Naucz się upraszczania dowolnej potęgi jednostki urojonej i. Na przykład uprość i²⁷ do postaci -i.
Wiemy, że i=1i=\sqrt{-1} oraz że i2=1i^2=-1.
Ale jak to jest z i3i^3? i4i^4? Z innymi całkowitymi potęgami ii? Jak możemy je policzyć?

Obliczenie i3i^3 oraz i4i^4

Własności potęgowania mogą nam tutaj pomóc! Istotnie, gdy liczymy potęgę ii, możemy używać własności potęgowania prawdziwych w ciele liczb rzeczywistych tak długo, dopóty wykładnik jest liczbą całkowitą.
Pamiętając o tym, znajdźmy i3i^3 oraz i4i^4.
Wiemy, że i3=i2ii^3=i^2\cdot i. Ale skoro i2=1{i^2=-1}, to widzimy, że:
i3=i2i=(1)i=i\begin{aligned} i^3 &= {{i^2}}\cdot i\\ \\ &={ (-1)}\cdot i\\ \\ &= \purpleD{-i} \end{aligned}
Podobnie i4=i2i2i^4=i^2\cdot i^2. Znów, używając faktu, że i2=1{i^2=-1}, możemy napisać, co następuje:
i4=i2i2=(1)(1)=1\begin{aligned} i^4 &= {{i^2\cdot i^2}}\\ \\ &=({ -1})\cdot ({-1})\\ \\ &= \goldD{1} \end{aligned}

Inne potęgi ii

Kontynuujmy tę metodę! Znajdźmy potęgi ii o wykładniku większym od 44.
i5=i4i     Własnoci potęgowaniasˊ=1iPoniewa z˙i4=1=i\begin{aligned} \Large i^5 &= {i^4\cdot i}~~~~~&&\small{\gray{\text{Własności potęgowania}}}\\ \\ &=1\cdot i&&\small{\gray{\text{Ponieważ $i^4=1$}}}\\ \\ &= \blueD i \end{aligned}
i6=i4i2Własnoci potęgowaniasˊ=1(1)Poniewa  oraz z˙i4=1i2=1=1\begin{aligned}\Large i^6 &= {i^4\cdot i^2}&&\small{\gray{\text{Własności potęgowania}}}\\ \\ &=1\cdot (-1)&&\small{\gray{\text{Ponieważ $i^4=1$ oraz $i^2=-1$}}}\\ \\ &=\greenD{-1} \end{aligned}
i7=i4i3Własnoci potęgowaniasˊ=1(i)Poniewa  oraz z˙i4=1i3=i=i\begin{aligned}\Large i^7 &= {i^4\cdot i^3}&&\small{\gray{\text{Własności potęgowania}}}\\ \\ &=1\cdot (-i)&&\small{\gray{\text{Ponieważ $i^4=1$ oraz $i^3=-i$}}}\\ \\ &=\purpleD{-i} \end{aligned}
i8=i4i4    Własnoci potęgowaniasˊ=11Poniewa  z˙i4=1=1\begin{aligned}\Large i^8 &= {i^4\cdot i^4~~~~}&&\small{\gray{\text{Własności potęgowania}}}\\ \\ &=1\cdot 1&&\small{\gray{\text{Ponieważ $i^4=1$ }}}\\ \\ &=\goldD 1 \end{aligned}
Wyniki są podsumowane w tabeli.
i1i^1i2i^2i3i^3i4i^4i5i^5i6i^6i7i^7i8i^8
i\blueD i1\greenD{-1}i\purpleD{-i}1\goldD 1i\blueD i1\greenD{-1}i\purpleD{-i}1\goldD 1

