If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Wstęp do liczb urojonych

Dowiedz się czym jest jednostka urojona i, liczby urojone i pierwiastki kwadratowe liczb ujemnych.
W trakcie nauki matematyki, mogłeś(łaś) zauważyć, że niektóre równania kwadratowe nie mają żadnych rozwiązań rzeczywistych.
Na przykład, próbuj jak chcesz, a nigdy nie uda Ci się znaleźć rzeczywistego rozwiązania równania x2=1. Dzieje się tak, ponieważ niemożliwym jest podniesienie do kwadratu liczby rzeczywistej i dostanie w efekcie liczby ujemnej!
Jednakże, rozwiązanie równania x2=1 istnieje w nowym ciele (systemie) liczbowym, nazywanym ciałem liczb zespolonych.

Jednostka urojona

Rdzeniem tego nowego ciała jest jednostka urojona, nazywana czasem liczbą i.
Następujące stwierdzenia o liczbie i są prawdziwe:
  • i=1
  • i2=1
Druga z własności mówi nam, że liczba i jest rzeczywiście rozwiązaniem równania x2=1. Poprzednio nierozwiązywalne równanie staje się rozwiązywalne, jeżeli tylko dopuścimy jednostkę urojoną!

Liczby urojone

Liczba i w żadnym razie nie jest jedyna w swoim rodzaju! Biorąc wielokrotności jednostki urojonej, możemy stworzyć nieskończoną ilość liczb urojonych.
Na przykład, wszystkie z liczb 3i, i5 oraz 12i są liczbami urojonymi, czyli liczbami o formie bi, gdzie b jest niezerową liczbą rzeczywistą.
Branie kwadratów tych liczb może przybliżyć nam ich związek z liczbami rzeczywistymi. Sprawdźmy to na przykładzie: weźmy kwadrat liczby 3i. Własności całkowitych potęg pozostają takie same, więc wzięcie kwadratu 3i daje taki wynik, jakiego byśmy się spodziewali.
(3i)2=32i2=9i2
Używając faktu, że i2=1, możemy to uprościć jeszcze bardziej, jak pokazano poniżej.
(3i)2=9i2=9(1)=9
Fakt, że (3i)2=9 oznacza, że 3i jest pierwiastkiem z liczby 9.

Sprawdź, czy rozumiesz

Ile wynosi (4i)2?
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

Które z poniższych jest pierwiastkiem kwadratowym z 16?
Wybierz 1 odpowiedź:

W ten sposób widzimy, że liczby urojone są pierwiastkami z liczb ujemnych!

Upraszczanie liczb urojonych

Poniższa tabela pokazuje przykłady liczb urojonych w obu formach: nieuproszczonej oraz uproszczonej.
Forma nieuproszczonaForma uproszczona
93i
5i5
14412i
Jak jednak wygląda takie uproszczenie liczby urojonej?
Przyjrzyjmy się pierwszemu przykładowi i zobaczmy, czy umiemy prześledzić owe uproszczenie.
Oryginalna równoważnośćProces myślowy
9=3iPierwiastek kwadratowy z 9 jest liczbą urojoną. Pierwiastkiem kwadratowym z 9 jest 3, więc pierwiastkiem kwadratowym z minus 93 jednostki urojone, czyli 3i.
Następująca własność tłumaczy językiem matematyki powyższy "proces myślowy".
Dla a>0, a=ia
Po połączeniu tej własności z naszą wiedzą o pierwiastkach możemy upraszczać wszystkie liczby urojone. Spójrzmy na przykład.

Przykład

Uprość 18.

Rozwiązanie

Po pierwsze, zauważmy, że 18 jest liczbą urojoną, gdyż jest to pierwiastek z liczby ujemnej. Możemy więc zacząć od zapisania 18 jako i18.
Dalej, możemy uprościć 18 wykorzystując naszą dotychczasową wiedzę o upraszczaniu pierwiastków.
Cały przykład przedstawiony jest poniżej.
18=i18Dla a>0a=ia=i929 jest dzielnikiem 18 będącym pełnym kwadratem=i92ab=ab dla a,b0=i329=3=3i2Mnożenie jest przemienne
Wynika z tego, że 18=3i2.

Przećwiczmy kilka zadań

Zadanie 1

Uprość 25.

Zadanie 2

Uprość 10.

Zadanie 3

Uprość 24.

W zasadzie, to po co nam liczby urojone?

Odpowiedź jest prosta. Jednostka urojona i pozwala nam na znajdowanie rozwiązań wielu równań, które nie mają rozwiązań w postaci liczb rzeczywistyych.
Może wydawać się to dziwne, ale w rzeczywistości jest to zwykła własność: wiele równań jest nierozwiązywalnych w pewnym ciele liczb, ale za to ma rozwiązania w pewnym innym, ogólniejszym, ciele liczb.
Podajemy kilka przykładów, które przybliżą potrzebę używania liczb urojonych.
  • Nie da się znaleźć rozwiązania x+8=1 będącego liczbą naturalną; musimy do tego wprowadzić liczby całkowite!
  • Mając tylko liczby całkowite nie rozwiążemy równania 3x1=0; potrzebujemy do tego liczb wymiernych!
  • Mając tylko liczby wymierne, nie rozwiążemy równania x2=2. Musimy prowadzić liczby niewymierne, a zatem całe ciało liczb rzeczywistych!
Podobnie, mając tylko liczby rzeczywiste, nie rozwiążemy równania x2=1. Potrzebujemy do tego liczb urojonych!
Przy dalszej nauce matematyki zrozumiesz wagę tych liczb.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

  • Awatar blobby green style dla użytkownika ogre2000
    Wydaje mi się, że w tym zdaniu: "Nie da się znaleźć rozwiązania x+8=1x+8=1x+8=1 będącego liczbą naturalną; musimy do tego wprowadzić liczby całkowite!" zakończenie powinno brzmieć: "...wprowadzić liczby całkowite ujemne", ew. "wprowadzić liczby rzeczywiste". Chodzi i zaznaczenie, że chodzi o liczby ujemne, a nie o całkowite. Wynikiem tego równania jest co prawda liczba całkowita, ale ważniejsze od tego jest to, że jest ona ujemna. Chyba o to chodziło autorowi?
    (1 głos)
    Awatar Default Khan Academy avatar dla użytkownika
  • Awatar blobby green style dla użytkownika albertrafalski
    Jaki jest dowód na to, że i^2 = (-1)
    nie ukrywam, że z biegu "automatycznie" wykonałem zadania, ale taki układ wydaje mi się nielogiczny, ponieważ wyjście poza zbiór liczb rzeczywistych i robienie zadań na liczbach umownych, które de facto nie istnieją, jest tylko abstrahowaniem, które nie ma odzwierciedlenia w realnym życiu.
    Wydaje mi się i mam nadzieję, że się mylę, dlatego bardzo prosiłbym o wyjaśnienie.
    (1 głos)
    Awatar Default Khan Academy avatar dla użytkownika
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.