Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych (zaawansowane)

Nauczyłeś się już podstaw dodawania/odejmowania wyrażeń wymiernych? Świetnie! Teraz zapoznajmy się z trudniejszymi przykładami.

Co musimy wiedzieć zanim zaczniemy tą lekcję

Wyrażenie wymierne to iloraz dwóch wielomianów.
Żeby dodać lub odjąć dwa wyrażenia wymierne mające taki sam mianownik, po prostu dodajemy lub odejmujemy ich liczniki, a potem zapisujemy wynik nad wspólnym mianownikiem.
Kiedy mianowniki nie są takie same, musimy przekształcić je żeby stały się takie same. Innymi słowy, musimy znaleźć wspólny mianownik.
Jeśli jest to dla Ciebie nowe, sprawdź najpierw następujące artykuły:

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tej lekcji poćwiczysz dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych z różnymi mianownikami. Będziesz używać najmniejszego wspólnego mianownika jako wspólnego mianownika w tych przykładach i odkrywać, dlaczego warto tak robić.

Rozgrzewka: start fraction, 3, divided by, x, minus, 2, end fraction, minus, start fraction, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction

Żeby odjąć dwa wyrażenia wymierne, każde z nich musi mieć taki sam mianownik!
W tym przykładzie stworzymy wspólny mianownik mnożąc pierwszy ułamek przez left parenthesis, start fraction, x, plus, 1, divided by, x, plus, 1, end fraction, right parenthesis i drugi ułamek przez left parenthesis, start fraction, x, minus, 2, divided by, x, minus, 2, end fraction, right parenthesis.
Żeby start fraction, 3, divided by, x, minus, 2, end fraction, minus, start fraction, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction było określone, x, does not equal, 2, comma, minus, 1.
Tak więc start fraction, x, plus, 1, divided by, x, plus, 1, end fraction i start fraction, x, minus, 2, divided by, x, minus, 2, end fraction są równe 1, a mnożenie przez zero 1 nie zmienia wartości wyrażenia!
Następnie możemy odjąć liczniki i zapisać wynik ze wspólnym mianownikiem.
=3x22x+1=3x2(x+1x+1)2x+1(x2x2)wspólny mianownik=3(x+1)(x2)(x+1)2(x2)(x+1)(x2)=3(x+1)2(x2)(x2)(x+1)Odejmij=3x+32x+4(x2)(x+1)=x+7(x2)(x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}{\dfrac{3}{\blueD{x-2}}-\dfrac{2}{\greenD{x+1}}}\\\\\\ &=\dfrac{3}{\blueD{x-2}}{\left(\greenD{\dfrac{x+1}{x+1}}\right)}-\dfrac{2}{\greenD{x+1}}{\left(\blueD{\dfrac{x-2}{x-2}}\right)}&&\small{\gray{\text{wspólny mianownik}}}\\\\\\ &=\dfrac{3(x+1)}{(x-2)(x+1)}-\dfrac{2(x-2)}{(x+1)(x-2)}\\ \\\\\\ &=\dfrac{3(x+1)-2(x-2)}{(x-2)(x+1)}&&\small{\gray{\text{Odejmij}}}\\ \\\\\\ &=\dfrac{3x+3-2x+4}{(x-2)(x+1)}\\ \\\\\\ &=\dfrac{x+7}{(x-2)(x+1)} \end{aligned}

Sprawdź, czy rozumiesz

1) start fraction, 5, x, divided by, x, plus, 3, end fraction, plus, start fraction, 4, divided by, x, plus, 2, end fraction, equals

