If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Przypomnienie wiadomości o równoważnych układach równań

Dwa układy równań są równoważne, jeśli mają te same rozwiązania. Z tego artykułu dowiesz się, w jaki sposób możesz sprawdzić, czy dwa układy równań są równoważne. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.
Układy równań, które mają to samo rozwiązanie nazywane są równoważnymi układami równań.
Mając dany układ równań, możemy stworzyć układ równoważny przez zamianę jednego z równań na sumę obu równań lub przez zamianę jednego z równań na jego wielokrotność.
Z drugiej strony, wiemy, że dwa układy równań nie są równoważne, jeżeli rozwiązanie jednego z nich nie jest rozwiązaniem drugiego.
Uwaga: Koncept równoważnych układów równań pojawia się w dalszej części kursu dotyczącej algebry liniowej. Mimo to, przykłady i wytłumaczenia w tej lekcji są przystosowane do poziomu pierwszej klasy liceum.

Przykład 1

Mamy dwa układy równań i poproszono nas o stwierdzenie, czy są równoważne.
Układ AUkład B
12x+9y=79x12y=6\begin{aligned}-12x+9y=7\\\\9x-12y=6\end{aligned}12x+9y=73x4y=2\begin{aligned}-12x+9y=7\\\\3x-4y=2\end{aligned}
Jeżeli pomnożymy drugie z równań w Układzie B przez 3, otrzymamy:
3x4y=23(3x4y)=3(2)9x12y=6\begin{aligned} 3x-4y&=2 \\\\ 3(3x-4y)&=3(2) \\\\ 9x-12y&=6 \end{aligned}
Zamieniając drugie z równań Układu B na to nowe równanie, otrzymujemy układ równoważny:
12x+9y=79x12y=6\begin{aligned}-12x+9y=7\\\\9x-12y=6\end{aligned}
Łał! Zobaczcie! Ten układ jest taki sam, jak Układ A, co oznaczam że Układ A jest równoważny Układowi B.
Chcesz dowiedzieć się więcej o równoważnych układach równań? Zajrzyj do tego wideo.

Przykład 2

Mamy dwa układy równań i poproszono nas o stwierdzenie, czy są równoważne.
Układ AUkład B
9x4y=52x+5y=4\begin{aligned}-9x-4y&=5\\\\2x+5y&=-4\end{aligned}7x+y=12x+5y=4\begin{aligned}-7x+y&=1\\\\2x+5y&=-4\end{aligned}
Co ciekawe, jeżeli dodamy do siebie równania Układu A, otrzymamy:
9x4y=5+ 2x+5y=47x+y=1\begin{aligned} -9x-4y&=5 \\ +~2x+5y&=-4\\ \hline\\ -7x+y &=1 \end{aligned}
Zamieniając pierwsze równanie Układu A na to nowe równanie, otrzymamy układ będący równoważny Układowi A:
7x+y=12x+5y=4\begin{aligned}-7x+y&=1\\\\2x+5y&=-4\end{aligned}
Ach! To właśnie Układ B, czyli Układ A jest równoważny Układowi B.

Przykład 3

Mamy dane dwa układy równań i mamy udowodnić, że nie są równoważne przez znalezienie rozwiązania jednego, które nie jest rozwiązaniem drugiego.
Układ AUkład B
4x+10y=11x2y=3\begin{aligned}-4x+10y&=1\\\\-1x-2y&=-3\end{aligned}9xy=81x2y=4\begin{aligned}-9x-y&=8\\\\-1x-2y&=4\end{aligned}
Zauważ, że współczynniki przy x i przy y w drugich równaniach obu układów są takie same. Z drugiej strony, wyrazy stałe się różnią!
Jakakolwiek para wartości x i y, która będzie spełniała Układ A, nie będzie spełniała Układu B i na odwrót.
Na przykład, x, equals, 1, y, equals, 1 jest rozwiązaniem drugiego równania Układu A, ale nie jest rozwiązaniem drugiego z równań Układu B.
Układy A i B nie są równoważne.
Chcesz dowiedzieć się więcej o nierównoważnych układach równań? Zajrzyj do tego wideo.

Ćwiczenie

zadanie 1
  • Prąd elektryczny
Nauczyciel Elzy i Olafa dał im do rozwiązania układ równań liniowych. Oboje niezależnie przeprowadzili kilka kroków rozwiązania i uzyskali, co następuje:
Nauczyciel
5, x, plus, 3, y, equals, minus, 1
4, x, minus, 9, y, equals, 8
ElzaOlaf
4, x, minus, 9, y, equals, 815, x, plus, 9, y, equals, minus, 3
9, x, minus, 6, y, equals, 74, x, minus, 9, y, equals, minus, 5
Które z nich uzyskało układ, który jest równoważny układowi nauczyciela?
Pamiętaj, że dwa układy są "równoważne", jeżeli mają takie samo rozwiązanie.
Wybierz 1 odpowiedź:

Potrzebujesz więcej ćwiczeń? Zajrzyj tutaj.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.