Dowiedz się czym jest jednostka urojona i, liczby urojone i pierwiastki kwadratowe liczb ujemnych.
W trakcie nauki matematyki, mogłeś(łaś) zauważyć, że niektóre równania kwadratowe nie mają żadnych rozwiązań rzeczywistych.
Na przykład, próbuj jak chcesz, a nigdy nie uda Ci się znaleźć rzeczywistego rozwiązania równania x2=1x^2=-1. Dzieje się tak, ponieważ niemożliwym jest podniesienie do kwadratu liczby rzeczywistej i dostanie w efekcie liczby ujemnej!
Jednakże, rozwiązanie równania x2=1x^2=-1 istnieje w nowym ciele (systemie) liczbowym, nazywanym ciałem liczb zespolonych.

Jednostka urojona

Rdzeniem tego nowego ciała jest jednostka urojona, nazywana czasem liczbą ii.
Następujące stwierdzenia o liczbie ii są prawdziwe:
  • i=1i=\sqrt{-1}
  • i2=1 i^2=-1
Druga z własności mówi nam, że liczba ii jest rzeczywiście rozwiązaniem równania x2=1x^2=-1. Poprzednio nierozwiązywalne równanie staje się rozwiązywalne, jeżeli tylko dopuścimy jednostkę urojoną!

Liczby urojone

Liczba ii w żadnym razie nie jest jedyna w swoim rodzaju! Biorąc wielokrotności jednostki urojonej, możemy stworzyć nieskończoną ilość liczb urojonych.
Na przykład, wszystkie z liczb 3i3i, i5i\sqrt{5} oraz 12i-12i są liczbami urojonymi, czyli liczbami o formie bibi, gdzie bb jest niezerową liczbą rzeczywistą.
Branie kwadratów tych liczb może przybliżyć nam ich związek z liczbami rzeczywistymi. Sprawdźmy to na przykładzie: weźmy kwadrat liczby 3i3i. Własności całkowitych potęg pozostają takie same, więc wzięcie kwadratu 3i3i daje taki wynik, jakiego byśmy się spodziewali.
(3i)2=32i2=9i2\begin{aligned}(3i)^2&=3^2i^2\\ \\ &=9{i^2}\\\\ \end{aligned}
Używając faktu, że i2=1i^2=-1, możemy to uprościć jeszcze bardziej, jak pokazano poniżej.
(3i)2=9i2=9(1)=9\begin{aligned}\phantom{(3i)^2} &=9\goldD{i^2}\\\\ &=9(\goldD{-1})\\\\ &=-9 \end{aligned}
Fakt, że (3i)2=9(3i)^2=-9 oznacza, że 3i3i jest pierwiastkiem z liczby 9-9.

Sprawdź, czy rozumiesz

W ten sposób widzimy, że liczby urojone są pierwiastkami z liczb ujemnych!

Upraszczanie liczb urojonych

Poniższa tabela pokazuje przykłady liczb urojonych w obu formach: nieuproszczonej oraz uproszczonej.
Forma nieuproszczonaForma uproszczona
9\sqrt{-9}3i3i
5\sqrt{-5}i5i\sqrt{5}
144-\sqrt{-144}12i-12i
Jak jednak wygląda takie uproszczenie liczby urojonej?
Przyjrzyjmy się pierwszemu przykładowi i zobaczmy, czy umiemy prześledzić owe uproszczenie.
Oryginalna równoważnośćProces myślowy
9=3i\begin{aligned}\sqrt{-9} = 3i \end{aligned}Pierwiastek kwadratowy z 9-9 jest liczbą urojoną. Pierwiastkiem kwadratowym z 99 jest 33, więc pierwiastkiem kwadratowym z minus 993\textit 3 jednostki urojone, czyli 3i3i.
Następująca własność tłumaczy językiem matematyki powyższy "proces myślowy".
Dla a>0a>0, a=ia\Large\sqrt{-a}=i\sqrt{a}
Po połączeniu tej własności z naszą wiedzą o pierwiastkach możemy upraszczać wszystkie liczby urojone. Spójrzmy na przykład.

Przykład

Uprość 18\sqrt{-18}.

Rozwiązanie

Po pierwsze, zauważmy, że 18\sqrt{-18} jest liczbą urojoną, gdyż jest to pierwiastek z liczby ujemnej. Możemy więc zacząć od zapisania 18\sqrt{-18} jako i18i\sqrt{18}.
Dalej, możemy uprościć 18\sqrt{18} wykorzystując naszą dotychczasową wiedzę o upraszczaniu pierwiastków.
Cały przykład przedstawiony jest poniżej.
18=i18Dla , a>0a=ia=i929 jest dzielnikiem  będącym pełnym kwadratem18=i92ab=ab dla a,b0=i329=3=3i2Mnoenie jest przemiennez˙\begin{aligned}\sqrt{-18}&=i\sqrt{18}&&\small{\gray{\text{Dla $a>0$, $\sqrt{-a}=i\sqrt{a}$}}}\\\\ &=i\cdot\sqrt{9\cdot 2}&&\small{\gray{\text{$9$ jest dzielnikiem $18$ będącym pełnym kwadratem}}}\\\\ &=i\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}&&\small{\gray{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} \text{ dla } a, b\geq0}} \\\\ &=i\cdot 3\cdot \sqrt2&&\small{\gray{\sqrt{9}=3}}\\\\ &=3i\sqrt{2}&&\small{\gray{\text{Mnożenie jest przemienne}}} \end{aligned}
Wynika z tego, że 18=3i2\sqrt{-18}=3i\sqrt{2}.

Przećwiczmy kilka zadań

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

W zasadzie, to po co nam liczby urojone?

Odpowiedź jest prosta. Jednostka urojona ii pozwala nam na znajdowanie rozwiązań wielu równań, które nie mają rozwiązań w postaci liczb rzeczywistyych.
Może wydawać się to dziwne, ale w rzeczywistości jest to zwykła własność: wiele równań jest nierozwiązywalnych w pewnym ciele liczb, ale za to ma rozwiązania w pewnym innym, ogólniejszym, ciele liczb.
Podajemy kilka przykładów, które przybliżą potrzebę używania liczb urojonych.
  • Nie da się znaleźć rozwiązania x+8=1x+8=1 będącego liczbą naturalną; musimy do tego wprowadzić liczby całkowite!
  • Mając tylko liczby całkowite nie rozwiążemy równania 3x1=03x-1=0; potrzebujemy do tego liczb wymiernych!
  • Mając tylko liczby wymierne, nie rozwiążemy równania x2=2x^2=2. Musimy prowadzić liczby niewymierne, a zatem całe ciało liczb rzeczywistych!
Podobnie, mając tylko liczby rzeczywiste, nie rozwiążemy równania x2=1x^2=-1. Potrzebujemy do tego liczb urojonych!
Przy dalszej nauce matematyki zrozumiesz wagę tych liczb.
Ładowanie