Wieloetapowe nierówności

Zróbmy kilka przykładów podsumowujących temat ostatnich dwóch prezentacji. Załóżmy, że mamy nierówność: 4x + 3 < -1 Ustalmy, dla jakich wartości x jest spełniona. Najpierw należy pozbyć się tej trójki, dlatego odejmiemy 3 od obu stron. Po lewej stronie zostanie wtedy 4x bo 3 i -3 skasują się nawzajem. O zmianie znaku na razie nie myślimy, bo odejmujemy do obu stron a odejmowanie nie wpływa na znak, o ile odejmujemy tę samą liczbę. Po prawej mamy -1 – 3, czyli -4. -1 – 3 = -4 A teraz… należy podzielić obie strony nierówności przez 4. Dzielimy obie strony przez 4. To również nie zmienia znaku nierówności, bo dzielimy przez liczbę dodatnią. Po lewej zostaje x… jest mniejsze niż -4/4, czyli -1. x < -1 Zapiszmy to w formie przedziału. Wartości x od minus nieskończoności do -1. Bez -1, dlatego stawiamy nawias okrągły. Spróbujmy zrobić nieco trudniejszy przykład. 5x > 8x + 27 Przenieśmy iksy na lewą stronę. W tym celu odejmiemy 8x od obu stron. Odejmuję 8x od obu stron i po lewej mam 5x – 8x czyli -3x… Znak się nie zmienia, bo dodajemy tę samą liczbę do obu stron. …a tu 8x się kasuje i zostaje 27. Mamy więc: -3x > 27 Teraz usuńmy współczynnik przy x dzieląc obie strony przez -3. Pamiętajmy jednak: mnożąc lub dzieląc nierówność przez liczbę ujemną należy odwrócić jej znak. Skoro więc dzielimy przez -3… obie strony przez -3… to musimy odwrócić znak. Zamiast „większe niż” wpisujemy „mniejsze niż”. Mam sposób na zapamiętanie, który znak jest który. W znaku „większe niż” (>) lewa strona jest większa. Z lewej strony znak ma większą wysokość niż z prawej strony. Mam nadzieję, że rozumiecie. To jest „mniejsze niż”, bo po lewej ma mniejszą wysokość. To mój sposób. Ale wróćmy do zadania. Mamy -3x/-3. Skoro podzieliliśmy obie strony przez -3, to musimy zmienić znak z „>” na „<”. Z lewej współczynniki się skracają i mamy: x < 27/-3 czyli -9. W formie przedziału, to wartości od minus nieskończoności do -9 bez wartości -9. Na osi liczbowej wygląda to tak. Tu mamy… -9… -8… -10… Otaczam -9 kółkiem, bo nie mamy tu dopuszczonej równości. I zaznaczam wszystko poniżej, aż do minus nieskończoności. Zróbmy teraz jakąś naprawdę straszną nierówność. Przypuśćmy, że mamy… 8x – 5(4x + 1) ≥ -1 + 2(4x – 3) Wygląda na trudną, ale jeśli uprościmy ją krok po kroku okaże się, że wcale nie jest trudniejsza niż poprzednie. Uprośćmy ją. Mamy 8x odjąć… Rozbijmy ten nawias. Mnożę 5 przez zawartość nawiasu. 5 razy 4x równa się 20x… Właściwie -5, bo liczy się to wszystko. …a -5 razy 1 to -5. I to wszystko jest większe lub równe -1 dodać 2 razy 4x, czyli 8x dodać 2 razy -3, czyli -6. Możemy już połączyć te składniki. 8x odjąć 20x równa się -12x odjąć 5 jest większe lub równe… Możemy dodać liczby bez x. -1 dodać -6 równa się -7 i na końcu: dodać 8x. Teraz przenieśmy wszystkie iksy na lewą stronę. W tym celu odejmiemy 8x od obu stron. Odejmuję 8x od obu stron nierówności. Od obu stron odejmuję 8x. Po lewej mamy -12x dodać -8x czyli -20x. -20x – 5 Znak na razie pozostaje bez zmian ponieważ upraszczamy nierówność dodając i odejmując. Po prawej stronie… te składniki się kasują. 8x – 8x = 0, więc zostaje tylko -7. Teraz przełóżmy to -5 na drugą stronę dodając 5 do obu stron. Dodajemy 5 do obu stron nierówności. Po lewej stronie zostaje tylko -20x bo -5 i 5 kasują się nawzajem. Wciąż nie ma powodu, by zmieniać znak. A po prawej, -7 + 5 = -2. Teraz będzie ciekawy moment. Mamy: -20x ≥ -2. Gdyby to było równanie, po prostu podzielilibyśmy obie strony przez -20. Pamiętajmy jednak: mnożąc lub dzieląc nierówność przez liczbę ujemną należy odwrócić jej znak. To bardzo ważne. Jeśli podzielimy tę stronę przez -20 i tę stronę przez -20 to z powodu dzielenia przez liczbę ujemną musimy zmienić znak na przeciwny. Znak „≥” zmieni się w „≤”. To się skraca i mamy x jest mniejsze lub równe minusy się kasują, a 2/20 to po uproszczeniu 1/10. Jeśli zapiszemy jako przedział, górną granicą będzie 1/10 z nawiasem kwadratowym, bo mamy tu dopuszczoną równość. 1/10 też należy do rozwiązań. Rozwiązania to wszystko od minus nieskończoności do 1/10 włącznie. To inna forma zapisu tego. Jeszcze dla zasady narysujmy oś liczbową. Oś gotowa. Niech tu będzie 0… 1… 1/10 będzie gdzieś tutaj Wszystko, co mniejsze lub równe 1/10. Skoro równe, to w miejscu 1/10 rysujemy grubą kropkę. To i wszystkie mniejsze liczby stanowią zbiór rozwiązań. Możecie wybrać wartość z tego przedziału i sprawdzić, czy spełnia tę nierówność.