If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Algebra 1

Kurs: Algebra 1 > Rozdział 9

Lekcja 2: Konstruowanie ciągów arytmetycznych
Matematyka
Algebra 1
Ciągi
Konstruowanie ciągów arytmetycznych
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Jawne wzory na ciągi arytmetyczne

Google Classroom
Naucz się jak znaleźć jawne wzory ciągów arytmetycznych. Na przykład, znajdź jawny wzór 3, 5, 7,...
Zanim podejdziesz do tej lekcji, upewnij się, że jesteś zaznajomiony z podstawami wzorów dla ciągów arytmetycznych.

Na czym polegają wzory jawne

Poniżej znajduje się jawny wzór ciągu 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
W tym wzorze n oznacza numer wyrazu a a, left parenthesis, n, right parenthesis jest n-tym wyrazem.
Wzór ten pozwala nam po wstawieniu numeru wyrazu, którego szukamy, otrzymać wartość tego wyrazu.
Aby znaleźć, na przykład, piąty wyraz, musimy wstawić n, equals, 5 do wzoru jawnego.
a(5)=3+2(5−1)=3+2⋅4=3+8=11\begin{aligned}a(\greenE 5)&=3+2(\greenE 5-1)\\\\ &=3+2\cdot4\\\\ &=3+8\\\\ &=11\end{aligned}
Fajnie! To rzeczywiście jest piąty wyraz ciągu 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Znajdź b, left parenthesis, 10, right parenthesis dla wzoru danego przez b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 5, plus, 9, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
b, left parenthesis, 10, right parenthesis, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Znajdowanie wzorów jawnych

Rozważmy ciąg arytmetyczny 5, comma, 8, comma, 11, comma, point, point, point Pierwszym wyrazem jest start color #0d923f, 5, end color #0d923f a różnicą start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6.
Możemy otrzymać dowolny wyraz ciągu przez wzięcie wyrazu początkowego start color #0d923f, 5, end color #0d923f i kolejne dodawanie do niego różnicy start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6. Sprawdź, dla przykładu, poniższe obliczenia dla kilku początkowych wyrazów.
nObliczenie n-tego wyrazu
1start color #0d923f, 5, end color #0d923fequals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 0, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 5
2start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 1, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 8
3start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 2, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 11
4start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 3, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 14
5start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 4, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 17
Tabela pokazuje nam, że możemy otrzymać n-ty wyraz (gdzie n jest dowolnym numerem wyrazu) przez wzięcie wyrazu początkowego start color #0d923f, 5, end color #0d923f i left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis-krotne dodanie do niego różnicy start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, point Można to zapisać algebraicznie jako start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
W ogólności, poniżej znajduje się standardowy wzór jawny ciągu arytmetycznego, którego wyrazem początkowym jest start color #0d923f, A, end color #0d923f a różnicą start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6:
start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis

Sprawdź, czy rozumiesz

2) Napisz wzór jawny ciągu 2, comma, 9, comma, 16, comma, point, point, point.
d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

3) Napisz wzór jawny ciągu 9, comma, 5, comma, 1, comma, point, point, point.
e, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

4) Wzorem jawnym ciągu jest f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 6, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Jaki jest pierwszy wyraz ciągu?
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
Jaka jest różnica tego ciągu?
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Równoważne wzory jawne

Wzory jawne mogą być podane pod wieloma postaciami
Na przykład, oba poniższe wzory to wzory jawne ciągu arytmetycznego 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
  • 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis (jest to wzór standardowy)
  • 1, plus, 2, n
  • 5, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 2, right parenthesis
Wzory mogą wyglądać inaczej, ale liczy się to, że możemy wstawić odpowiednią wartość n i otrzymać poprawny n-ty wyraz (sprawdźcie sami, że pozostałe wzory są również prawdziwe!)
Różne wzory jawne opisujące ten sam ciąg nazywamy równoważnymi wzorami jawnymi.

Częste nieporozumienie

Ciąg arytmetyczny może mieć różne wzory jawne, ale należy pamiętać, że tylko postać standardowa daje nam wyraz początkowy oraz różnicę ciągu.
Na przykład, wzór 2, comma, 8, comma, 14, comma, point, point, point ma pierwszy wyraz start color #0d923f, 2, end color #0d923f i różnicę start color #ed5fa6, 6, end color #ed5fa6.
Wzór jawny start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis opisuje ten ciąg, ale wzór jawny start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, n opisuje inny ciąg.
Aby sprowadzić wzór 2, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis do równoważnej postaci A, plus, B, n, możemy opuścić nawiasy i uprościć wynik:
=2+6(n−1)=2+6n−6=−4+6n\begin{aligned}&\phantom{=}2+6(n-1)\\\\ &=2+6n-6\\\\ &=-4+6n\end{aligned}
Niektórzy mogą woleć wzór minus, 4, plus, 6, n od równoważnego wzoru 2, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, ponieważ jest on krótszy. Plusem dłuższego wzoru jest fakt, że od razu daje on nam wyraz początkowy ciągu.

Sprawdź, czy rozumiesz

5) Znajdź wszystkie poprawne wzory jawne ciągu 12, comma, 7, comma, 2, comma, point, point, point
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Ćwiczenia sprawdzające

6*) Znajdź 124-ty wyraz ciągu arytmetycznego 199, comma, 196, comma, 193, comma, point, point, point
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

7*) Pierwszym wyrazem ciągu arytmetycznego jest 5 a dziesiątym wyrazem jest 59.
Jaka jest różnica tego ciągu?
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.