Główna zawartość

Algebra 1

Kurs: Algebra 1 > Rozdział 9

Lekcja 1: Wprowadzenie do ciągów arytmetycznych

Wprowadzenie do wzoru na ciąg arytmetyczny

Zdobądź trochę doświadczenia z podstawami jawnych i rekurencyjnych definicji ciągów arytmetycznych.

Zanim przystąpisz do tej lekcji, upewnij się, że znasz podstawy ciągów arytmetycznych oraz że masz trochę doświadczenia ze znajdowaniem wartości funkcji i rozumiesz zagadnienie dziedziny funkcji.

Co to jest wzór?

Do tej pory opisywaliśmy ciągi arytmetyczne w poniższy sposób:

3, 5, 7, …

Istnieją również inne sposoby opisu. W tej lekcji nauczymy się dwóch nowych metod przedstawiania ciągów arytmetycznych: poprzez wzory rekurencyjne oraz wzory jawne. Wzory dają nam przepis na znalezienie dowolnego wyrazu ciągu.

Aby zachować ogólność, we wzorach używamy

n

na oznaczenie dowolnego numeru wyrazu i

a (n)

na oznaczenie

n

-tego wyrazu ciągu. Na przykład, poniżej wypisujemy kilka pierwszych wyrazów ciągu 3,5,7,...

$n$ ‍	$a (n)$ ‍
(numer wyrazu)	( $n$ ‍-ty wyraz)
$1$ ‍	$3$ ‍
$2$ ‍	$5$ ‍
$3$ ‍	$7$ ‍

Wspomnieliśmy powyżej, że wzory mówią nam, jak znaleźć dowolny wyraz ciągu. Innymi słowy, wzory mówią nam, jak znaleźć $a (n)$ ‍ dla dowolnego $n$ ‍.

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Znajdź $a (4)$ ‍ dla ciągu 3,5,7,...

a (4) =

[Potrzebuję pomocy!]

2) Dla dowolnej liczby $n$ ‍, co przedstawia $a (n - 1)$ ‍?

[Potrzebuję pomocy!]

Wzór rekurencyjny ciągu arytmetycznego

Wzory rekurencyjne informują nas o dwóch rzeczach:

Pierwszym wyrazie ciągu
Regule, pozwalającej znaleźć dowolny wyraz ciągu na podstawie znajomości wyrazu poprzedzającego

Podajemy poniżej wzór rekurencyjny dla ciągu 3, 5, 7,... wraz ze znaczeniem każdej z jego części.

{\begin{cases} a (1) = 3 & \leftarrow Pierwszy wyraz wynosi trzy. \\ a (n) = a (n - 1) + 2 & \leftarrow Dodaj dwa do poprzedniego wyrazu. \end{cases}

Na przykład, aby znaleźć piąty wyraz, musimy wypisać po kolei wyrazy ciągu:

$a (n)$ ‍	$= a (n - 1) + 2$ ‍
$a (1)$ ‍			$= 3$ ‍
$a (2)$ ‍	$= a (1) + 2$ ‍	$= 3 + 2$ ‍	$= 5$ ‍
$a (3)$ ‍	$= a (2) + 2$ ‍	$= 5 + 2$ ‍	$= 7$ ‍
$a (4)$ ‍	$= a (3) + 2$ ‍	$= 7 + 2$ ‍	$= 9$ ‍
$a (5)$ ‍	$= a (4) + 2$ ‍	$= 9 + 2$ ‍	$= 11$ ‍

Świetnie! Ten wzór daje nam ten sam ciąg, co ciąg opisany przez 3,5,7,...

Sprawdź, czy rozumiesz

Teraz przećwicz znajdowanie wyrazów ciągu na podstawie jego wzoru rekurencyjnego.

Tak, jak używaliśmy

a (n)

na przedstawienie

n

-tego wyrazu ciągu 3,5,7,... możemy użyć innych liter do przedstawienia innych ciągów. Na przykład, możemy użyć

b (n)

c (n)

lub

d (n)

3) Znajdź $b (4)$ ‍ dla ciągu danego przez

{\begin{cases} b (1) = - 5 \\ b (n) = b (n - 1) + 9 \end{cases}

b (4) =

[Potrzebuję pomocy!]

4) Znajdź $c (3)$ ‍ dla ciągu opisanego przez

{\begin{cases} c (1) = 20 \\ c (n) = c (n - 1) - 17 \end{cases}

c (3) =

[Potrzebuję pomocy!]

5) Znajdź $d (5)$ ‍ dla ciągu opisanego przez

{\begin{cases} d (1) = 2 \\ d (n) = d (n - 1) + 0, 4 \end{cases}

d (5) =

[Potrzebuję pomocy!]

Wzór jawny ciągu arytmetycznego

Poniżej znajduje się jawny wzór ciągu 3, 5, 7,...

a (n) = 3 + 2 (n - 1)

Wzór ten pozwala nam, po wstawieniu numeru wyrazu, którego szukamy, obliczyc wartość tego wyrazu.

Aby znaleźć, na przykład, piąty wyraz, musimy wstawić

n = 5

do wzoru jawnego.

\begin{aligned} a (5) & = 3 + 2 (5 - 1) \\ = 3 + 2 \cdot 4 \\ = 3 + 8 \\ = 11 \end{aligned}

Co za niespodzianka, otrzymaliśmy ten sam wynik, co poprzednio!

Sprawdź, czy rozumiesz

6) Znajdź $b (10)$ ‍ dla ciągu danego przez $b (n) = - 5 + 9 (n - 1)$ ‍.

b (10) =

[Potrzebuję pomocy!]

7) Znajdź $c (8)$ ‍ dla ciągu danego przez $c (n) = 20 - 17 (n - 1)$ ‍.

c (8) =

[Potrzebuję pomocy!]

8) Znajdź $d (21)$ ‍ dla ciągu danego przez $d (n) = 2 + 0, 4 (n - 1)$ ‍.

d (21) =

[Potrzebuję pomocy!]

Ciągi są funkcjami

Zauważ, że wzory, których używaliśmy podczas tej lekcji, działają jak funkcje: w miejsce

n

wpisujemy numer wyrazu ciągu a wzór zwraca nam wartość tego wyrazu

a (n)

Ciągi są w rzeczywistości zdefiniowane jako funkcje. Jednakże,

n

nie może być dowolną liczbą rzeczywistą. Nie ma czegoś takiego, jak minus piąty wyraz lub 0,4-ty wyraz ciągu.

Oznacza to, że dziedziną ciągów (czyli zbiorem wszystkich możliwych argumentów ciągów, rozumianych jako funkcje) są dodatnie liczby całkowite.

Uwaga na temat notacji

Zapisywaliśmy, na przykład,

a (4)

do przedstawienia czwartego wyrazu ciągu, ale w innych źródłach możesz znaleźć zapis

a_{4}

Obie notacje są prawidłowe. Wolimy

a (4)

, ponieważ notacja ta podkreśla, że ciągi są po prostu funkcjami.

Pytanie do zastanowienia

9) Który rodzaj wzoru pozwoli nam szybciej określić, jaki jest setny wyraz ciągu arytmetycznego?

[Potrzebuję pomocy!]

Wyzwanie

10) Wzorem jawnym ciągu arytmetycznego jest

f (n) = 3 - 4 (n - 1)

Który wyraz tego ciągu wynosi -65?

Wyraz o numerze

[Potrzebuję pomocy!]

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.