Pojawiająca się reguła

Z tabeli wynika, że potęgi ii przechodzą powtarzalny cykl i\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i} oraz 1\goldD1.
Używając tej własności, czy uda nam się znaleźć i20i^{20}? Spróbujmy!
Poniższa lista wypisuje pierwsze 2020 liczb pojawiających się w ciągu potęg ii.
\quadi\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i}, 1\goldD 1, i\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i}, 1\goldD 1, i\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i}, 1\goldD 1, i\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i}, 1\goldD 1, i\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i}, 1\goldD 1
W związku z tym rozumowaniem i20i^{20} powinno być równe 1\goldD 1. Sprawdźmy, czy uda nam się to policzyć używając własności potęgowania. Pamiętaj, że możemy potęgować tutaj tak samo, jak postępowaliśmy z liczbami rzeczywistymi!
i20=(i4)5Własnoci potęgowaniasˊ=(1)5i4=1=1Uprosˊcˊ\begin{aligned} i^{20} &= (i^4)^5&&\small{\gray{\text{Własności potęgowania}}}\\ \\ &= (1)^5 &&\small{\gray{i^4=1}}\\\\ &= \goldD 1 &&\small{\gray{\text{Uprość}}}\end{aligned}
Jakkolwiek licząc widzimy, że i20=1i^{20}=1.

Wyższe potęgi ii

Załóżmy, że chcielibyśmy znaleźć i138i^{138}. Moglibyśmy wypisać ciąg i\blueD i, 1\greenD{-1}, i\purpleD{-i}, 1\goldD 1,... aż do 138.138. elementu, ale to zajęłoby nam zbyt dużo czasu!
Zauważ jednakże, że i4=1i^4=1, i8=1i^8=1, i12=1i^{12}=1, itd., czyli - innymi słowy - ii podniesiona do potęgi będącej wielokrotnością 44 jest równa 11.
Do uproszczenia i138i^{138}, możemy użyć tego faktu wraz z ogólnymi własnościami potęgowania.

Przykład

Uprość i138i^{138}.

Rozwiązanie

Liczba 138138 nie jest wielokrotnością 44, ale 136136 już jest! Użyjmy tego do uproszczenia i138i^{138}.
i138=i136i2Własnoci potęgowaniasˊ=(i434)i2136=434=(i4)34i2Własnoci potęgowaniasˊ=(1)34i2i4=1=11i2=1=1\begin{aligned} i^{138} &=i^{136}\cdot i^2 &&\small{\gray{\text{Własności potęgowania}}}\\\\ &=(i^{4\cdot 34})\cdot i^2&&\small{\gray{136=4\cdot 34}} \\\\ &=(i^{4})^{34}\cdot i^2&&\small{\gray{\text{Własności potęgowania}}} \\\\ &=(1)^{34}\cdot i^2 &&\small{\gray{\text{$i^4=1$}}}\\\\ &=1\cdot -1&&\small{\gray{\text{$i^2=-1$}}}\\\\ &=-1 \end{aligned}
Ostatecznie, i138=1i^{138}=-1.
Teraz mógłbyś(abyś) spytać, dlaczego zapisaliśmy i138i^{138} jako i136i2i^{136}\cdot i^2.
Skoro oryginalny wykładnik nie jest wielokrotnością 44, to znalezienie najbliższej wielokrotności 44 pozwoli nam uprościć potęgę do ii, i2i^2, lub i3i^3, i to jedynie przy użyciu faktu, że i4=1i^4=1.
Znalezienie tej liczby jest proste, jeżeli podzielimy oryginalny wykładnik przez 44. Jest to po prostu iloraz (bez reszty) pomnożony przez 44.
Oczywiście. Spójrzmy na wykładnik w tym szczególnym przypadku: 138138.
Poniżej przedstawiamy dzielenie 138:4138\mathbin{:} 4.
344 ) 13812  18162\qquad\begin{aligned} \\ \\ 34& \\ {4}~\overline{)~138}& \\ \underline{12~~}& \\ 18& \\ \underline{16}& \\ 2& \\ & \\ & \\ \end{aligned}
Zauważ, że 344=13634\cdot 4 = 136. Jest to najbliższa wielokrotność 44 mniejsza od 138138.
Oczywiście! Zobacz na filmie, jak uprościć kilka potęg ii.

Przećwiczmy kilka zadań

Zadanie 1

Uprość i227i^{227}.

