Główna zawartość

Kurs: Algebra II (materiał z roku 2018) > Rozdział 4

Lekcja 13: Wykresy wielomianów

Wykresy wielomianów

Przeanalizuj wielomiany żeby naszkicować ich wykres.

Co trzeba wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Zachowanie końcowe funkcji

f

przedstawia zachowanie jej wykresu na "końcach" osi

O X

. Algebraicznie, zachowanie asymptotyczne zależy od odpowiedzi na następujące dwa pytania:

Gdy $x \to + \infty$ ‍, jaką wartość osiąga $f (x)$ ‍?
Gdy $x \to - \infty$ ‍, jaką wartość osiąga $f (x)$ ‍?

Jeśli jest to dla Ciebie nowe, zalecamy abyś przeczytał nasz artykuł na temat zachowania końcowego wykresów wielomianów.

MIejsca zerowe funkcji

f

odpowiadają przecięciom jej wykresu z osią

O X

. Jeśli

f

ma miejsce zerowe o nieparzystej krotności, jej wykres przetnie oś

X

-ów dla tego argumentu

x

. Jeśli

f

ma miejsce zerowe o parzystej krotności, jej wykres dotknie oś

X

-ów w tym punkcie.

Jeśli jest to dla Ciebie nowe, zalecamy żebyś przeczytał nasz artykuł o miejscach zerowych wielomianu.

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tej lekcji zastosujemy powyższe cechy, aby przeanalizować i narysować wykresy wielomianów. Następnie wykorzystamy wykresy, aby znaleźć dodatnie i ujemne przedziały wielomianów.

Badanie funkcji wielomianowych

Przeanalizujemy teraz parę cech wykresu wielomianu

f (x) = (3 x - 2) (x + 2)^{2}

Znalezienie przecięcia z osią $O Y$ ‍

Aby znaleźć miejsce przecięcia z osią

O Y

wykresu

f

, możemy znaleźć

f (0)

$\begin{aligned} f (x) & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \\ f (0) & = (3 (0) - 2) (0 + 2)^{2} \\ f (0) & = (- 2) (4) \\ f (0) & = - 8 \end{aligned}$ ‍

Punkt przecięcia z osią

O Y

dla

y = f (x)

(0, - 8)

Znalezienie przecięcia z osią $O X$ ‍

Aby znaleźć miejsce przecięcia z osią

O X

, możemy rozwiązać równanie

f (x) = 0

$\begin{aligned} f (x) & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \\ 0 & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \end{aligned}$ ‍
$\begin{aligned} ↙ & ↘ \\ 3 x - 2 & = 0 & lub x + 2 & = 0 & Iloczyn wynosi zero! \\ x & = \frac{2}{3} & lub x & = - 2 \end{aligned}$ ‍

Punkty przecięcia z osią

O X

wykresu

y = f (x)

(\frac{2}{3}, 0)

(- 2, 0)

Nasze obliczenia wskazują także, że

\frac{2}{3}

jest miejscem zerowym o krotności równej

1

- 2

jest miejscem zerowym o krotności równej

2

. To znaczy, że wykres funkcji przetnie oś

X

-ów w

(\frac{2}{3}, 0)

i dotknie osi

X

-ów w

(- 2, 0)

Znalezienie zachowania końcowego

Aby znaleźć zachowanie asymptotyczne funkcji, możemy zbadać jej wyraz wiodący, jeśli funkcja ta jest zapisana w postaci standardowej.

Napiszmy równanie w formie standardowej

$\begin{aligned} f (x) & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \\ f (x) & = (3 x - 2) (x^{2} + 4 x + 4) \\ f (x) & = 3 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x - 2 x^{2} - 8 x - 8 \\ f (x) & = 3 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x - 8 \end{aligned}$ ‍

Wyraz wiodący wielomianu to pierwszy wyraz, jeśli zapiszemy wielomian w formie standardowej. Innymi słowy, jest to wyraz o najwyższym stopniu.