=5xx+3+4x+2=5xx+3(x+2x+2)+4x+2(x+3x+3)Wspólny mianownik=5x(x+2)(x+3)(x+2)+4(x+3)(x+3)(x+2)=5x(x+2)+4(x+3)(x+3)(x+2)Dodaj=5x2+10x+4x+12(x+3)(x+2)=5x2+14x+12(x+3)(x+2)\begin{aligned}&\phantom{=}\dfrac{5x}{\blueD{x+3}}+\dfrac{4}{\greenD{x+2}}\\\\\\ &=\dfrac{5x}{\blueD{x+3}}\left(\greenD{\dfrac{x+2}{x+2}}\right)+\dfrac{4}{\greenD{x+2}}\left(\blueD{\dfrac{x+3}{x+3}}\right)&&\small{\gray{\text{Wspólny mianownik}}}\\ \\\\\\ &=\dfrac{5x(x+2)}{(x+3)(x+2)}+\dfrac{4(x+3)}{(x+3)(x+2)}\\ \\\\\\ &=\dfrac{5x(x+2)+4(x+3)}{(x+3)(x+2)}&&\small{\gray{\text{Dodaj}}}\\ \\\\\\ &=\dfrac{5x^2+10x+4x+12}{(x+3)(x+2)}\\ \\\\\\ &=\dfrac{5x^2+14x+12}{(x+3)(x+2)} \end{aligned}

Najmniejsze wspólne mianowniki

Ułamki zwykłe liczbowe

Czasami mianowniki dwóch ułamków są różne, a jednak niektóre czynniki mają wspólne.
Spójrzmy na przykład na start fraction, 3, divided by, 4, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, 6, end fraction:
=34+16=322+123=322(33)+123(22)Utwórz najmniejszy wspólny mianownik=912+212=1112\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{6}\\\\\\ &=\dfrac{3}{\blueD2\cdot \greenD2}+\dfrac{1}{\blueD2\cdot \goldD3}\\ \\ &=\dfrac{3}{\blueD2\cdot \greenD2} {\left(\dfrac{\goldD3}{\goldD3}\right)}+\dfrac{1}{\blueD2\cdot\goldD3}{\left(\dfrac{\greenD2}{\greenD2}\right)}&&\small{\gray{\text{Utwórz najmniejszy wspólny mianownik}}}\\ \\ &=\dfrac{9}{12}+\dfrac{2}{12}\\ \\ &=\dfrac{11}{12} \end{aligned}
Zauważ, że wspólny mianownik użyty w tym przykładnie nie był iloczynem dwóch poszczególnych mianowników left parenthesis, 24, right parenthesis. Zamiast tego była to najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 4 i 6 left parenthesis czyli 12, right parenthesis.
Najmniejsza wspólna wielokrotność left parenthesis, N, W, W, right parenthesis dwóch liczb całkowitych to najmniejsza liczba, która jest podzielna przez obie te liczby.
Kiedy dwie liczby całkowite nie mają wspólnego czynnika, N, W, W to po prostu iloczyn tych dwóch liczb. Jednakże jeśli dwie liczby mają wspólny czynnik, to N, W, W nie jest równa iloczynowi tych liczb. Jest tak ponieważ wspólny czynniki pojawia się tylko raz w N, W, W. Na przykład:
  • 4 i 6 mają wspólny czynnik 2, więc N, W, W 4 i 6 to 12, a nie 4, dot, 6, equals, 24
  • 6 i 15 mają wspólny czynnik 3, więc N, W, W 6 i 15 to 30, a nie 6, dot, 15, equals, 90
Najmniejsza wspólna wielokrotność mianowników dla dwóch lub więcej ułamków jest nazywana najmniejszym wspólnym mianownikiem.
Łatwym sposobem na znalezienie najmniejszego wspólnego mianownika jest zastanowienie się w jaki sposób można zrównać mianowniki bez pozostawiania wszystkich niepotrzebnych czynników. Zapisując każdy mianownik w postaci rozkładu na czynniki pierwsze szybko zobaczysz o co chodzi.
Zauważ, że start color blueD, 2, end color blueD, dot, start color greenD, 2, end color greenD, dot, start color goldD, 3, end color goldD, equals, 12

