Główna zawartość

Kurs: Algebra II (materiał z roku 2018) > Rozdział 5

Lekcja 1: Rozwiązywanie równań z pierwiastkami drugiego stopnia

Wprowadzenie do równań pierwiastkowych i obcych rozwiązań
Wprowadzenie do rozwiązywania równań z pierwiastkiem kwadratowym
Równania, w których występują pierwiastki arytmetyczne i które mają rozwiązania pozorne
Rozwiązywanie równań z pierwiastkami drugiego stopnia
Rozwiązywanie równań z pierwiastkiem kwadratowym: jedno rozwiązanie
Rozwiązywanie równań z pierwiastkiem kwadratowym: dwa rozwiązania
Rozwiązywanie równań z pierwiastkiem kwadratowym: brak rozwiązań
Równania, w których występują pierwiastki arytmetyczne

Matematyka>

Algebra II (materiał z roku 2018)>

Wyrażenia z pierwiastkami>

Rozwiązywanie równań z pierwiastkami drugiego stopnia

Warunki użytkowania politykę prywatności Informacja o plikach cookie

Rozwiązywanie równań z pierwiastkami drugiego stopnia

Google Classroom

Poćwicz na kilku zadaniach zanim przejdziesz do ćwiczeń.

Wprowadzenie

W tym artykule rozwiążemy więcej równań z pierwiastkami kwadratowymi. Tym razem będzie to wymagało od nas więcej pracy, a zadania będą trudniejsze. A czasem okaże się, że otrzymaliśmy rozwiązanie pozorne i trzeba będzie je odrzucić.

Czyli powinieneś zacząć na początku od prostszych ćwiczeń tutaj i spróbować prostszych zadań tutaj.

Pytanie do przećwiczenia 1: wyodrębnianie wyrazu z pierwiastkiem

Rozwiąż następujące równanie ze względu na $x$ ‍.

\sqrt{2 x - 7} - 3 = 4

‍

x =

‍

Prawidłowa odpowiedź to:
liczba całkowita, taka jak $6$ ‍
właściwy uproszczony ułamek, taki jak $3 / 5$ ‍
niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak $7 / 4$ ‍
liczba mieszana, taka jak $1 3 / 4$ ‍
dokładny ułamek dziesiętny, taki jak $0, 75$ ‍
wielokrotność pi, taka jak $12 pi$ ‍ lub $2 / 3 pi$ ‍

Krok 1: Odseparowanie wyrazu z pierwiastkiem.

Zanim podniesiemy obie strony do kwadratu, musimy mieć wyraz pierwiastkiem po jednej stronie równania, a resztę wyrazów przenieść na drugą stronę równania.

$\begin{aligned} \sqrt{2 x - 7} - 3 & = 4 \\ \sqrt{2 x - 7} & = 7 \end{aligned}$ ‍

Krok 2: Obie strony podnosimy do kwadratu.

Teraz jak mamy po jednej stronie równania tylko wyraz z pierwiastkiem, możemy obie strony podnieść do kwadratu, aby pozbyć się pierwiastka:

$\begin{aligned} \sqrt{2 x - 7} & = 7 \\ {(\sqrt{2 x - 7})}^{2} & = (7)^{2} \\ 2 x - 7 & = 49 \\ 2 x & = 56 \\ x & = 28 \end{aligned}$ ‍

Krok 3: Sprawdzić, czy wszystkie rozwiązania należą do dziedziny, to znaczy czy nie mamy rozwiązań pozornych.

Pierwotne równanie to

\sqrt{2 x - 7} - 3 = 4

‍.

Kiedy

x = 28

‍, otrzymujemy:

$\begin{aligned} \sqrt{2 x - 7} - 3 & = 4 \\ \sqrt{2 (28) - 7} - 3 & \overset{?}{=} 4 \\ \sqrt{49} - 3 & \overset{?}{=} 4 \\ 7 - 3 & \overset{?}{=} 4 \\ 4 & = 4 \end{aligned}$ ‍

Więc

x = 28

‍ jest rzeczywiście rozwiązaniem.

Pytanie do przećwiczenia 2: Dwa możliwe rozwiązania

Jakie są rozwiązania następującego równania?

6 + 3 x = \sqrt{2 x + 12} + 2 x

‍

Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

(Choice A)
$x = 0$ ‍
(Choice B)
$x = - 4$ ‍
(Choice C)
$x = 4$ ‍
(Choice D)
$x = - 6$ ‍
(Choice E)
$x = 1$ ‍

Krok 1: Odseparowanie wyrazu z pierwiastkiem.

Zanim podniesiemy obie strony do kwadratu, musimy mieć wyraz pierwiastkiem po jednej stronie równania, a resztę wyrazów przenieść na drugą stronę równania.

$\begin{aligned} 6 + 3 x & = \sqrt{2 x + 12} + 2 x \\ 6 + x & = \sqrt{2 x + 12} \end{aligned}$ ‍

Krok 2: Obie strony podnosimy do kwadratu.

Teraz jak mamy po jednej stronie równania tylko wyraz z pierwiastkiem, możemy obie strony podnieść do kwadratu, aby pozbyć się pierwiastka:

$\begin{aligned} 6 + x & = \sqrt{2 x + 12} \\ {(6 + x)}^{2} & = {(\sqrt{2 x + 12})}^{2} \\ 36 + 12 x + x^{2} & = 2 x + 12 \\ x^{2} + 10 x + 24 & = 0 \\ (x + 6) (x + 4) & = 0 \end{aligned}$ ‍

Znaleźliśmy dwa możliwe rozwiązania:

x = - 6

‍ i

x = - 4

‍.

