e jako granica

Poprzednio, gdy rozpatrywaliśmy prosty przykład procentu składanego, uzyskaliśmy wzór (1 + 1/n)… (1 + 1/n) do potęgi n. Był przykład lichwiarza, który pobiera 100% odsetek, stąd to 1, a jeśli kapitalizuje tylko raz w roku, czyli 100% w roku, to n wynosi 1. Mamy więc: 1 + 100%/1 do potęgi 1. Trzeba mu zapłacić dwukrotność pożyczonej kwoty. Jeśli n wynosi 2, to 1 + 1/2 do potęgi 2 daje 2,25. Kapitalizujecie połowę odsetek, czyli 100%/2, ale robicie to dwukrotnie. I robiliśmy tak dalej, aż zobaczyliśmy coś ciekawego. Chcę to powtórzyć. Użyję kalkulatora. Zobaczmy, co się stanie, gdy będziemy brali coraz większe n. Poprzednio doszliśmy do n=365, i wydawało się, że wynik zbliża się do magicznej liczby. Pójdźmy dalej. Weźmy… Wprowadźmy… naprawdę duże liczby. 1 plus 1 przez… niech będzie milion. Raz, dwa, trzy, raz, dwa, trzy, milion. Do potęgi milionowej. Raz, dwa, trzy… raz, dwa, trzy. Tyle zer, co trzeba? Tak. Zanim wcisnę „enter”, nie mogę się doczekać, pomyślmy, co się tu dzieje. Ta część, przy rosnących n, zbliża się do 1, ale nigdy nie jest to dokładnie 1. To jest 1 i jedna milionowa. Bardzo blisko 1, ale nie 1. Podniesiemy to do potęgi milionowej. Zwykle gdy podnosimy coś do takiej potęgi, liczba jest olbrzymia, ale przecież 1 do potęgi milionowej wyniesie 1. Jesteśmy blisko 1, więc wynik nie powinien być gigantyczny. Potwierdzą to obliczenia. 2,71828 i to nie koniec. Dajmy coś jeszcze wyższego. Weźmy… Może zróbmy 1 plus 1 przez… mogę skorzystać z notacji naukowej. Powiedzmy: (1 + 1/1*10 do potęgi 7). A to jest 10 milionów. Do potęgi dziesięciomilionowej. Co my tu mamy? Teraz jest 2,718281692. Jeszcze rozszerzmy. Ostatnie wprowadzone dane… Zamiast potęgi siódmej zróbmy potęgę ósmą. Teraz mamy 1 plus 1 przez sto milionów do potęgi stumilionowej. Nie wiem, czy kalkulator da radę. Uzyskujemy 2,71828181487. Jak widzicie, szybko zbliżamy się… może nie tak szybko, podnosimy liczby do bardzo dużej potęgi. Zbliżamy się do e. Liczba e na kalkulatorze. Mamy już… Mamy już 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cyfr… po przecinku. Podnieśliśmy to do potęgi stumilionowej! Zbliżamy się do tej liczby. Zbliżamy się… Można o tym mówić tak: granica… przy n dążącym do nieskończoności… Gdy n staje się coraz większe… ale nie jest olbrzymie. Wcale nie! Wydaje się zbliżać do tej liczby, którą nazwiemy… tę magiczną, mistyczną liczbę nazywamy e. Tę liczbę nazywamy e. Widzimy ją na kalkulatorze. To prawie tak słynny ciąg cyfr jak w liczbie pi. Uzyskujemy… 2,7182818 i tak dalej, i tak dalej. Bez powtórzeń, nieskończony ciąg cyfr, żadna sekwencja się nie powtarza. Jak pi. Pamiętacie: to stosunek obwodu okręgu do jego średnicy. Liczba e to jedna z szalonych liczb we wszechświecie. W innych filmikach powiemy, dlaczego jest magiczna i mistyczna. To już jest fajne! Mogę wziąć nieograniczoną… Jeśli dodam jeden do odwrotności jakiejś liczby i to podniosę do potęgi, w miarę, jak te liczby rosną, wynik będzie się zbliżał do tego, a w dodatku zobaczymy, że ta liczba, którą przecież wywiedliśmy z odsetek składanych… Ta liczba, liczba pi, liczba i (definiowana jako ta, która podniesiona do kwadratu da minus 1), wszystkie one są magiczne, mistyczne. Pomówimy o tym jeszcze. Ale zostańmy przy e. Wyobrażacie sobie, co się dzieje. Wróćmy do poprzedniego przykładu. Pożyczamy dolara, a lichwiarz chce uzyskać 100% w ciągu roku. Gdy n wynosiło 1, to naliczaliście za jeden okres. Przy n równym 2 naliczacie za dwa okresy i kapitalizujecie. Gdy n = 3, kapitalizujecie z 3 okresów. Gdy n dąży do nieskończoności, można powiedzieć, że kapitalizujecie stale, co ułamek sekundy. W każdej chwili kapitalizujecie malutkie odsetki, ale zbliżacie się do nieskończonej liczby razów i dochodzicie do e.