nie możemy, jak wcześniej, patrząc na postać wzoru odczytać pierwszego wyrazu oraz różnicy. Możemy za to znaleźć pierwsze dwa wyrazy.
  • e, left parenthesis, start color #11accd, 1, end color #11accd, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, dot, start color #11accd, 1, end color #11accd, equals, 12
  • e, left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, dot, start color #11accd, 2, end color #11accd, equals, 14
Teraz już widzimy, że pierwszym wyrazem jest start color #0d923f, 12, end color #0d923f a różnicą jest start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.
Mamy więc następujący wzór rekurencyjny ciągu.
{e(1)=12e(n)=e(n−1)+2\begin{cases} e(1)=\greenE{12}\\\\ e(n)=e(n-1)\maroonC{+2} \end{cases}

Sprawdź, czy rozumiesz

3) Wzorem jawnym ciągu arytmetycznego jest f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 5, plus, 12, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Uzupełnij brakujące wartości we wzorze rekurencyjnym tego ciągu.
{f(1)=Af(n)=f(n−1)+B\begin{cases} f(1)=A\\\\ f(n)=f(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
B, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

4) Wzorem jawnym ciągu arytmetycznego jest g, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 11, minus, 8, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Uzupełnij brakujące wartości we wzorze rekurencyjnym tego ciągu.
{g(1)=Ag(n)=g(n−1)+B\begin{cases} g(1)=A\\\\ g(n)=g(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
B, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

5) Wzorem jawnym ciągu arytmetycznego jest h, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 1, plus, 4, n.
Uzupełnij brakujące wartości we wzorze rekurencyjnym tego ciągu.
{h(1)=Ah(n)=h(n−1)+B\begin{cases} h(1)=A\\\\ h(n)=h(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
B, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

6) Wzorem jawnym ciągu arytmetycznego jest i, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 23, minus, 6, n.
Uzupełnij brakujące wartości we wzorze rekurencyjnym tego ciągu.
{i(1)=Ai(n)=i(n−1)+B\begin{cases} i(1)=A\\\\ i(n)=i(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
B, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Wyzwanie

7*) Zaznacz wszystkie wzory, które poprawnie reprezentują ciąg arytmetyczny 101, comma, 114, comma, 127, comma, point, point, point
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.