Ponieważ musimy znać tylko wyraz wiodący (a nie całą resztę wielomianu), możemy go znaleźć przez wymnożenie przez siebie wyrazów o najwyższych potęgach

x

Na przykład w

f (x) = (3 x - 2) (x + 2)^{2}

, możemy pomnożyć

3 x

z pierwszego czynnika przez

x^{2}

z drugiego czynnika. To nam daje wyraz wiodący równy

3 x^{3}

Wyraz wiodący wielomianu to

3 x^{3}

zachowanie asymptotyczne funkcji

f

będzie takie same jak zachowanie asymptotyczne

3 x^{3}

Ponieważ stopień wielomianu jest nieparzysty i wyraz wiodący jest dodatni, zachowanie asymptotyczne będzie równe: gdy

x \to + \infty

f (x) \to + \infty

i gdy

x \to - \infty

f (x) \to - \infty

Rysowanie wykresu

Możemy wykorzystać to czego się nauczyliśmy powyżej, aby narysować wykres

y = f (x)

Zacznijmy od zachowania końcowego:

Gdy $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍.
Gdy $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍.

Oznacza to, że na "końcach" wykres funkcji będzie wyglądał jak

y = x^{3}

Teraz możemy dołączyć to co wiemy na temat przecięcia z osią

O X

Wykres funkcji dotyka oś $X$ ‍-ów w punkcie $(- 2, 0)$ ‍, ponieważ $- 2$ ‍ jest miejscem zerowym o parzystej krotności.
Wykres przecina oś $X$ ‍-ów w punkcie $(\frac{2}{3}, 0)$ ‍, ponieważ $\frac{2}{3}$ ‍ jest miejscem zerowym o nieparzystej krotności.

Wreszcie, możemy narysować przecięcie z osią

O Y

w punkcie

(0, - 8)

i wypełnienie luk za pomocą ciągłej, płynnej krzywej.

Chociaż nie wiemy dokładnie gdzie są punkty zwrotne funkcji, uzyskujemy dobry, ogólny obraz kształtu naszej funkcji!

Przedziały, w których funkcja jest dodatnia lub ujemna

Teraz jak mamy naszkicowany wykres

f

, łatwo jest stwierdzić dla których przedziałów

f

jest dodatnia i dla których przedziałów jest ujemna.

Widzimy, że

f

jest dodatnia kiedy

x > \frac{2}{3}

i ujemna kiedy

x < - 2

lub

- 2 < x < \frac{2}{3}

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Teraz sam krok po kroku naszkicujesz wykres

g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)

a) Jaki jest punkt przecięcia z osią $O Y$ ‍ wykresu funkcji $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍?
$(0$ ‍,
Prawidłowa odpowiedź to:
liczba całkowita, taka jak $6$ ‍
właściwy uproszczony ułamek, taki jak $3 / 5$ ‍
niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak $7 / 4$ ‍
liczba mieszana, taka jak $1 3 / 4$ ‍
dokładny ułamek dziesiętny, taki jak $0, 75$ ‍
wielokrotność pi, taka jak $12 pi$ ‍ lub $2 / 3 pi$ ‍
$)$ ‍

b) Jakie jest zachowanie asymptotyczne wykresu funkcji $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍?
Wybierz 1 odpowiedź:
(Choice A)
Gdy $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, i gdy $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Choice B)
Gdy $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, i gdy $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Choice C)
Gdy $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, i gdy $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Choice D)
Gdy $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, i gdy $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

Aby znaleźć zachowanie asymptotyczne funkcji, możemy zbadać jej wyraz wiodący, jeśli funkcja ta jest zapisana w postaci standardowej.
Napiszmy równanie w formie standardowej
$\begin{aligned} g (x) & = (x + 1) (x - 2) (x + 5) \\ g (x) & = (x + 1) (x^{2} + 3 x - 10) \\ g (x) & = x^{3} + 3 x^{2} - 10 x + x^{2} + 3 x - 10 \\ g (x) & = x^{3} + 4 x^{2} - 7 x - 10 \end{aligned}$ ‍
Wyraz wiodący wielomianu to $x^{3}$ ‍ a więc zachowanie asymptotyczne funkcji $g$ ‍ będzie takie same jak zachowanie asymptotyczne $x^{3}$ ‍.
Ponieważ stopień wielomianu jest nieparzysty i wyraz wiodący jest dodatni, zachowanie asymptotyczne będzie równe: gdy $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍ i gdy $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

c) Jakie są przecięcia z osią $O X$ ‍ wykresu funkcji $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍?
Wybierz 1 odpowiedź:
(Choice A)
$(1, 0)$ ‍, $(- 2, 0)$ ‍, i $(5, 0)$ ‍
(Choice B)
$(- 1, 0)$ ‍, $(2, 0)$ ‍, i $(- 5, 0)$ ‍

d) Które z poniższych może przedstawiać wykres funkcji $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍?
Wybierz 1 odpowiedź:
(Choice A)
(Choice B)
(Choice C)
(Choice D)