Krok 3: Sprawdzić, czy wszystkie rozwiązania należą do dziedziny, to znaczy czy nie mamy rozwiązań pozornych.

Pierwotne równanie to

6 + 3 x = \sqrt{2 x + 12} + 2 x

‍.

Kiedy

x = - 6

‍, otrzymujemy:

$\begin{aligned} 6 + 3 x & = \sqrt{2 x + 12} + 2 x \\ 6 + 3 (- 6) & \overset{?}{=} \sqrt{2 (- 6) + 12} + 2 (- 6) \\ - 12 & \overset{?}{=} \sqrt{0} - 12 \\ - 12 & \overset{?}{=} 0 - 12 \\ - 12 & = - 12 \end{aligned}$ ‍

Więc

x = - 6

‍ jest rzeczywiście rozwiązaniem.

Kiedy

x = - 4

‍, otrzymujemy:

$\begin{aligned} 6 + 3 x & = \sqrt{2 x + 12} + 2 x \\ 6 + 3 (- 4) & \overset{?}{=} \sqrt{2 (- 4) + 12} + 2 (- 4) \\ - 6 & \overset{?}{=} \sqrt{4} - 8 \\ - 6 & \overset{?}{=} 2 - 8 \\ - 6 & = - 6 \end{aligned}$ ‍

Więc

x = - 4

‍ też jest rozwiązaniem!

Podsumowanie

Okazało się, że to równanie ma dwa rozwiązania! Zarówno

x = - 6

‍ i

x = - 4

‍ są rozwiązaniami tego równania.

Pytanie treningowe 3

Jakie są rozwiązania następującego równania?

\sqrt{7 x^{2} + 15 x} - 2 x = 5 + x

‍

Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

(Choice A)
$x = 0$ ‍
(Choice B)
$x = - 5$ ‍
(Choice C)
$x = 1$ ‍
(Choice D)
$x = - \frac{5}{2}$ ‍
(Choice E)
Żadna z powyższych odpowiedzi.

Krok 1: Odseparowanie wyrazu z pierwiastkiem.

Zanim podniesiemy obie strony do kwadratu, musimy mieć wyraz pierwiastkiem po jednej stronie równania, a resztę wyrazów przenieść na drugą stronę równania.

$\begin{aligned} \sqrt{7 x^{2} + 15 x} - 2 x & = 5 + x \\ \sqrt{7 x^{2} + 15 x} & = 5 + 3 x \end{aligned}$ ‍

Krok 2: Obie strony podnosimy do kwadratu.

Teraz jak mamy po jednej stronie równania tylko wyraz z pierwiastkiem, możemy obie strony podnieść do kwadratu, aby pozbyć się pierwiastka:

$\begin{aligned} \sqrt{7 x^{2} + 15 x} & = 5 + 3 x \\ {(\sqrt{7 x^{2} + 15 x})}^{2} & = {(5 + 3 x)}^{2} \\ 7 x^{2} + 15 x & = 25 + 30 x + 9 x^{2} \\ 0 & = 2 x^{2} + 15 x + 25 \\ 0 & = (2 x + 5) (x + 5) \end{aligned}$ ‍

Znaleźliśmy dwa możliwe rozwiązania:

x = - 5

‍ i

x = - \frac{5}{2}

‍.

Krok 3: Sprawdzić, czy wszystkie rozwiązania należą do dziedziny, to znaczy czy nie mamy rozwiązań pozornych.

Pierwotne równanie to

\sqrt{7 x^{2} + 15 x} - 2 x = 5 + x

‍.

Kiedy

x = - 5

‍, otrzymujemy:

$\begin{aligned} \sqrt{7 x^{2} + 15 x} - 2 x & = 5 + x \\ \sqrt{7 {(- 5)}^{2} + 15 (- 5)} - 2 (- 5) & \overset{?}{=} 5 + (- 5) \\ \sqrt{100} + 10 & \overset{?}{=} 0 \\ 10 + 10 & \overset{?}{=} 0 \\ 20 & \neq 0 \end{aligned}$ ‍

Więc

x = - 5

‍ nie jest rozwiązaniem.

Kiedy

x = - \frac{5}{2}

‍, otrzymujemy:

$\begin{aligned} \sqrt{7 x^{2} + 15 x} - 2 x & = 5 + x \\ \sqrt{7 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 15 (- \frac{5}{2})} - 2 (- \frac{5}{2}) & \overset{?}{=} 5 + (- \frac{5}{2}) \\ \sqrt{\frac{175}{4} - \frac{75}{2}} + 5 & \overset{?}{=} \frac{5}{2} \\ \sqrt{\frac{25}{4}} + 5 & \overset{?}{=} \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} + 5 & \overset{?}{=} \frac{5}{2} \\ \frac{15}{2} & \neq \frac{5}{2} \end{aligned}$ ‍

Więc

x = - \frac{5}{2}

‍ też nie jest rozwiązaniem.

Podsumowanie

Okazało się, że to równanie nie ma rozwiązania.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.