Najbliższą wielokrotnością 44 mniejszą od 227227 jest 224224.
Użyjmy tego do uproszczenia i227i^{227}, jak następuje:
i227=i224i3Własnoci potęgowaniasˊ=(i4)56i3Własnoci potęgowaniasˊ=(1)56i3i4=1=1ii3=i=i\begin{aligned} i^{227} &= i^{224}\cdot i^3&&\small{\gray{\text{Własności potęgowania}}} \\\\&= (i^{4})^{56}\cdot i^3&&\small{\gray{\text{Własności potęgowania}}} \\\\ &=(1)^{56}\cdot i^3 &&\small{\gray{\text{$i^4=1$}}}\\\\ &=1\cdot -i&&\small{\gray{\text{$i^3=-i$}}}\\\\ &=-i \end{aligned}
Ostatecznie, i227=ii^{227}=-i.

Zadanie 2

Uprość i2016i^{2016}.

Liczba 20162016 jest wielokrotnością liczby 44, więc odpowiedzią jest 11. Jeżeli potrzebujesz, poniżej znajduje się więcej szczegółów tego rozumowania.
i2016=(i4)504Własnoci potęgowaniasˊ=(1)504i4=1=1Uprosˊcˊ\begin{aligned} i^{2016} &= (i^{4})^{504}&&\small{\gray{\text{Własności potęgowania}}} \\\\ &=(1)^{504} &&\small{\gray{\text{$i^4=1$}}}\\\\ &=1&&\small{\gray{\text{Uprość}}}\\\\ \end{aligned}

Zadanie 3

Uprość i537i^{537}.

Najbliższą wielokrotnością 44 mniejszą od 537537 jest 536536.
Użyjmy tego do uproszczenia i537i^{537}, jak następuje:
i537=i536iWłasnoci potęgowaniasˊ=(i4)134iWłasnoci potęgowaniasˊ=(1)134ii4=1=1i=i\begin{aligned} i^{537} &= i^{536}\cdot i&&\small{\gray{\text{Własności potęgowania}}} \\\\&= (i^{4})^{134}\cdot i&&\small{\gray{\text{Własności potęgowania}}} \\\\ &=(1)^{134}\cdot i &&\small{\gray i^4=1}\\\\ &=1\cdot i\\\\ &=i \end{aligned}
Ostatecznie, i537=ii^{537}=i.

Wyzwanie

Które z poniższych jest równe i1i^{-1}?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Jedną z dróg rozwiązania tego zadanie jest wypisane elementów ciągu potęg ii.
i1i^1i2i^2i3i^3i4i^4i5i^5i6i^6i7i^7i8i^8
i\blueD i1\greenD{-1}i\purpleD{-i}1\goldD 1i\blueD i1\greenD{-1}i\purpleD{-i}1\goldD 1
Jednakże, zamiast wypisywać ciąg w prawo (dla wykładników >1>1), możemy pomyśleć o wypisywaniu ciągu w lewo (dla wykładników <1<1). Istotnie, skoro chcemy poznać i1i^{-1}, możemy wypisać dwa elementy ciągu w lewo.
i1i^{-1}i0i^0i1i^1i2i^2i3i^3i4i^4i5i^5i6i^6i7i^7i8i^8
i\blueD i1\greenD{-1}i\purpleD{-i}1\goldD 1i\blueD i1\greenD{-1}i\purpleD{-i}1\goldD 1
Zapełniając luki otrzymujemy:
i1i^{-1}i0i^0i1i^1i2i^2i3i^3i4i^4i5i^5i6i^6i7i^7i8i^8
i\purpleD{-i}1\goldD1i\gray i1\gray{-1}i\gray{-i}1\gray 1i\gray i1\gray{-1}i\gray{-i}1\gray 1
Ostatecznie, i1=ii^{-1}=-i.
Możemy też sprawdzić to algebraicznie, używając własności potęgowania:
i3=i4i1i=1i1Poniewa z˙i3=i oraz i4=1i=i1\begin{aligned}i^3&=i^4\cdot i^{-1}\\\\ -i&=1\cdot i^{-1}&\small{\gray{\text{Ponieważ }i^3=-i \text{ oraz } i^4=1}}\\\\ -i&=i^{-1} \end{aligned}
Ładowanie