Wyrażenia ze zmiennymi

Zastosujmy teraz to rozumowanie do wykonania następującego dodawania:
start fraction, 2, divided by, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction, plus, start fraction, 3, divided by, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end fraction
Najpierw znajdź najmniejszy wspólny mianownik:
Więc najmniejszy wspólny mianownik to start color blueD, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, end color blueD, start color greenD, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end color greenD, start color purpleC, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end color purpleC.
Możemy dodać dwa wyrażenia wymierne w następujący sposób:
=2(x2)(x+1)+3(x+1)(x+3)=2(x2)(x+1)(x+3x+3)+3(x+1)(x+3)(x2x2)Najmniejszy wspólny mianownik=2(x+3)(x2)(x+1)(x+3)+3(x2)(x+1)(x+3)(x2)=2(x+3)+3(x2)(x2)(x+1)(x+3)Dodaj=2x+6+3x6(x2)(x+1)(x+3)=5x(x2)(x+1)(x+3)\small\begin{aligned}&\phantom{=}\dfrac{2}{\blueD{(x-2)}\greenD{(x+1)}}+\dfrac{3}{\greenD{(x+1)}\purpleC{(x+3)}}\\ \\\\ &=\dfrac{2}{\blueD{(x-2)}\greenD{(x+1)}}{\left(\purpleC{\dfrac{x+3}{x+3}}\right)}+\dfrac{3}{\greenD{(x+1)}\purpleC{(x+3)}}{\left(\blueD{\dfrac{x-2}{x-2}}\right)}&&\tiny{\gray{\text{Najmniejszy wspólny mianownik}}}\\\\ \\\\ &=\dfrac{2(x+3)}{(x-2)(x+1)(x+3)}+\dfrac{3(x-2)}{(x+1)(x+3)(x-2)}\\ \\\\ &=\dfrac{2(x+3)+3(x-2)}{(x-2)(x+1)(x+3)}&&\small{\gray{\text{Dodaj}}}\\ \\\\ &=\dfrac{2x+6+3x-6}{(x-2)(x+1)(x+3)}\\ \\\\ &=\dfrac{5x}{(x-2)(x+1)(x+3)} \end{aligned}

Sprawdź, czy rozumiesz

2) start fraction, 1, divided by, x, left parenthesis, x, minus, 6, right parenthesis, end fraction, plus, start fraction, 3, divided by, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 6, right parenthesis, end fraction, equals

Najpierw znajdź najmniejszy wspólny mianownik:
Więc najmniejszy wspólny mianownik to start color blueD, x, end color blueD, start color greenD, left parenthesis, x, minus, 6, right parenthesis, end color greenD, start color purpleC, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end color purpleC.
Możemy dodać dwa wyrażenia wymierne w następujący sposób:
=1x(x6)+3(x+1)(x6)=1x(x6)(x+1x+1)+3(x+1)(x6)(xx)Najmniejszy wspólny mianownik=1(x+1)x(x6)(x+1)+3xx(x6)(x+1)=1(x+1)+3xx(x6)(x+1)Dodaj=x+1+3xx(x6)(x+1)=4x+1x(x6)(x+1)\small\begin{aligned}&\phantom{=}\dfrac{1}{\blueD x\greenD{(x-6)}}+\dfrac{3}{\purpleC{(x+1)}\greenD{(x-6)}}\\\\\\ &=\dfrac{1}{\blueD x\greenD{(x-6)}}\left(\purpleC{\dfrac{x+1}{x+1}}\right)+\dfrac{3}{\purpleC{(x+1)}\greenD{(x-6)}}\left(\blueD{\dfrac{x}{x}}\right)&&\tiny{\gray{\text{Najmniejszy wspólny mianownik}}}\\\\ \\ &=\dfrac{1(x+1)}{x(x-6)(x+1)}+\dfrac{3x}{x(x-6)(x+1)}\\ \\\\ &=\dfrac{1(x+1)+3x}{x(x-6)(x+1)}&&\small{\gray{\text{Dodaj}}}\\ \\\\ &=\dfrac{x+1+3x}{x(x-6)(x+1)}\\ \\\\ &=\dfrac{4x+1}{x(x-6)(x+1)} \end{aligned}
3) start fraction, 3, x, divided by, 2, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, end fraction, minus, start fraction, 4, divided by, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, end fraction, equals

