Wprowadzenie do dodawania i odejmowania wyrażeń wymiernych

Naucz się dodawania i odejmowania dwóch wyrażeń wymiernych tak, żeby powstało jedno wyrażenie.

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Wyrażenie wymierne to iloraz dwóch wielomianów. Na przykład wyrażenie start fraction, x, plus, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction jest wyrażeniem wymiernym.
Jeśli nie znasz jeszcze wyrażeń wymiernych, sprawdź nasze wprowadzenie do wyrażeń wymiernych.

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tej lekcji nauczysz się dodawania i odejmowania wyrażeń wymiernych.

Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych (wspólne mianowniki)

Ułamki zwykłe liczbowe

Możemy dodawać i odejmować wyrażenia wymierne w podobny sposób jak dodajemy i odejmujemy ułamki zwykłe.
Żeby dodać lub odjąć dwa ułamki zwykłe mające taki sam mianownik, po prostu dodajemy lub odejmujemy ich liczniki, a potem zapisujemy wynik nad wspólnym mianownikiem.
=4515=415=35\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{\blueD4}{\purpleC5}-\dfrac{\blueD1}{\purpleC5}\\\\\\ &=\dfrac{\blueD{4}-\blueD{1}}{\purpleC 5}\\ \\ &=\dfrac{3}{5} \end{aligned}

Wyrażenia ze zmiennymi

Tak samo postępujemy z wyrażeniami wymiernymi:
Dobrym zwyczajem jest umieszczanie liczników w nawiasach, zwłaszcza kiedy odejmujemy wyrażenia wymierne. W ten sposób pamiętamy żeby wymnożyć znak minus!
Na przykład:

Sprawdź, czy rozumiesz

1) start fraction, x, plus, 5, divided by, x, minus, 1, end fraction, plus, start fraction, 2, x, minus, 3, divided by, x, minus, 1, end fraction, equals

2) start fraction, x, plus, 1, divided by, 2, x, end fraction, minus, start fraction, 5, x, minus, 2, divided by, 2, x, end fraction, equals

Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych (różne mianowniki)

Ułamki zwykłe liczbowe

Żeby zrozumieć w jaki sposób dodajemy lub odejmujemy wyrażenia wymierne z różnymi mianownikami, zbadajmy najpierw jak robimy to z ułamkami zwykłymi.
Znajdźmy na przykład wynik start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction.
Zauważ, że potrzebowaliśmy wspólnego mianownika, czyli 6, żeby można było dodać dwa ułamki:
  • Mianownik pierwszego ułamka left parenthesis, start color blueD, 3, end color blueD, right parenthesis wymagał pomnożenia przez czynnik start color tealD, 2, end color tealD.
  • Mianownik drugiego ułamka left parenthesis, start color tealD, 2, end color tealD, right parenthesis wymagał pomnożenia przez czynnik start color blueD, 3, end color blueD.
Każdy ułamek został pomnożony przez pewną postać liczby 1 żeby to osiągnąć.

Wyrażenia ze zmiennymi

Zastosujmy to teraz do następującego przykładu:
start fraction, 1, divided by, start color blueD, x, minus, 3, end color blueD, end fraction, plus, start fraction, 2, divided by, start color tealD, x, plus, 5, end color tealD, end fraction
Żeby oba mianowniki były takie same, pierwszy musimy pomnożyć przez start color tealD, x, plus, 5, end color tealD, a drugi przez start color blueD, x, minus, 3, end color blueD. Przekształćmy ułamki w taki sposób, żeby to osiągnąć. A potem możemy dodać je tak, jak zwykle.
Zauważ, że pierwszy krok jest możliwy, ponieważ start fraction, x, plus, 5, divided by, x, plus, 5, end fraction i start fraction, x, minus, 3, divided by, x, minus, 3, end fraction są równe 1, a mnożenie przez 1 nie zmienia wartości wyrażenia!
Technicznie rzecz biorąc, start fraction, x, minus, 3, divided by, x, minus, 3, end fraction, equals, 1 dla x, does not equal, 3 i start fraction, x, plus, 5, divided by, x, plus, 5, end fraction, equals, 1 dla x, does not equal, minus, 5.
Jednakże żeby start fraction, 1, divided by, start color blueD, x, minus, 3, end color blueD, end fraction, plus, start fraction, 2, divided by, start color tealD, x, plus, 5, end color tealD, end fraction było określone, musimy postawić warunek, że start color blueD, x, does not equal, 3, end color blueD i start color tealD, x, does not equal, minus, 5, end color tealD. Tak więc w tym przykładzie możemy być pewni, że start fraction, x, minus, 3, divided by, x, minus, 3, end fraction, equals, 1 i start fraction, x, plus, 5, divided by, x, plus, 5, end fraction, equals, 1.
W ostatnich dwóch krokach uprościliśmy licznik. Możesz też wymnożyć left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis i left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis w mianowniku, ale znacznie częściej zostawia się to w postaci iloczynowej.

Sprawdź, czy rozumiesz

3) start fraction, 3, divided by, x, plus, 4, end fraction, plus, start fraction, 2, divided by, x, minus, 2, end fraction, equals

Żeby dwa mianowniki były takie same, pierwszy ułamek trzeba pomnożyć przez czynnik x, minus, 2, a drugi ułamek trzeba pomnożyć przez czynnik x, plus, 4. Przekształćmy ułamki w taki sposób, żeby to osiągnąć. Następnie możemy je dodać tak jak zwykle.
4) start fraction, 2, divided by, x, minus, 1, end fraction, minus, start fraction, 5, divided by, x, end fraction, equals

Żeby dwa mianowniki były takie same, pierwszy ułamek trzeba pomnożyć przez czynnik x, a drugi ułamek trzeba pomnożyć przez czynnik x, minus, 1. Przekształćmy ułamki w taki sposób, żeby to osiągnąć. Następnie możemy odjąć tak jak zwykle.

Co dalej?

Nasz następny artykuł zajmuje się trudniejszymi przykładami dodawania i odejmowania wyrażeń wymiernych.
Będziesz się uczyć o najmniejszym wspólnym mianowniku (będącym jednocześnie najmniejszą wspólną wielokrotnością), oraz o tym, dlaczego takie ważne jest używanie tego wspólnego mianownika podczas dodawania i odejmowania wyrażeń wymiernych.