2) Które z poniższych może przedstawiać wykres $y = (2 - x) (x + 1)^{2}$ ‍

Znajdźmy zachowanie asymptotyczne i wszystkie przecięcia

y = (2 - x) (x + 1)^{2}

z osiami. Później wykorzystamy to do naszkicowania wykresu.

Przecięcie z osią $O Y$ ‍

Aby znaleźć punkt przecięcia z osią

O Y

, możemy podstawić

0

x

i rozwiązać ze względu na

y

$\begin{aligned} y & = (2 - x) (x + 1)^{2} \\ y & = (2 - 0) (0 + 1)^{2} \\ y & = 2 \end{aligned}$ ‍

Punkt przecięcia z osią

O Y

(0, 2)

Przecięcie z $O X$ ‍

Aby znaleźć przecięcia z

O X

, możemy podstawić

0

y

i rozwiązać ze względu na

x

\begin{aligned} y & = (2 - x) (x + 1)^{2} \\ 0 & = (2 - x) (x + 1)^{2} \\ 2 & - x = 0 lub x + 1 = 0 \\ x & = 2 lub x = - 1 \end{aligned}

Ponieważ

- 1

jest miejscem zerowym o parzystej krotności, wykres dotnie osi

X

-ów w punkcie

(- 1, 0)

, i ponieważ

2

jest miejscem zerowym o nieparzystej krotności, wykres przetnie oś

X

-ów w punkcie

(2, 0)

Zachowanie końcowe

Aby stwierdzić zachowanie funkcji na końcach, musimy zbadać wyraz wiodący wielomianu. Jeśli zapiszemy wielomian w formie standardowej otrzymamy:

$\begin{aligned} y & = (2 - x) (x + 1)^{2} \\ y & = (2 - x) (x^{2} + 2 x + 1) \\ y & = 2 x^{2} + 4 x + 2 - x^{3} - 2 x^{2} - x \\ y & = - x^{3} + 3 x + 2 \end{aligned}$ ‍

A więc, na końcach przedziału, wykres

y = (2 - x) (x + 1)^{2}

będzie wyglądał jak wykres

y = - x^{3}

Zachowanie końcowe jest następujące: gdy

x \to + \infty

y \to - \infty

, i gdy

x \to - \infty

y \to + \infty

Rysowanie wykresu

Zbierając to wszystko razem widzimy, że jedyny możliwy wykres to wykres

D

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

olaf oleszczyk
Opublikowane 2 lata temu. Odnosi się do postu olaf oleszczyk's o treści “w zadaniu "b" czym różni ...”
w zadaniu "b" czym różni się odpowiedź 1 od odpowiedzi 2?
Kliknij, aby przejść do strony rejestracjiSkomentuj wpis użytkownika olaf oleszczyk o treści „w zadaniu "b" czym różni ...”
(2 głosy)
Odpowiedź
s21960
Opublikowane 2 lata temu. Odnosi się do postu s21960's o treści “Zadanie *Sprawdź, czy roz...”
Zadanie Sprawdź, czy rozumiesz pkt b) ma błąd powtarzających się odpowiedzi.
Kliknij, aby przejść do strony rejestracjiKliknij, aby przejść do strony rejestracji
(2 głosy)
Odpowiedź

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Algebra II (materiał z roku 2018)

Kurs: Algebra II (materiał z roku 2018) > Rozdział 4

Co trzeba wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Czego nauczysz się w tej lekcji

Badanie funkcji wielomianowych

Znalezienie przecięcia z osią OY‍

Znalezienie przecięcia z osią OX‍

Znalezienie zachowania końcowego

Rysowanie wykresu

Przedziały, w których funkcja jest dodatnia lub ujemna

Sprawdź, czy rozumiesz

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Znalezienie przecięcia z osią $O Y$ ‍

Znalezienie przecięcia z osią $O X$ ‍