Najpierw znajdź najmniejszy wspólny mianownik:
Więc najmniejszy wspólny mianownik to start color blueD, 2, end color blueD, start color greenD, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, end color greenD, start color purpleC, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, end color purpleC.
Możemy odjąć dwa wyrażenia wymierne w następujący sposób:
=3x2(x1)4(x1)(x+2)=3x2(x1)(x+2x+2)4(x1)(x+2)(22)Najmniejszy wspólny mianownik=3x(x+2)2(x1)(x+2)82(x1)(x+2)=3x(x+2)82(x1)(x+2)Odejmowanie=3x2+6x82(x1)(x+2)\small\begin{aligned}&\phantom{=}\dfrac{3x}{\blueD 2\greenD{(x-1)}}-\dfrac{4}{\greenD{(x-1)}\purpleC{(x+2)}}\\\\\\ &=\dfrac{3x}{\blueD 2\greenD{(x-1)}}\left(\purpleC{\dfrac{x+2}{x+2}}\right)-\dfrac{4}{\greenD{(x-1)}\purpleC{(x+2)}}\left(\blueD{\dfrac{2}{2}}\right)&&\tiny{\gray{\text{Najmniejszy wspólny mianownik}}}\\ \\\\ &=\dfrac{3x(x+2)}{2(x-1)(x+2)}-\dfrac{8}{2(x-1)(x+2)}\\ \\\\ &=\dfrac{3x(x+2)-8}{2(x-1)(x+2)}&&\small{\gray{\text{Odejmowanie}}}\\ \\ &=\dfrac{3x^2+6x-8}{2(x-1)(x+2)} \end{aligned}

Wyzwanie

4*) start fraction, 2, divided by, x, start superscript, 2, end superscript, minus, 1, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, x, start superscript, 2, end superscript, minus, 3, x, minus, 4, end fraction, equals

Zauważ, że w tym przypadku mianowniki nie są w postaci iloczynowej. Musimy więc je przekształcić.
start fraction, 2, divided by, x, start superscript, 2, end superscript, minus, 1, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, x, start superscript, 2, end superscript, minus, 3, x, minus, 4, end fraction, equals, start fraction, 2, divided by, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction
Teraz łatwiej nam będzie znaleźć najmniejszy wspólny mianownik.
Najmniejszy wspólny mianownik to start color blueD, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, end color blueD, start color greenD, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end color greenD, start color purpleC, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, end color purpleC.
Możemy dodać dwa wyrażenia wymierne w następujący sposób:
=2(x1)(x+1)+1(x4)(x+1)=2(x1)(x+1)(x4x4)+1(x4)(x+1)(x1x1)Najmniejszy wspólny mianownik=2(x4)(x1)(x+1)(x4)+1(x1)(x4)(x+1)(x1)=2(x4)+1(x1)(x1)(x+1)(x4)Dodaj=2x8+x1(x1)(x+1)(x4)=3x9(x1)(x+1)(x4)\small\begin{aligned}&\phantom{=}\dfrac{2}{\blueD {(x-1)}\greenD{(x+1)}}+\dfrac{1}{\purpleC{(x-4)}\greenD{(x+1)}}\\\\\\ &=\dfrac{2}{\blueD {(x-1)}\greenD{(x+1)}}\left(\purpleC{\dfrac{x-4}{x-4}}\right)+\dfrac{1}{\purpleC{(x-4)}\greenD{(x+1)}}\left(\blueD{\dfrac{x-1}{x-1}}\right)&&\tiny{\gray{\text{Najmniejszy wspólny mianownik}}}\\ \\\\ &=\dfrac{2(x-4)}{(x-1)(x+1)(x-4)}+\dfrac{1(x-1)}{(x-4)(x+1)(x-1)}\\ \\\\ &=\dfrac{2(x-4)+1(x-1)}{(x-1)(x+1)(x-4)}&&\small{\gray{\text{Dodaj}}}\\ \\\\ &=\dfrac{2x-8+x-1}{(x-1)(x+1)(x-4)}\\\\\\ &=\dfrac{3x-9}{(x-1)(x+1)(x-4)} \end{aligned}

Dlaczego używamy najmniejszego wspólnego mianownika?

