Metoda eliminacji, przegląd (układy równań liniowych)

Metoda eliminacji jest jednym ze sposobów rozwiązywania układów równań liniowych. Przyjrzyjmy się kilku przykładom.

Mamy do rozwiązania następujący układ równań:

Zauważamy, że w pierwszym równaniu występuje wyrażenie $7x$7, x, a w drugim wyrażenie $-7x$minus, 7, x. Te wyrażenia zredukują się, jeśli obydwa równania dodamy do siebie stronami. To oznacza, że niewiadoma $x$x zostanie wyeliminowana.

Wyznaczamy niewiadomą $y$y z otrzymanego równania:

Podstawiając wyznaczoną wartość do pierwszego równania układu, wyznaczamy drugą niewiadomą.

Rozwiązaniem układu równań jest $x=\blueD{-1}$x, equals, start color #11accd, minus, 1, end color #11accd, $y=\goldD{1}$y, equals, start color #e07d10, 1, end color #e07d10.

Możemy sprawdzić rozwiązanie, podstawiając wyznaczone wartości do równań podanego układu. Sprawdźmy drugie równanie:

Tak, wyznaczone rozwiązanie spełnia to równanie.

Mamy do rozwiązania następujący układ równań:

Możemy pomnożyć pierwsze równanie przez $-4$minus, 4, żeby uzyskać równoważne równanie, w którym występuje wyrażenie $\purpleD{-16x}$start color #7854ab, minus, 16, x, end color #7854ab. Otrzymujemy w ten sposób nowy (ale równoważny początkowemu!) układ równań, który wygląda następująco:

Dodajemy równania stronami, żeby wyeliminować niewiadomą $x$x:

Wyznaczamy niewiadomą $y$y z otrzymanego równania:

Podstawiając wyznaczoną wartość do pierwszego równania układu, wyznaczamy drugą niewiadomą.

Rozwiązaniem układu równań jest $x=\blueD{5}$x, equals, start color #11accd, 5, end color #11accd, $y=\goldD{0}$y, equals, start color #e07d10, 0, end color #e07d10.