Możesz się zastanawiać dlaczego to takie ważne żeby używać tego najmniejszego wspólnego mianownika przy dodawaniu i odejmowaniu wyrażeń wymiernych.
W końcu nie jest to wymagane, a wystarczająco łatwo używa się innych mianowników z ułamkami liczbowymi.
Na przykład w poniższej tabeli są obliczenia dla start fraction, 3, divided by, 4, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, 6, end fraction przy użyciu dwóch różnych wspólnych mianowników — jedno używa najmniejszego wspólnego mianownika left parenthesis, 12, right parenthesis a drugie używa iloczynu dwóch mianowników left parenthesis, 24, right parenthesis.
Najmniejszy wspólny mianownikleft parenthesis, 12, right parenthesisspace, space, space, space, spaceWspólny mianownik left parenthesis, 24, right parenthesis
 34+16=34(33)+16(22)=912+212=111212\begin{aligned}~\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{6}&=\dfrac{3}{\blueD4} {\left(\dfrac{\goldD3}{\goldD3}\right)}+\dfrac{1}{\greenD6}{\left(\dfrac{\purpleD2}{\purpleD2}\right)}\\\\&=\dfrac{9}{12}+\dfrac{2}{12}\\\\&=\dfrac{11}{12}\\\\&\phantom{\dfrac{1}{2}}\end{aligned}       34+16=34(66)+16(44)=1824+424=2224=1112~~~~~~~\begin{aligned}\dfrac{3}{\blueD4}+\dfrac{1}{\greenD6}&=\dfrac{3}{\blueD4}\left(\greenD{\dfrac{6}{6}}\right)+\dfrac{1}{\greenD6}\left(\blueD{\dfrac{4}{4}}\right)\\\\&=\dfrac{18}{24}+\dfrac{4}{24}\\\\&=\dfrac{22}{24}\\\\&=\dfrac{11}{12}\end{aligned}
Zauważ, że używając 24 jako wspólnego mianownika musisz wykonać więcej pracy. Liczby są większe a ułamek w wyniku musi zostać dodatkowo uproszczony.
Stanie się tak jeśli nie użyjesz najmniejszego wspólnego mianownika podczas dodawania i odejmowania wyrażeń wymiernych.
Jednakże przy wyrażeniach wymiernych całe rozwiązywanie jest o wiele trudniejsze, ponieważ liczniki i mianowniki będą wielomianami, a nie liczbami całkowitymi! Będziesz musieć wykonywać działania arytmetyczne z wielomianami wyższego stopnia i rozkładać te wielomiany na czynniki żeby uprościć ułamek.
Przypomnij sobie następujące zadanie.
start fraction, 2, divided by, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction, plus, start fraction, 3, divided by, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end fraction
Załóżmy, że otrzymaliśmy wspólny mianownik mnożąc pierwszy ułamek przez mianownik drugiego i drugi ułamek przez mianownik pierwszego. Zauważ, że jest to wspólny mianownik, ale nie najmniejszy wspólny mianownik.
=2(x2)(x+1)+3(x+1)(x+3)=2(x2)(x+1)((x+1)(x+3)(x+1)(x+3))+3(x+1)(x+3)((x2)(x+1)(x2)(x+1))\scriptsize\begin{aligned}&\phantom{=}\dfrac{2}{\blueD{(x-2){(x+1)}}}+\dfrac{3}{\greenD{(x+1)(x+3)}}\\ \\\\ &=\dfrac{2}{\blueD{(x-2){(x+1)}}}{\left(\greenD{\dfrac{(x+1)(x+3)}{(x+1)(x+3)}}\right)}+\dfrac{3}{\greenD{(x+1)(x+3)}}{\left(\blueD{\dfrac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+1)}}\right)} \end{aligned}
Zauważ, że podczas gdy nadal otrzymasz prawidłową odpowiedź na końcu, to musisz wykonać o wiele więcej pracy!
Całej tej dodatkowej pracy można uniknąć używając najmniejszego wspólnego mianownika podczas dodawania i odejmowania wyrażeń wymiernych.